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## SubQuasiIsomorph
## QuotientQuasiIsomorph
## QuasiIsomorph
###################################################
#############################################################################
#0
#F SubQuasiIsomorph
## Input: A finite cat-1-group C
## Output: A quasi-isomorphic sub cat-1-group of C
##
InstallGlobalFunction(SubQuasiIsomorph,function(C)
local
s,t,G,H,Kers,Kert,Kersnt,tKers,OrdPiOne,OrdPiTwo,OrdPi,
LS,Lx,x,sx,Ordsx,flag,
newGens,news,newt;
s:= C!.sourceMap;
t:= C!.targetMap;
G:=Source(s);
Kers:=Kernel(s);
Kert:=Kernel(t);
Kersnt:=Intersection(Kers,Kert);
tKers:=Image(t,Kers);
OrdPiOne:=Order(HomotopyGroup(C,1));
OrdPiTwo:=Order(HomotopyGroup(C,2));
OrdPi:=OrdPiOne*OrdPiTwo;
LS:=ConjugacyClassesSubgroups(LatticeSubgroups(G));
if not IsMutable(LS) then
LS:= ShallowCopy(LS);
fi;
Sort(LS,function(x,y) return Size(x[1])<Size(y[1]); end);
flag:=0;
for Lx in LS do
x:=Lx[1];
if Order(x)>= OrdPi then
if IsSubgroup(x,Kersnt) then
for x in Lx do
if IsSubgroup(x,Image(s,x)) then
if IsSubgroup(x,Image(t,x)) then
sx:=Image(s,x);
Ordsx:=Order(sx);
if Ordsx = Order(Image(t,Intersection(Kers,x)))*OrdPiOne then
if Ordsx = Order(Intersection(sx,tKers))*OrdPiOne then
H:=x;
flag:=1;
break;
fi;
fi;
fi;
fi;
od;
fi;
fi;
if flag =1 then
break;
fi;
od;
if H=G then
return C;
fi;
newGens:=GeneratorsOfGroup(H);
news:=GroupHomomorphismByImagesNC(H,H,newGens,List(newGens,x->Image(s,x)));
newt:=GroupHomomorphismByImagesNC(H,H,newGens,List(newGens,x->Image(t,x)));
return Objectify(HapCatOneGroup,rec(
sourceMap:=news,
targetMap:=newt));
end);
##
#################### end of SubQuasiIsomorph ################################
#############################################################################
#0
#F QuotientQuasiIsomorph
## Input: A finite cat-1-group C
## Output: A quasi-isomorphic quotient cat-1-group of C
##
InstallGlobalFunction(QuotientQuasiIsomorph,function (C)
local
s,t,G,H,Kers,Kert,Kersnt,Ims,OrdIms,Imt,OrdPiOne,OrdPiTwo,Ord,
LN,x,n,i,
OrderPiOneGx,OrderPiTwoGx,
epi,newG,newGens,news,newt;
s:=C!.sourceMap;
t:=C!.targetMap;
G:=Source(s);
Kers:=Kernel(s);
Ims:=Image(s);
OrdIms:=Order(Ims);
Imt:=Image(t);
Kert:=Kernel(t);
Kersnt:=Intersection(Kers,Kert);
OrdPiOne:= Order(HomotopyGroup(C,1));
OrdPiTwo:= Order(HomotopyGroup(C,2));
Ord:=Order(G)/(OrdPiOne*OrdPiTwo);
######################################################################
#1
OrderPiOneGx:=function(x)
local tsx;
tsx:=Image(t,PreImages(s,Intersection(Ims,x)));
return (OrdIms*Order(Intersection(tsx,x)))/
(Order(Intersection(Ims,x))*Order(tsx));
end;
##
######################################################################
#1
OrderPiTwoGx:=function(x)
local f;
f:=NaturalHomomorphismByNormalSubgroup(G,x);
return Order(Intersection(Image(f,PreImages(s,Intersection(Ims,x))),
Image(f,PreImages(t,Intersection(Imt,x)))));
end;
##
######################################################################
LN:=NormalSubgroups(G);
if not IsMutable(LN) then
LN:= ShallowCopy(LN);
fi;
Sort(LN,function(x,y) return Size(x)>Size(y); end);
n:=Length(LN);
for i in [1..n] do
x:=LN[i];
if Order(x) <= Ord then
if IsSubgroup(x,Image(s,x)) then
if IsSubgroup(x,Image(t,x)) then
if IsSubgroup(x,CommutatorSubgroup(PreImages(s,Intersection(Ims,x)),
PreImages(t,Intersection(Imt,x)))) then
if Order(Kersnt) = Order(Intersection(Kersnt,x))*OrdPiTwo then
if OrderPiTwoGx(x) = OrdPiTwo then
if OrderPiOneGx(x) = OrdPiOne then
H:=x;
break;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
fi;
od;
if Order(H)=1 then
return C;
fi;
epi:=NaturalHomomorphismByNormalSubgroup(G,H);
newG :=Image(epi);
newGens:=GeneratorsOfGroup(newG);
news:=GroupHomomorphismByImagesNC(newG,newG,newGens,
List(newGens,x->Image(epi,Image(s,PreImagesRepresentative(epi,x)))));
newt:=GroupHomomorphismByImagesNC(newG,newG,newGens,
List(newGens,x->Image(epi,Image(t,PreImagesRepresentative(epi,x)))));
return Objectify(HapCatOneGroup,rec(
sourceMap:=news,
targetMap:=newt));
end);
##
#################### end of QuotientQuasiIsomorph ###########################
#############################################################################
#0
#F QuasiIsomorph
## Input: A finite cat-1-group or a finite crossed module X
## Output: A quasi-isomorphism of X
##
InstallGlobalFunction(QuasiIsomorph,function (X)
local QuasiIsomorphOfCat, QuasiIsomorphOfCross;
######################################################################
#1
#F QuasiIsomorphOfCat
## Input: A finite cat-1-group C
## Output: A quasi-isomorphism of C
##
QuasiIsomorphOfCat:=function(C)
local D;
D:=QuotientQuasiIsomorph(C);
D:=SubQuasiIsomorph(D);
while Size(D) < Size(C) do
C:=D;
D:=QuotientQuasiIsomorph(C);
if Size(D) < Size(C) then
D:=SubQuasiIsomorph(D);
fi;
od;
return D;
end;
##
############### end of QuasiIsomorphOfCat ############################
######################################################################
#1
#F QuasiIsomorphOfCross
## Input: A finite crossed module XC
## Output: A quasi-isomorphism of XC
##
QuasiIsomorphOfCross:=function(XC)
local C,D;
C:=CatOneGroupByCrossedModule(XC);
D:=QuasiIsomorphOfCat(C);
return CrossedModuleByCatOneGroup(D);
end;
##
############### end of QuasiIsomorphOfCross ##########################
if IsHapCatOneGroup(X) then
return QuasiIsomorphOfCat(X);
fi;
if IsHapCrossedModule(X) then
return QuasiIsomorphOfCross(X);
fi;
end);
##
#################### end of QuasiIsomorph ###################################
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