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%表題 MATH1下位gt2dlib
%
%履歴
%\Drireki{
% 2011/08/16 堀之内武
% }
%
% \Dchapter{GT2DLIB : }
\Dchapterhead
\label{gt2dlib}
\section{概要}
本ライブラリーは2次元の補間、並びにそれを用いた2次元の座標変換を扱う。
座標間の対応は離散的な格子点で指定し、間は補間する。補間アルゴリズムは
双線形補間を用いる。このため逆変換は解析的に計算される。将来的には双3
次補間もサポートする可能性があるが、その場合逆変換は反復法によることに
なる。
補間のサブルーチンは、座標変換のみならず一般の用途に適するよう作ってある。
座標変換は、$(\xi,\eta) -> (x,y)$ において、離散的な点 $\xi _i (i=0,1,2,..),\eta _j(j=0,1,2,..)$ で
\begin{eqnarray*}
x_{i,j} = x(\xi_i,\eta_j) \\
y_{i,j} = y(\xi_i,\eta_j)
\end{eqnarray*}
という形で表される格子点での対応関係により定義される。従って「正変換」
においては、変換元の座標のデータは2つの1次元配列、変換先の座標のデータ
は2つの2次元配列となる。逆変換はその逆である。なお、2つの2次元配列から
2つの2次元配列へと対応づけられる座標変換は、中間的に1次元配列ベースの
「矩形」格子を設定すれば、逆変換、正変換の2段階で行うことが出来る。こ
れは、幾何的には、基準となるデカルト座標系を用いることに相当する。
\section{関数のリスト}
\begin{tabular}{lp{10cm}}
{\tt G2FBLI(P, Q, Z00, Z10, Z01, Z11, Z)} & 双線形補間 \\
{\tt G2FBL2(P,Q, X00,X10,X01,X11, Y00,Y10,Y01,Y11, X,Y)} & 2変数同時の双線形補間\\
{\tt G2IBL2(X,Y, X00,X10,X01,X11, Y00,Y10,Y01,Y11, P,Q)} & G2FBL2 の逆変換\\
{\tt G2SCTR(NX, NY, UXA,UYA, TXA,TYA)} & 2次元の座標変換の設定\\
{\tt G2FCTR(UX, UY, TX, TY)} & 2次元の座標変換\\
{\tt G2ICTR(TX, TY, UX, UY)} & G2FCTRの逆変換\\
{\tt G2QCTR(LINIT)} & 初期化済かの問合わせ\\
{\tt LG2INQ(TX,TY, TX00,TX10,TX01,TX11, TY00,TY10,TY01,TY11)} & 四辺形の内側にあるか判定
\end{tabular}
\section{関数の説明}
\subsection{G2FBLI}
\label{gt2dlib.sub.g2fbli}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
双線形補間. 入力座標 (P, Q) はともに [0, 1] の区間に正規化されたものをとる.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL G2FBLI(P, Q, Z00, Z10, Z01, Z11, Z)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt P,Q} & {\tt (R)} & 補間すべき点の座標. ４隅が (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) となるよう正規化されてるものとする. (入力) \\
{\tt Z00, Z10, Z01, Z11} & {\tt (R)} & P,Q の４隅(上述)、即ち、それぞれ (P,Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) における変数の値 (入力) \\
{\tt Z} & {\tt (R)} & 補間結果 (出力)
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item 中身はZ = (1-P)*(1-Q)*Z00 + P*(1-Q)*Z10 + (1-P)*Q*Z01 + P*Q*Z11
である(一行のみ).
\item P, Q とも [0,1] の区間内にある場合は補間, そうでなければ外挿 となる.
\item パラメターの説明から明らかであろうが, (P,Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) の場合、出力はそれぞれ {\tt Z00, Z10, Z01, Z11} に等しくなる.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{G2FBL2}
\label{gt2dlib.sub.g2fbl2}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
2変数同時の双線形補間. 入力座標 (P, Q) はともに [0, 1] の区間に正規化 されたものをとる.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL G2FBL2(P,Q, X00,X10,X01,X11, Y00,Y10,Y01,Y11, X,Y)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt P, Q} & {\tt (R)} & 補間すべき点の座標. ４隅が (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) となるよう正規化されてるものとする. (入力) \\
{\tt X00, X10, X01, X11} & {\tt (R)} & P,Q の４隅(上述)、即ち、それぞれ (P,Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) における一つめの変数の値 (入力) \\
{\tt Y00, Y10, Y01, Y11} & {\tt (R)} & P,Q の４隅(上述)、即ち、それぞれ (P,Q) = (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) における二つめの変数の値 (入力) \\
{\tt X} & {\tt (R)} & {\tt X00, X10, X01, X11} に関する補間結果 (出力) \\
{\tt Y} & {\tt (R)} & {\tt Y00, Y10, Y01, Y11} に関する補間結果 (出力)
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item {\tt G2FBLI} を2回呼んでいるだけである。よって
X = (1-P)*(1-Q)*X00 + P*(1-Q)*X10 + (1-P)*Q*X01 + P*Q*X11
Y = (1-P)*(1-Q)*Y00 + P*(1-Q)*Y10 + (1-P)*Q*Y01 + P*Q*Y11
\item 2変数から2変数への変換であるから逆変換が存在する.
逆変換を行うサブルーチンは {\tt G2IBL2 }である.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{G2IBL2}
\label{gt2dlib.sub.g2ibl2}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
{\tt G2FBL2} (2変数同時の双線形補間) の逆変換. 解析解である.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL G2IBL2(X,Y, X00,X10,X01,X11, Y00,Y10,Y01,Y11, P,Q)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt X,Y, X00,X10,X01,X11, Y00,Y10,Y01,Y11} & {\tt (R)} & (入力) \\
{\tt P, Q} & {\tt (R)} & (出力)
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item パラメーターの説明は {\tt G2FBL2} を参照のこと.
\item 連立２次方程式を解析的に解く. (実質的に１次方程式になる場合等、 多くの場合分けを含む)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{G2SCTR}
\label{gt2dlib.sub.g2sctr}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
2次元の座標変換の設定(初期化). 格子点間の対応で定義する.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL G2SCTR(NX, NY, UXA,UYA, TXA,TYA)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt NX, NY} & {\tt (R)} & 配列の長さ (入力) \\
{\tt UXA} & {\tt (R)} & 変換元の座標 (独立変数その1). 長さ {\tt NX} の1次元配列 (入力).\\
{\tt UYA} & {\tt (R)} & 変換元の座標 (独立変数その2). 長さ {\tt NY} の1次元配列 (入力).\\
{\tt TXA} & {\tt (R)} & 変換先の座標 (独立変数その1). 長さ {\tt NX*NY}の2次元配列 (入力).第1要素({\tt TX(1,1)})を {\tt RUNDEF} とすることで省略できる. 省略の場合,{\tt TX(I,J)=UX(I)} が用いられる.\\
{\tt TYA} & {\tt (R)} & 変換先の座標 (独立変数その2). 長さ {\tt NX*NY}の2次元配列 (入力).第1要素({\tt TY(1,1)})を {\tt RUNDEF} とすることで省略できる. 省略の場合,{\tt TY(I,J)=UY(J)} が用いられる.
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item 2次元配列 {\tt (TXA,TYA)} のセーブは、C 言語で書かれた下請の関数が行う。
動的割り当てによるため、サイズに制限がない。一方、一次元の {\tt UXA,UYA} は静的に確保されたサブルーチン内の配列にセーブされる。
最大の長さは {\tt GRPH2} の {\tt UWPACK} と同様、コンパイル時に変更可能な定数 {\tt MAXNGRID} である。デフォルト長は 4000。
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{G2FCTR}
\label{gt2dlib.sub.g2fctr}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
2次元の座標変換を行う.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL G2FCTR(UX, UY, TX, TY)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt UX} & {\tt (R)} & 変換前の座標（その1） (入力)\\
{\tt UY} & {\tt (R)} & 変換前の座標（その2） (入力)\\
{\tt TX} & {\tt (R)} & 変換後の座標（その1） (出力)\\
{\tt TY} & {\tt (R)} & 変換後の座標（その2） (出力)
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item 予め {\tt G2SCTR} で初期化しておかないとエラーを発生する。
\item {\tt G2SCTR} で設定した {\tt UXA, UYA} の範囲外の入力に対しては、 警告を出しつつ、外挿を行う。
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{G2ICTR}
\label{gt2dlib.sub.g2ictr}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
{\tt G2FCTR} (2次元の座標変換) の逆変換を行う.
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL G2ICTR(TX, TY, UX, UY)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt TX} & {\tt (R)} & 逆変換前の座標（その1） (入力)\\
{\tt TY} & {\tt (R)} & 逆変換前の座標（その2） (入力)\\
{\tt UX} & {\tt (R)} & 逆変換後の座標（その1） (出力)\\
{\tt UY} & {\tt (R)} & 逆変換後の座標（その2） (出力)
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item 予め {\tt G2SCTR} で初期化しておかないとエラーを発生する。
\item {\tt G2SCTR} で設定した {\tt TXA, TYA} の範囲外の入力に対しては、 エラーを発生する。
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{G2QCTR}
\label{gt2dlib.sub.g2qctr}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
初期化済か否かの問合わせ.なお、初期化せずに {\tt G2FCTR, G2ICTR} を呼べばエラーがでるようになっているので、問合わせは必須ではない。
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt CALL G2QCTR(LINIT)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt LINIT} & {\tt (L)} & 初期化済なら {\tt .TRUE.} まだなら {\tt .FALSE.} を返す。(出力)
\end{tabular}
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item {\tt G2SCTR} が既に呼ばれていれば {\tt .TRUE.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{LG2INQ}
\label{gt2dlib.sub.lg2inq}
\begin{enumerate}
\item 機能
\begin{quote}
ある点が四辺形の内側にあるか判定する。凸四辺形限定。
\end{quote}
\item 呼び出し方法
\begin{quote}
{\tt LIN = LG2INQ(TX,TY, TX00,TX10,TX01,TX11, TY00,TY10,TY01,TY11)}
\end{quote}
\item パラメーターの説明
\begin{quote}
\begin{tabular}{llp{10cm}}
{\tt TX,TY} & {\tt (R)} & 判定すべき点の座標 (入力) \\
{\tt TX00,TX10,TX01,TX11, TY00,TY10,TY01,TY11} & {\tt (R)} & 四辺形の4隅の座標 (入力)
\end{tabular}
戻り値 (L) 内側または境界上にあれば {\tt .TRUE.} 外側なら {\tt .FALSE.} を返す.
\end{quote}
\item 備考
\begin{enumerate}
\item {\tt G2ICTR} が下請として用いる.
\item 凹四辺形には対応していない。座標変換においては、凹四辺形は多価性のある変換にしか現われない。多価の場合は、逆変換はそもそも一意に決まらないので、利用価値が低い。将来的には、凹四辺形に対応してもよい。
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{下請}
{\tt FUNCTION G2SGRD, FUNCTION G2QGRD}
{\tt G2SCTR} の下請であり、動的な配列確保のため C で書かれている。それ以外に
独立な関数とするべき理由はないので説明は割愛する。
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