1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
|
(************************************************************************)
(* v * The Coq Proof Assistant / The Coq Development Team *)
(* <O___,, * CNRS-Ecole Polytechnique-INRIA Futurs-Universite Paris Sud *)
(* \VV/ **************************************************************)
(* // * This file is distributed under the terms of the *)
(* * GNU Lesser General Public License Version 2.1 *)
(************************************************************************)
(*i $Id: OmegaLemmas.v,v 1.1.2.1 2004/07/16 19:30:17 herbelin Exp $ i*)
Require ZArith_base.
(** These are specific variants of theorems dedicated for the Omega tactic *)
Lemma new_var: (x:Z) (EX y:Z |(x=y)).
Intros x; Exists x; Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA1 : (x,y:Z) (x=y) -> (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y).
Intros x y H; Rewrite H; Auto with arith.
Qed.
Lemma OMEGA2 : (x,y:Z) (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y) -> (Zle ZERO (Zplus x y)).
Exact Zle_0_plus.
Qed.
Lemma OMEGA3 :
(x,y,k:Z)(Zgt k ZERO)-> (x=(Zmult y k)) -> (x=ZERO) -> (y=ZERO).
Intros x y k H1 H2 H3; Apply (Zmult_eq k); [
Unfold not ; Intros H4; Absurd (Zgt k ZERO); [
Rewrite H4; Unfold Zgt ; Simpl; Discriminate | Assumption]
| Rewrite <- H2; Assumption].
Qed.
Lemma OMEGA4 :
(x,y,z:Z)(Zgt x ZERO) -> (Zgt y x) -> ~(Zplus (Zmult z y) x) = ZERO.
Unfold not ; Intros x y z H1 H2 H3; Cut (Zgt y ZERO); [
Intros H4; Cut (Zle ZERO (Zplus (Zmult z y) x)); [
Intros H5; Generalize (Zmult_le_approx y z x H4 H2 H5) ; Intros H6;
Absurd (Zgt (Zplus (Zmult z y) x) ZERO); [
Rewrite -> H3; Unfold Zgt ; Simpl; Discriminate
| Apply Zle_gt_trans with x ; [
Pattern 1 x ; Rewrite <- (Zero_left x); Apply Zle_reg_r;
Rewrite -> Zmult_sym; Generalize H4 ; Unfold Zgt;
Case y; [
Simpl; Intros H7; Discriminate H7
| Intros p H7; Rewrite <- (Zero_mult_right (POS p));
Unfold Zle ; Rewrite -> Zcompare_Zmult_compatible; Exact H6
| Simpl; Intros p H7; Discriminate H7]
| Assumption]]
| Rewrite -> H3; Unfold Zle ; Simpl; Discriminate]
| Apply Zgt_trans with x ; [ Assumption | Assumption]].
Qed.
Lemma OMEGA5: (x,y,z:Z)(x=ZERO) -> (y=ZERO) -> (Zplus x (Zmult y z)) = ZERO.
Intros x y z H1 H2; Rewrite H1; Rewrite H2; Simpl; Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA6:
(x,y,z:Z)(Zle ZERO x) -> (y=ZERO) -> (Zle ZERO (Zplus x (Zmult y z))).
Intros x y z H1 H2; Rewrite H2; Simpl; Rewrite Zero_right; Assumption.
Qed.
Lemma OMEGA7:
(x,y,z,t:Z)(Zgt z ZERO) -> (Zgt t ZERO) -> (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y) ->
(Zle ZERO (Zplus (Zmult x z) (Zmult y t))).
Intros x y z t H1 H2 H3 H4; Rewrite <- (Zero_left ZERO);
Apply Zle_plus_plus; Apply Zle_mult; Assumption.
Qed.
Lemma OMEGA8:
(x,y:Z) (Zle ZERO x) -> (Zle ZERO y) -> x = (Zopp y) -> x = ZERO.
Intros x y H1 H2 H3; Elim (Zle_lt_or_eq ZERO x H1); [
Intros H4; Absurd (Zlt ZERO x); [
Change (Zge ZERO x); Apply Zle_ge; Apply Zsimpl_le_plus_l with y;
Rewrite -> H3; Rewrite Zplus_inverse_r; Rewrite Zero_right; Assumption
| Assumption]
| Intros H4; Rewrite -> H4; Trivial with arith].
Qed.
Lemma OMEGA9:(x,y,z,t:Z) y=ZERO -> x = z ->
(Zplus y (Zmult (Zplus (Zopp x) z) t)) = ZERO.
Intros x y z t H1 H2; Rewrite H2; Rewrite Zplus_inverse_l;
Rewrite Zero_mult_left; Rewrite Zero_right; Assumption.
Qed.
Lemma OMEGA10:(v,c1,c2,l1,l2,k1,k2:Z)
(Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v c1) l1) k1) (Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
= (Zplus (Zmult v (Zplus (Zmult c1 k1) (Zmult c2 k2)))
(Zplus (Zmult l1 k1) (Zmult l2 k2))).
Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc;
Rewrite (Zplus_permute (Zmult l1 k1) (Zmult (Zmult v c2) k2)); Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA11:(v1,c1,l1,l2,k1:Z)
(Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v1 c1) l1) k1) l2)
= (Zplus (Zmult v1 (Zmult c1 k1)) (Zplus (Zmult l1 k1) l2)).
Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc; Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA12:(v2,c2,l1,l2,k2:Z)
(Zplus l1 (Zmult (Zplus (Zmult v2 c2) l2) k2))
= (Zplus (Zmult v2 (Zmult c2 k2)) (Zplus l1 (Zmult l2 k2))).
Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc; Rewrite Zplus_permute;
Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA13:(v,l1,l2:Z)(x:positive)
(Zplus (Zplus (Zmult v (POS x)) l1) (Zplus (Zmult v (NEG x)) l2))
= (Zplus l1 l2).
Intros; Rewrite Zplus_assoc; Rewrite (Zplus_sym (Zmult v (POS x)) l1);
Rewrite (Zplus_assoc_r l1); Rewrite <- Zmult_plus_distr_r;
Rewrite <- Zopp_NEG; Rewrite (Zplus_sym (Zopp (NEG x)) (NEG x));
Rewrite Zplus_inverse_r; Rewrite Zero_mult_right; Rewrite Zero_right; Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA14:(v,l1,l2:Z)(x:positive)
(Zplus (Zplus (Zmult v (NEG x)) l1) (Zplus (Zmult v (POS x)) l2))
= (Zplus l1 l2).
Intros; Rewrite Zplus_assoc; Rewrite (Zplus_sym (Zmult v (NEG x)) l1);
Rewrite (Zplus_assoc_r l1); Rewrite <- Zmult_plus_distr_r;
Rewrite <- Zopp_NEG; Rewrite Zplus_inverse_r; Rewrite Zero_mult_right;
Rewrite Zero_right; Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA15:(v,c1,c2,l1,l2,k2:Z)
(Zplus (Zplus (Zmult v c1) l1) (Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
= (Zplus (Zmult v (Zplus c1 (Zmult c2 k2)))
(Zplus l1 (Zmult l2 k2))).
Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc;
Rewrite (Zplus_permute l1 (Zmult (Zmult v c2) k2)); Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA16:
(v,c,l,k:Z)
(Zmult (Zplus (Zmult v c) l) k) = (Zplus (Zmult v (Zmult c k)) (Zmult l k)).
Intros; Repeat (Rewrite Zmult_plus_distr_l Orelse Rewrite Zmult_plus_distr_r);
Repeat Rewrite Zmult_assoc; Repeat Elim Zplus_assoc; Trivial with arith.
Qed.
Lemma OMEGA17:
(x,y,z:Z)(Zne x ZERO) -> (y=ZERO) -> (Zne (Zplus x (Zmult y z)) ZERO).
Unfold Zne not; Intros x y z H1 H2 H3; Apply H1;
Apply Zsimpl_plus_l with (Zmult y z); Rewrite Zplus_sym; Rewrite H3;
Rewrite H2; Auto with arith.
Qed.
Lemma OMEGA18:
(x,y,k:Z) x=(Zmult y k) -> (Zne x ZERO) -> (Zne y ZERO).
Unfold Zne not; Intros x y k H1 H2 H3; Apply H2; Rewrite H1; Rewrite H3; Auto with arith.
Qed.
Lemma OMEGA19:
(x:Z) (Zne x ZERO) ->
(Zle ZERO (Zplus x (NEG xH))) \/ (Zle ZERO (Zplus (Zmult x (NEG xH)) (NEG xH))).
Unfold Zne ; Intros x H; Elim (Zle_or_lt ZERO x); [
Intros H1; Elim Zle_lt_or_eq with 1:=H1; [
Intros H2; Left; Change (Zle ZERO (Zpred x)); Apply Zle_S_n;
Rewrite <- Zs_pred; Apply Zlt_le_S; Assumption
| Intros H2; Absurd x=ZERO; Auto with arith]
| Intros H1; Right; Rewrite <- Zopp_one; Rewrite Zplus_sym;
Apply Zle_left; Apply Zle_S_n; Simpl; Apply Zlt_le_S; Auto with arith].
Qed.
Lemma OMEGA20:
(x,y,z:Z)(Zne x ZERO) -> (y=ZERO) -> (Zne (Zplus x (Zmult y z)) ZERO).
Unfold Zne not; Intros x y z H1 H2 H3; Apply H1; Rewrite H2 in H3;
Simpl in H3; Rewrite Zero_right in H3; Trivial with arith.
Qed.
Definition fast_Zplus_sym :=
[x,y:Z][P:Z -> Prop][H: (P (Zplus y x))]
(eq_ind_r Z (Zplus y x) P H (Zplus x y) (Zplus_sym x y)).
Definition fast_Zplus_assoc_r :=
[n,m,p:Z][P:Z -> Prop][H : (P (Zplus n (Zplus m p)))]
(eq_ind_r Z (Zplus n (Zplus m p)) P H (Zplus (Zplus n m) p) (Zplus_assoc_r n m p)).
Definition fast_Zplus_assoc_l :=
[n,m,p:Z][P:Z -> Prop][H : (P (Zplus (Zplus n m) p))]
(eq_ind_r Z (Zplus (Zplus n m) p) P H (Zplus n (Zplus m p))
(Zplus_assoc_l n m p)).
Definition fast_Zplus_permute :=
[n,m,p:Z][P:Z -> Prop][H : (P (Zplus m (Zplus n p)))]
(eq_ind_r Z (Zplus m (Zplus n p)) P H (Zplus n (Zplus m p))
(Zplus_permute n m p)).
Definition fast_OMEGA10 :=
[v,c1,c2,l1,l2,k1,k2:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus (Zmult v (Zplus (Zmult c1 k1) (Zmult c2 k2)))
(Zplus (Zmult l1 k1) (Zmult l2 k2))))]
(eq_ind_r Z
(Zplus (Zmult v (Zplus (Zmult c1 k1) (Zmult c2 k2)))
(Zplus (Zmult l1 k1) (Zmult l2 k2)))
P H
(Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v c1) l1) k1)
(Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
(OMEGA10 v c1 c2 l1 l2 k1 k2)).
Definition fast_OMEGA11 :=
[v1,c1,l1,l2,k1:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus (Zmult v1 (Zmult c1 k1)) (Zplus (Zmult l1 k1) l2)))]
(eq_ind_r Z
(Zplus (Zmult v1 (Zmult c1 k1)) (Zplus (Zmult l1 k1) l2))
P H
(Zplus (Zmult (Zplus (Zmult v1 c1) l1) k1) l2)
(OMEGA11 v1 c1 l1 l2 k1)).
Definition fast_OMEGA12 :=
[v2,c2,l1,l2,k2:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus (Zmult v2 (Zmult c2 k2)) (Zplus l1 (Zmult l2 k2))))]
(eq_ind_r Z
(Zplus (Zmult v2 (Zmult c2 k2)) (Zplus l1 (Zmult l2 k2)))
P H
(Zplus l1 (Zmult (Zplus (Zmult v2 c2) l2) k2))
(OMEGA12 v2 c2 l1 l2 k2)).
Definition fast_OMEGA15 :=
[v,c1,c2,l1,l2,k2 :Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus (Zmult v (Zplus c1 (Zmult c2 k2))) (Zplus l1 (Zmult l2 k2))))]
(eq_ind_r Z
(Zplus (Zmult v (Zplus c1 (Zmult c2 k2))) (Zplus l1 (Zmult l2 k2)))
P H
(Zplus (Zplus (Zmult v c1) l1) (Zmult (Zplus (Zmult v c2) l2) k2))
(OMEGA15 v c1 c2 l1 l2 k2)).
Definition fast_OMEGA16 :=
[v,c,l,k :Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus (Zmult v (Zmult c k)) (Zmult l k)))]
(eq_ind_r Z
(Zplus (Zmult v (Zmult c k)) (Zmult l k))
P H
(Zmult (Zplus (Zmult v c) l) k)
(OMEGA16 v c l k)).
Definition fast_OMEGA13 :=
[v,l1,l2 :Z][x:positive][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus l1 l2))]
(eq_ind_r Z
(Zplus l1 l2)
P H
(Zplus (Zplus (Zmult v (POS x)) l1) (Zplus (Zmult v (NEG x)) l2))
(OMEGA13 v l1 l2 x )).
Definition fast_OMEGA14 :=
[v,l1,l2 :Z][x:positive][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus l1 l2))]
(eq_ind_r Z
(Zplus l1 l2)
P H
(Zplus (Zplus (Zmult v (NEG x)) l1) (Zplus (Zmult v (POS x)) l2))
(OMEGA14 v l1 l2 x )).
Definition fast_Zred_factor0:=
[x:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (POS xH)) )]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (POS xH))
P H
x
(Zred_factor0 x)).
Definition fast_Zopp_one :=
[x:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (NEG xH)))]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (NEG xH))
P H
(Zopp x)
(Zopp_one x)).
Definition fast_Zmult_sym :=
[x,y :Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult y x))]
(eq_ind_r Z
(Zmult y x)
P H
(Zmult x y)
(Zmult_sym x y )).
Definition fast_Zopp_Zplus :=
[x,y :Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus (Zopp x) (Zopp y)) )]
(eq_ind_r Z
(Zplus (Zopp x) (Zopp y))
P H
(Zopp (Zplus x y))
(Zopp_Zplus x y )).
Definition fast_Zopp_Zopp :=
[x:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P x )] (eq_ind_r Z x P H (Zopp (Zopp x)) (Zopp_Zopp x)).
Definition fast_Zopp_Zmult_r :=
[x,y:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (Zopp y)))]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (Zopp y))
P H
(Zopp (Zmult x y))
(Zopp_Zmult_r x y )).
Definition fast_Zmult_plus_distr :=
[n,m,p:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zplus (Zmult n p) (Zmult m p)))]
(eq_ind_r Z
(Zplus (Zmult n p) (Zmult m p))
P H
(Zmult (Zplus n m) p)
(Zmult_plus_distr_l n m p)).
Definition fast_Zmult_Zopp_left:=
[x,y:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (Zopp y)))]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (Zopp y))
P H
(Zmult (Zopp x) y)
(Zmult_Zopp_left x y)).
Definition fast_Zmult_assoc_r :=
[n,m,p :Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult n (Zmult m p)))]
(eq_ind_r Z
(Zmult n (Zmult m p))
P H
(Zmult (Zmult n m) p)
(Zmult_assoc_r n m p)).
Definition fast_Zred_factor1 :=
[x:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (POS (xO xH))) )]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (POS (xO xH)))
P H
(Zplus x x)
(Zred_factor1 x)).
Definition fast_Zred_factor2 :=
[x,y:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (Zplus (POS xH) y)))]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (Zplus (POS xH) y))
P H
(Zplus x (Zmult x y))
(Zred_factor2 x y)).
Definition fast_Zred_factor3 :=
[x,y:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (Zplus (POS xH) y)))]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (Zplus (POS xH) y))
P H
(Zplus (Zmult x y) x)
(Zred_factor3 x y)).
Definition fast_Zred_factor4 :=
[x,y,z:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P (Zmult x (Zplus y z)))]
(eq_ind_r Z
(Zmult x (Zplus y z))
P H
(Zplus (Zmult x y) (Zmult x z))
(Zred_factor4 x y z)).
Definition fast_Zred_factor5 :=
[x,y:Z][P:Z -> Prop]
[H : (P y)]
(eq_ind_r Z
y
P H
(Zplus (Zmult x ZERO) y)
(Zred_factor5 x y)).
Definition fast_Zred_factor6 :=
[x :Z][P:Z -> Prop]
[H : (P(Zplus x ZERO) )]
(eq_ind_r Z
(Zplus x ZERO)
P H
x
(Zred_factor6 x )).
|
