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Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Arguments fst : default implicits.
Arguments snd : default implicits.
Module Type PO.
Parameter T : Set.
Parameter le : T -> T -> Prop.
Axiom le_refl : forall x : T, le x x.
Axiom le_trans : forall x y z : T, le x y -> le y z -> le x z.
Axiom le_antis : forall x y : T, le x y -> le y x -> x = y.
#[global] Hint Resolve le_refl le_trans le_antis.
End PO.
Module Pair (X: PO) (Y: PO) <: PO.
Definition T := (X.T * Y.T)%type.
Definition le p1 p2 := X.le (fst p1) (fst p2) /\ Y.le (snd p1) (snd p2).
#[global] Hint Unfold le.
Lemma le_refl : forall p : T, le p p.
auto.
Qed.
Lemma le_trans : forall p1 p2 p3 : T, le p1 p2 -> le p2 p3 -> le p1 p3.
unfold le; intuition; eauto.
Qed.
Lemma le_antis : forall p1 p2 : T, le p1 p2 -> le p2 p1 -> p1 = p2.
destruct p1.
destruct p2.
unfold le.
intuition.
enough (t = t1) as ->.
enough (t0 = t2) as ->.
reflexivity.
auto.
auto.
Qed.
End Pair.
Require Nat.
Module NN := Pair Nat Nat.
Lemma zz_min : forall p : NN.T, NN.le (0, 0) p.
auto with arith.
Qed.
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