1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
|
%表題 MATH2 数学処理上位パッケージ
%
%履歴
%\Drireki{
% 90/03/22 塩谷雅人
% 91/12/10 林祥介
% 91/12/20 塩谷雅人
% 92/03/14 塩谷雅人
% 92/04/22 林祥介 (4.1版)
% 94/04/02 塩谷雅人
% }
%
\Dchapterhead
\label{fftlib}
\section{概要}
任意の長さのデータについて高速フーリエ変換をおこなう
サブルーチンパッケージ.
NCARの数値計算ライブラリより移植した.
\vspace{1em}
{\bf サブルーチンの説明}の中の「定義」の節では,
入出力パラメータの数学的解説に関して次のような表記法をとる:
処理する配列{\tt X} (長さ{\tt N})の第$i$番目
$ (i=1, \ldots, {\tt N}) $の
配列要素について, 入力時の値を$x_{i}$ (小文字),
出力時の値を$X_{i}$ (大文字)と書く.
\vspace{1em}
以下の7つのサブルーチン群の中で初期化をおこなうサブルーチン
(サブルーチン名が{\tt I}で終わる)は, そのサブルーチン群に属する
変換ルーチンを用いる際, かならず最初に1回呼ばなければならない.
ただしそれ以後は, 異なるデータ数を指定するときに限って
初期化ルーチンを呼べばよい.
なお, 初期化ルーチンが用いる作業領域は, 同じサブルーチン群に
属する変換ルーチンを用いている間変更してはならない.
(この作業領域には, 因数と三角関数表が格納されている).
\section{サブルーチンのリスト}
% \vspace{1em}
周期実数値データのフーリエ変換をおこなうサブルーチン群.
\vspace{1em}
\begin{tabular}{p{5cm}p{10cm}}
{\tt RFFTI(N,WSAVE)} & 初期化をおこなう. \\
{\tt RFFTF(N,R,WSAVE)} & フーリエ順変換をおこなう. \\
{\tt RFFTB(N,R,WSAVE)} & フーリエ逆変換をおこなう.
\end{tabular}
\vspace{1em}
{\tt RFFTI}, {\tt RFFTF}, {\tt RFFTB}の簡易型サブルーチン群.
\vspace{1em}
\begin{tabular}{p{5cm}p{10cm}}
{\tt EZFFTI(N,WSAVE)} & 初期化をおこなう. \\
{\tt EZFFTF(N,R,A0,A,B,WSAVE)} & フーリエ順変換をおこなう. \\
{\tt EZFFTB(N,R,A0,A,B,WSAVE)} & フーリエ逆変換をおこなう.
\end{tabular}
\vspace{1em}
奇の周期データのSINE変換をおこなうサブルーチン群.
\vspace{1em}
\begin{tabular}{p{5cm}p{10cm}}
{\tt SINTI(N,WSAVE)} & 初期化をおこなう. \\
{\tt SINT(N,X,WSAVE)} & SINE変換をおこなう. \\
\end{tabular}
\vspace{1em}
偶の周期データのCOSINE変換をおこなうサブルーチン群.
\vspace{1em}
\begin{tabular}{p{5cm}p{10cm}}
{\tt COSTI(N,WSAVE)} & 初期化をおこなう. \\
{\tt COST(N,X,WSAVE)} & COSINE変換をおこなう. \\
\end{tabular}
\vspace{1em}
奇数波数成分のみのSIN変換をおこなうサブルーチン群.
\vspace{1em}
\begin{tabular}{p{5cm}p{10cm}}
{\tt SINQI(N,WSAVE)} & 初期化をおこなう. \\
{\tt SINQF(N,X,WSAVE)} & SINE順変換をおこなう. \\
{\tt SINQB(N,X,WSAVE)} & SINE逆変換をおこなう.
\end{tabular}
\vspace{1em}
偶数波数成分のみのCOSINE変換をおこなうサブルーチン群.
\vspace{1em}
\begin{tabular}{p{5cm}p{10cm}}
{\tt COSQI(N,WSAVE)} & 初期化をおこなう. \\
{\tt COSQF(N,X,WSAVE)} & COSINE順変換をおこなう. \\
{\tt COSQB(N,X,WSAVE)} & COSINE逆変換をおこなう.
\end{tabular}
\vspace{1em}
周期複素数データのフーリエ変換をおこなうサブルーチン群.
\vspace{1em}
\begin{tabular}{p{5cm}p{10cm}}
{\tt CFFTI(N,WSAVE)} & 初期化をおこなう. \\
{\tt CFFTF(N,C,WSAVE)} & フーリエ順変換をおこなう. \\
{\tt CFFTB(N,C,WSAVE)} & フーリエ逆変換をおこなう.
\end{tabular}
\section{サブルーチンの説明}
\subsection{RFFTI/RFFTF/RFFTB}
\label{fftlib.sub.rffti}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
周期実数値データのフーリエ変換をおこなう.
{\tt RFFTI}は初期化をおこなう;
{\tt RFFTF}はフーリエ順変換をおこなう;
{\tt RFFTB}はフーリエ逆変換をおこなう.
\end{quote}
\item 定義
\begin{quote}
$ N $が偶数のとき$ N' = N/2-1 $,
$ N $が奇数のとき$ N' = (N-1)/2 $とおく. \\
{\bf 順変換}は次のように定義される.
\[ R_{1} = \sum_{i=1}^{N}r_{i}, \]
\[ R_{2k} = \sum_{i=1}^{N}r_{i}\cos \frac{2\pi (i-1)k}{N},
\mbox{\hspace{1em}}
R_{2k+1} = - \sum_{i=1}^{N}r_{i}\sin \frac{2\pi (i-1)k}{N}
\mbox{\hspace{1em}}
( k = 1, \ldots, N' ). \]
ただし$ N $が偶数のとき,
\[ R_{N} = \sum_{i=1}^{N}(-1)^{i-1}r_{i}. \]
{\bf 逆変換}は次のように定義される. \\
$ N $が偶数のとき,
\[ R_{i} = r_{1} + (-1)^{i-1}r_{N}
+ 2 \sum_{k=1}^{N'}
( r_{2k} \cos \frac{2\pi (i-1)k}{N}
- r_{2k+1} \sin \frac{2\pi (i-1)k}{N})
\mbox{\hspace{1em}}
( i = 1, \ldots, N ). \]
$ N $が奇数のとき,
\[ R_{i} = r_{1}
+ 2 \sum_{k=1}^{N'}
( r_{2k} \cos \frac{2\pi (i-1)k}{N}
- r_{2k+1} \sin \frac{2\pi (i-1)k}{N})
\mbox{\hspace{1em}}
( i = 1, \ldots, N ). \]
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL RFFTI(N,WSAVE)}\\
{\tt CALL RFFTF(N,R,WSAVE)}\\
{\tt CALL RFFTB(N,R,WSAVE)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt N} & {\tt (I)} & 処理するデータの長さ. \\
{\tt WSAVE} & {\tt (R)} & 作業用配列. 長さは少なくとも
2{\tt N}+15以上でなければならない. \\
{\tt R} & {\tt (R)} & 処理する実数型配列.
入力パラメータでもあり出力パラメータでもある.
(上記定義参照).
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item この変換では正規化されない.
つまり{\tt RFFTF}, {\tt RFFTB}を続けて呼ぶと, もとの
{\tt N}倍の値が返される.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{EZFFTI/EZFFTF/EZFFTB}
\label{fftlib.sub.ezffti}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
{\tt RFFTI}, {\tt RFFTF}, {\tt RFFTB}の簡易型サブルーチン.
{\tt EZFFTI}は初期化をおこなう;
{\tt EZFFTF}はフーリエ順変換をおこなう;
{\tt EZFFTB}はフーリエ逆変換をおこなう.
\end{quote}
\item 定義
\begin{quote}
{\bf 順変換}は次のように定義される.
($ N $が偶数のとき$ N' = N/2-1 $,
$ N $が奇数のとき$ N' = (N-1)/2 $とおく.)
\[ A_{0} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}r_{i}, \]
\[ A_{k} = \frac{2}{N}
\sum_{i=1}^{N}r_{i}\cos \frac{2\pi (i-1)k}{N},
\mbox{\hspace{1em}}
B_{k} = \frac{2}{N}
\sum_{i=1}^{N}r_{i}\sin \frac{2\pi (i-1)k}{N}
\mbox{\hspace{1em}}
( k = 1, \ldots, N' ). \]
ただし$ N $が偶数のとき,
\[ A_{N/2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(-1)^{i-1}r_{i},
\mbox{\hspace{1em}}
B_{N/2} = 0. \]
{\bf 逆変換}は次のように定義される.
($ N $が偶数のとき$ N' = N/2 $,
$ N $が奇数のとき$ N' = (N-1)/2 $とおく.)
\[ R_{i} = a_{0} + \sum_{k=1}^{N'}
( a_{k} \cos \frac{2\pi (i-1)k}{N}
+ b_{k} \sin \frac{2\pi (i-1)k}{N})
\mbox{\hspace{1em}}
( i = 1, \ldots, N ). \]
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL EZFFTI(N,WSAVE)}\\
{\tt CALL EZFFTF(N,R,A0,A,B,WSAVE)}\\
{\tt CALL EZFFTB(N,R,A0,A,B,WSAVE)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt N} & {\tt (I)} & 処理するデータの長さ. \\
{\tt WSAVE} & {\tt (R)} & 作業用配列. 長さは少なくとも
3{\tt N}+15以上でなければならない. \\
{\tt R} & {\tt (R)} & 処理する実数型配列.
{\tt EZFFTF}においては入力パラメータ,
{\tt EZFFTB}においては出力パラメータである. \\
{\tt A0} & {\tt (R)} & 上記定義における$ A_{0} $および
$ a_{0} $. \\
{\tt A}, {\tt B} & {\tt (R)} & {\tt N}が偶数のとき
${\tt N}/2$, {\tt N}が奇数のとき$({\tt N}-1)/2$の長さの
実数型配列(上記定義参照).
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item この変換では正規化される.
つまり{\tt EZFFTF}, {\tt EZFFTB}を続けて呼ぶと, もとの
値が返される.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{SINTI/SINT}
\label{fftlib.sub.sinti}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
奇の周期データのSINE変換をおこなう.
{\tt SINTI}は初期化をおこなう;
{\tt SINT}はSINE変換をおこなう.
\end{quote}
\item 定義
\begin{quote}
{\bf 順変換}は次のように定義される.
\[ X_{k} = 2\sum_{i=1}^{N}x_{i}\sin \frac{\pi ik}{N+1},
\mbox{\hspace{1em}}
( k = 1, \ldots, N ). \]
{\bf 逆変換}は順変換と同じである.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL SINTI(N,WSAVE)}\\
{\tt CALL SINT(N,R,WSAVE)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt N} & {\tt (I)} & 処理するデータの長さ. \\
{\tt WSAVE} & {\tt (R)} & 作業用配列. 長さは少なくとも
2.5{\tt N}+15以上でなければならない. \\
{\tt R} & {\tt (R)} & 処理する実数型配列.
入力パラメータでもあり出力パラメータでもある
(上記定義参照).
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item {\tt SINT}は逆変換でもある.
また, この変換では正規化されない.
つまり{\tt SINT}を2回続けて呼ぶと, もとの
$2({\tt N}+1)$倍の値が返される.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{COSTI/COST}
\label{fftlib.sub.costi}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
偶の周期データのCOSINE変換をおこなう.
{\tt COSTI}は初期化をおこなう;
{\tt COST}はCOSINE変換をおこなう.
\end{quote}
\item 定義
\begin{quote}
{\bf 順変換}は次のように定義される.
\[ X_{k} = x_{1} + (-1)^{k-1}x_{N}
+ 2\sum_{i=2}^{N}x_{i}\cos \frac{\pi (i-1)(k-1)}{N-1},
\mbox{\hspace{1em}}
( k = 1, \ldots, N ). \]
{\bf 逆変換}は順変換と同じである.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL COSTI(N,WSAVE)}\\
{\tt CALL COST(N,R,WSAVE)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt N} & {\tt (I)} & 処理するデータの長さ. \\
{\tt WSAVE} & {\tt (R)} & 作業用配列. 長さは少なくとも
3{\tt N}+15以上でなければならない. \\
{\tt R} & {\tt (R)} & 処理する実数型配列.
入力パラメータでもあり出力パラメータでもある
(上記定義参照).
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item {\tt COST}は逆変換でもある.
また, この変換では正規化されない.
つまり{\tt COST}を2回続けて呼ぶと, もとの
$2({\tt N}-1)$倍の値が返される.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{SINQI/SINQF/SINQB}
\label{fftlib.sub.sinqi}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
奇数波数成分のみのSIN変換をおこなう.
{\tt SINQI}は初期化をおこなう;
{\tt SINQF}はSINE順変換をおこなう;
{\tt SINQB}はSINE逆変換をおこなう.
\end{quote}
\item 定義
\begin{quote}
{\bf 順変換}は次のように定義される.
\[ X_{k} = (-1)^{k-1}x_{N}
+ 2 \sum_{i=1}^{N-1}r_{i}\sin \frac{\pi (2k-1)i}{2N}
\mbox{\hspace{1em}}
( k = 1, \ldots, N ). \]
{\bf 逆変換}は次のように定義される.
\[ X_{i} = 4 \sum_{k=1}^{N}r_{k} \sin \frac{\pi (2k-1)i}{2N}
\mbox{\hspace{1em}}
( i = 1, \ldots, N ). \]
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL SINQI(N,WSAVE)}\\
{\tt CALL SINQF(N,R,WSAVE)}\\
{\tt CALL SINQB(N,R,WSAVE)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt N} & {\tt (I)} & 処理するデータの長さ. \\
{\tt WSAVE} & {\tt (R)} & 作業用配列. 長さは少なくとも
3{\tt N}+15以上でなければならない. \\
{\tt R} & {\tt (R)} & 処理する実数型配列.
入力パラメータでもあり出力パラメータでもある
(上記定義参照).
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item この変換では正規化されない.
つまり{\tt SINQF}, {\tt SINQB}を続けて呼ぶと, もとの
4{\tt N}倍の値が返される.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{COSQI/COSQF/COSQB}
\label{fftlib.sub.cosqi}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
偶数波数成分のみのCOSSINE変換をおこなう.
{\tt COSQI}は初期化をおこなう;
{\tt COSQF}はCOSINE順変換をおこなう;
{\tt COSQB}はCOSINE逆変換をおこなう.
\end{quote}
\item 定義
\begin{quote}
{\bf 順変換}は次のように定義される.
\[ X_{k} = x_{1}
+ 2 \sum_{i=2}^{N}r_{i}\cos \frac{\pi (2k-1)(i-1)}{2N}
\mbox{\hspace{1em}}
( k = 1, \ldots, N ). \]
{\bf 逆変換}は次のように定義される.
\[ X_{i} = 4 \sum_{k=1}^{N}r_{k} \cos \frac{\pi (2k-1)(i-1)}{2N}
\mbox{\hspace{1em}}
( i = 1, \ldots, N ). \]
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL COSQI(N,WSAVE)}\\
{\tt CALL COSQF(N,R,WSAVE)}\\
{\tt CALL COSQB(N,R,WSAVE)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt N} & {\tt (I)} & 処理するデータの長さ. \\
{\tt WSAVE} & {\tt (R)} & 作業用配列. 長さは少なくとも
3{\tt N}+15以上でなければならない. \\
{\tt R} & {\tt (R)} & 処理する実数型配列.
入力パラメータでもあり出力パラメータでもある
(上記定義参照).
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item この変換では正規化されない.
つまり{\tt COSQF}, {\tt COSQB}を続けて呼ぶと, もとの
4{\tt N}倍の値が返される.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{CFFTI/CFFTF/CFFTB}
\label{fftlib.sub.cffti}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
周期複素数データのフーリエ変換をおこなう.
{\tt CFFTI}は初期化をおこなう;
{\tt CFFTF}はフーリエ順変換をおこなう;
{\tt CFFTB}はフーリエ逆変換をおこなう.
\end{quote}
\item 定義
\begin{quote}
以下では$ i = \sqrt{-1} $とする.\\
{\bf 順変換}は次のように定義される.
\[ C_{k} = \sum_{j=1}^{N}c_{j}
\exp (-i\frac{2\pi (j-1)(k-1)}{N})
\mbox{\hspace{1em}}
( k = 1, \ldots, N ). \]
{\bf 逆変換}は次のように定義される.
\[ C_{j} = \sum_{k=1}^{N}c_{k}
\exp (i\frac{2\pi (j-1)(k-1)}{N})
\mbox{\hspace{1em}}
( j = 1, \ldots, N ). \]
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL CFFTI(N,WSAVE)}\\
{\tt CALL CFFTF(N,C,WSAVE)}\\
{\tt CALL CFFTB(N,C,WSAVE)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt N} & {\tt (I)} & 処理するデータの長さ. \\
{\tt WSAVE} & {\tt (R)} & 作業用配列. 長さは少なくとも
4{\tt N}+15以上でなければならない. \\
{\tt C} & {\tt (C)} & 処理する複素数型配列.
入力パラメータでもあり出力パラメータでもある
(上記定義参照).
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item この変換では正規化されない.
つまり{\tt CFFTF}, {\tt CFFTB}を続けて呼ぶと, もとの
{\tt N}倍の値が返される.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{その他のサブルーチン}
\label{fftlib.sub.others}
このパッケージにはこのほかに以下の下位ルーチンがある.
ここではサブルーチン名をあげるにとどめる.
\vspace{1em}
\begin{center}
\begin{tabular}{llllllll}
{\tt cfftb1.f} & {\tt cfftf1.f} & {\tt cffti1.f} &
{\tt cosqb1.f} & {\tt cosqf1.f} & {\tt ezfft1.f} &
{\tt passb.f } & {\tt passb2.f} \\
{\tt passb3.f} & {\tt passb4.f} & {\tt passb5.f} &
{\tt passf.f } & {\tt passf2.f} & {\tt passf3.f} &
{\tt passf4.f} & {\tt passf5.f} \\
{\tt pimach.f} & {\tt radb2.f } & {\tt radb3.f } &
{\tt radb4.f } & {\tt radb5.f } & {\tt radbg.f } &
{\tt radf2.f } & {\tt radf3.f } \\
{\tt radf4.f } & {\tt radf5.f } & {\tt radfg.f } &
{\tt rfftb1.f} & {\tt rfftf1.f} & {\tt rffti1.f} &
{\tt sint1.f } &
\end{tabular}
\end{center}
|
