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\programme{visort}
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\hypertarget{visort}{}

\vspace{1cm}
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\section*{Fonction}
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Dans ce sous-programme est calcul\'e le coefficient de diffusion ``orthotrope'' aux faces. Ce type de coefficient se rencontre pour la diffusion de $R_{\,ij}$ et
$\varepsilon$ en $R_{\,ij}-\varepsilon$ ( {\it cf.} \fort{turrij}), ainsi que pour la
correction de pression dans le cadre de l'algorithme avec couplage
vitesse-pression renforc (\fort{resopv}).\\
Ce coefficient fait intervenir la valeur de la viscosit aux faces multiplie par
le rapport surface de la face sur la distance alg\'ebrique $\overline{I'J'}$,
rapport rsultant de l'intgration du terme de diffusion.
La valeur de la viscosit aux faces est base soit sur une moyenne
arithmtique, soit sur une moyenne harmonique de la viscosit au centre des
cellules.

See the \doxygenfile{visort_8f90.html}{programmers reference of the dedicated subroutine} for further details.

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\section*{Discr\'etisation} \label{Base_Visort_paragraphe2}
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La figure \ref{Base_Visort_fig_geom} rappelle les diverses d\'efinitions g\'eom\'etriques
pour les faces internes et les faces de bord.

\begin{figure}[h]
\parbox{8cm}{%
\centerline{\includegraphics[height=4.5cm]{facette}}}
\parbox{8cm}{%
\centerline{\includegraphics[height=4.5cm]{facebord}}}
\caption{\label{Base_Visort_fig_geom}D\'efinition des diff\'erentes entit\'es
g\'eom\'etriques pour les faces internes (gauche) et de bord (droite).}
\end{figure}
L'intgration du terme de diffusion ``orthotrope'' sur une cellule est la
suivante :
\begin{equation}
\int_{\Omega_i}\dive \,(\tens{\mu}\ \grad f)\,d\Omega =\sum\limits_{j \in
Vois(i)}( \tens{\mu}\ \grad f)_{\,ij}\,.\,\underline{S}_{\,ij} + \sum\limits_{k \in
\gamma_b(i)}( \tens{\mu}\ \grad f)_{\,b_{ik}}\,.\,\underline{S}_{\,b_{ik}}
\end{equation}
avec :
\begin{equation}
\tens{\mu}=\begin{bmatrix}\mu_x & 0 & 0 \\ 0 & \mu_y & 0 \\ 0 & 0 & \mu_z \end{bmatrix}
\end{equation}
et :
\begin{equation}
\begin{array}{ll}
&\underline{S}_{\,ij} = S_{\,ij} \underline{n}_{\,ij} \\
&\underline{S}_{\,b_{ik}} = S_{\,b_{ik}} \underline{n}_{\,b_{ik}}
\end{array}
\end{equation}
Le terme $(\tens{\mu}\ \grad(f))_{\,ij}\underline{n}_{\,ij}$ est calcul 
l'aide de la dcomposition suivante :
\begin{equation}
(\tens{\mu}\ \grad f)_{\,ij} = (\grad f \,.\,\underline{n}_{\,ij})\ \tens{\mu}\
\underline{n}_{\,ij}+
(\grad f .\underline{\tau}_{ij})\ \tens{\mu}\ \underline{\tau}_{\,ij}
\end{equation}
o\`u $\underline{\tau}_{ij}$ reprsente un vecteur tangent (unitaire) 
la face. Une dcomposition similaire est utilise aux faces de bord.\\
Dans la matrice, seul le terme
$(\grad f \,.\,\underline{n}_{\,ij})\ \tens{\mu}\ \underline{n}_{\,ij}$ est
int\'egrable facilement en implicite. Par cons\'equent, la partie projet\'ee sur $\underline{\tau}_{\,ij}$
est :
\begin{itemize}
\item n\'eglig\'ee dans le cas du calcul des chelles de temps relatives au
couplage vitesse-pression renforc,
\item trait\'ee en explicite dans les termes de diffusion de
$R_{\,ij}-\varepsilon$ (\emph{cf.} \fort{turrij}).\\
\end{itemize}
L'intgration implicite du terme de diffusion s'\'ecrit :
\begin{equation}
\int_{\Omega_i}\dive\,(\tens{\mu}\ \grad f )\,d\Omega = \sum\limits_{j \in
Vois(i)}(\tens{\mu}\ \underline{n}_{\,ij})\,.\,\underline{S}_{\,ij}\,
\frac{f_{J'}-f_{I'}}{\overline{I'J'}} + \sum\limits_{k \in
\gamma_b(i)}(\tens{\mu}\ \underline{n}_{\,b_{ik}})\,.\,\underline{S}_{\,b_{ik}}
\,\frac{f_{\,b_{ik}}-f_{I'}}{\overline{I'F}}
\end{equation}
Dans ce sous-programme, on calcule le terme
$\displaystyle \frac{(\tens{\mu}\
\underline{n}_{\,ij})\,.\,\underline{S}_{\,ij}}{\overline{I'J'}}$ \`a l'aide la
formule :
\begin{equation}\notag
(\tens{\mu}\ \underline{n}_{\,ij})\,.\,\underline{n}_{\,ij} =
\mu_{\,ij}^{\,moy}=\mu_{\,ij}^{\,x} ( n_{\,ij}^{\,x})^2 + \mu_{\,ij}^{\,y} (n_{\,ij}^{\,y})^2 + \mu_{\,ij}^{\,z}(n_{\,ij}^{\,z})^2
\end{equation}
soit encore :
\begin{equation}\notag
\mu_{\,ij}^{\,moy}=\frac{\mu_{\,ij}^{\,x}
(S_{\,ij}^{\,x})^2 + \mu_{\,ij}^{\,y} (S_{\,ij}^{\,y})^2 +
\mu_{\,ij}^{\,z} (S_{\,ij}^{\,z})^2}{S_{\,ij}^2}
\end{equation}
Au bord, on calcule de mme :
\begin{equation}\notag
\displaystyle \frac{(\tens{\mu}\
\underline{n}_{\,b_{ik}})\,.\,\underline{S}_{\,b_{ik}}}{\overline{I'F}}
\end{equation}

 avec :
\begin{equation}\notag
(\tens{\mu}\ \underline{n}_{\,b_{ik}})\,.\,\underline{n}_{\,b_{ik}} =
\mu_{\,b_{ik}}^{\,moy} = \displaystyle \frac{\mu_{I}^{\,x}
(S_{\,b_{ik}}^{\,x})^2 + \mu_{I}^{\,y} (S_{\,b_{ik}}^{\,y})^2 +
\mu_{I}^{\,z} (S_{\,b_{ik}}^{\,z})^2}{S_{\,b_{ik}}^2}
\end{equation}

La valeur de la viscosit dans une direction $l$ sur la face, $\mu_{\,ij}^{\,l}$,
est calcule :
\begin{itemize}
\item soit par interpolation lin\'eaire :
\begin{equation}
\mu_{\,ij}^{\,l}=\alpha_{\,ij}\mu_{i}^{\,l}+(1-\alpha_{\,ij})\mu_{j}^{\,l}
\end{equation}
avec $\alpha_{\,ij}= 0.5$ car ce choix semble stabiliser bien que cette
interpolation soit d'ordre 1 en espace en convergence,
\item soit par interpolation harmonique :
\begin{equation}\notag
\mu_{\,ij}^{\,l}=\displaystyle
\frac{\mu_{i}^{\,l}\ \mu_{j}^{\,l}}{\alpha_{\,ij}\mu_{i}^{\,l}+(1-\alpha_{\,ij}) \mu_{j}^{\,l}}
\end{equation}
o :
\begin{equation}\notag
\displaystyle \alpha_{\,ij}=\frac{\overline{FJ'}}{\overline{I'J'}}
\end{equation}
\end{itemize}

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\section*{Mise en \oe uvre}
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La viscosit orthotrope au centre des cellules est entre en argument {\it via}
les variables $\var{W}_1$, $\var{W}_2$ et $\var{W}_3$. On calcule la valeur
moyenne de chaque viscosit aux faces de faon arithmtique ou
harmonique. Ensuite, on calcule la viscosit quivalente correspondant 
$\displaystyle (\tens{\mu}\ \underline{n}_{\,ij})\,.\,\frac{\underline{S}_{\,ij}}{\overline{I'J'}}$ pour les
faces internes et  $\displaystyle (\tens{\mu}\ \underline{n}_{\,b_{ik}})\,.\,
\frac{\underline{S}_{\,b_{ik}}}{\overline{I'F}}$ pour les faces de bord.\\

Cette \'ecriture fait intervenir les vecteurs surface stock\'es dans le tableau
\var{SURFAC}, la norme de la surface \var{SURFN}
 et la distance alg\'ebrique \var{DIST} pour une face interne (\var{SURFBO},
\var{SURFBN} et \var{DISTBR} respectivement pour une face de bord). La valeur du
terme de diffusion rsultant est mise dans le vecteur \var{VISCF} (\var{VISCB} aux faces de bord).\\
La variable \var{IMVISF} dtermine quel type de moyenne est utilis pour
calculer la viscosit dans une direction \`a la face. Si \var{IMVISF}$=0$, alors
la moyenne est arithmtique, sinon la moyenne est harmonique).
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\section*{Points \`a traiter}
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L'obtention des interpolations utilises dans le code \CS \ du paragraphe
\ref{Base_Visort_paragraphe2} est rsume dans le rapport de Davroux et al\footnote{Davroux A., Archambeau F. et Hrard J.M., Tests numriques sur
quelques mthodes de rsolution d'une quation de diffusion en volumes finis,
HI-83/00/027/A.}.
Les auteurs de ce rapport ont montr que, pour un maillage monodimensionnel irrgulier et avec une
viscosit non constante, la convergence mesure est d'ordre 2 en espace avec
l'interpolation harmonique et d'ordre 1 en espace avec l'interpolation
linaire (pour des solutions rgulires). Par consquent, il serait prfrable d'utiliser l'interpolation
harmonique pour calculer la valeur de la viscosit aux faces. Des tests de stabilit seront ncessaires au pralable.\\
De mme, on envisage d'extrapoler la viscosit sur les faces de bord plutt que
de prendre la valeur de la viscosit de la cellule jouxtant cette face.\\
Dans le cas de la moyenne arithm\'etique, l'utilisation de la valeur $0.5$ pour les coefficients $\alpha_{\,ij}$ serait \`a revoir.