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#(C) Graham Ellis, 2005-2006
#####################################################################
#####################################################################
#####################################################################
InstallGlobalFunction(HomologyVectorSpace,
function(X,n)
local
FasterHomology_Obj,
Homology_Obj,
Homology_Arr,
HomologyAsFpGroup,
prime,Fld,C;
#if IsHapChainMap(X) then C:=X; else C:=Source(X); fi;
if IsHapChainComplex(X) then C:=X; else C:=Source(X); fi;
prime:=EvaluateProperty(C,"characteristic");
if prime=-1/2 then Fld:=Field(1); fi;
if IsPrimeInt(prime) then Fld:=GF(prime); fi;
if not IsPrimeInt(prime) and not prime=-1/2 then
Print("The field should be the rationals or of prime characteristic.\n");
return fail;
fi;
#####################################################################
#####################################################################
FasterHomology_Obj:=function(C,n)
local
M1, M2,
dim,
rankM1, rankM2,
Dimension, Boundary,
BasisKerd1, BasisImaged2, Rels, Rank, RankM1, RankM2,
LengthM1,LengthM2,
i;
Dimension:=C!.dimension;
Boundary:=C!.boundary;
if n <0 then return 0; fi;
if Dimension(n)=0 then return Fld^0; fi;
########################
if n=0 then
M1:=[];
fi;
if n>0 then
M1:=[];
if Dimension(n-1)=0 then BasisKerd1:=Basis(Fld^Dimension(n));
else
for i in [1..Dimension(n)] do
M1[i]:=Boundary(n,i);
od;
M1:=MutableCopyMat(M1);
ConvertToMatrixRep(M1);
fi;
fi;
#######################
if Length(M1)=0 then RankM1:=0; else
RankM1:=RankMatDestructive(M1);
fi;
LengthM1:=Dimension(n);
M1:=0;
M2:=[];
for i in [1..Dimension(n+1)] do
M2[i]:=Boundary(n+1,i);
od;
if Length(M2)=0 then RankM2:=0; else
M2:=MutableCopyMat(M2);
ConvertToMatrixRep(M2);
RankM2:=RankMatDestructive(M2);fi;
M2:=0;
Rank:= LengthM1-RankM1 -RankM2;;
return Fld^Rank;
end;
#####################################################################
#####################################################################
#####################################################################
#####################################################################
Homology_Obj:=function(C,n)
local
M1, M2,
dim,
rankM1, rankM2,
Dimension, Boundary,
BasisKerd1, BasisImaged2, Rels, Rank,
i,k,tmp;
Dimension:=C!.dimension;
Boundary:=C!.boundary;
if n <0 then return false; fi;
if Dimension(n)=0 then return Fld^0; fi;
########################
if n=0 then
BasisKerd1:=IdentityMat(Dimension(n))*One(Fld);
fi;
if n>0 then
M1:=[];
if Dimension(n-1)=0 then
for i in [1..Dimension(n)] do
M1[i]:=[Zero(Fld)];
od;
else
for i in [1..Dimension(n)] do
M1[i]:=Boundary(n,i);
od;
fi;
ConvertToMatrixRep(M1);
#BasisKerd1:=NullspaceMatDestructive(M1);
#BasisKerd1:=NullspaceMat(M1);
BasisKerd1:=TriangulizedNullspaceMat(M1);
M1:=0;
fi;
#######################
M2:=[];
tmp:=[];
k:=0;
while k<Dimension(n+1) do
M2:=[];
for i in [k+1..Minimum(Dimension(n+1),k+100)] do
M2[i-k]:=Boundary(n+1,i);
od;
k:=Minimum(Dimension(n+1),k+100);
Append(tmp,BaseMat(M2));
od;
Add(tmp,[1..Dimension(n)]*Zero(Fld) );
BasisImaged2:=BaseMat(tmp); tmp:=0;
dim:=Length(BasisImaged2);
Rels:=[];
for i in [1..dim] do
Rels[i]:=SolutionMat(BasisKerd1,BasisImaged2[i]);
od;
Rank:=Length(BasisKerd1) - dim;
return rec(
basisKerd1:=BasisKerd1,
rank:=Rank,
rels:=Rels);
end;
#####################################################################
#####################################################################
#####################################################################
#####################################################################
HomologyAsFpGroup:=function(C,n)
local
F, H, FhomH, Rels, Fgens, Frels, IHC, HhomC, ChomH,
Vector2Word, BasisKerd1, rel, i, j, FieldToInt,
one, Bas;
#############SAVE RECOMPUTATIONS##########
if "HomVecSpc" in NamesOfComponents(C) then
if IsBound(C!.HomVecSp[n+1]) then
return C!.HomVecSp[n+1];
fi;
else
C!.HomVecSp:=[];
fi;
##########################################
IHC:=Homology_Obj(C,n);
BasisKerd1:=IHC.basisKerd1;
Rels:=IHC.rels;
F:=Fld^Length(BasisKerd1);
Fgens:=List(CanonicalBasis(F),x->x);
Frels:=[Zero(F)];
one:=One(Fld);
#####################################################################
FieldToInt:=function(x)
local
i;
if prime=-1/2 then return x; fi;
for i in [0..prime] do
if i*one=x then return i; fi;
od;
end;
#####################################################################
#####################################################################
Vector2Word:=function(rel)
local w,i;
return rel*one;
end;
#####################################################################
for rel in Rels do
Append(Frels,[Vector2Word(rel)]);
od;
if Dimension(F)=0 then Frels:=[]; fi;
FhomH:=NaturalHomomorphismBySubspace(F,Subspace(F,Frels));
H:=Range(FhomH);
Bas:=List(CanonicalBasis(H),a->a);
#####################################################################
HhomC:=function(w)
local x,i,c;
x:=PreImagesRepresentative(FhomH,Bas[w]);
c:=BasisKerd1[1]*0;
for i in [1..Length(x)] do
c:=c+BasisKerd1[i]*x[i];
od;
return c;
end;
#####################################################################
#####################################################################
ChomH:=function(v)
local w;
w:=SolutionMat(BasisKerd1,v);
w:=Vector2Word(w);
w:=Image(FhomH,w);
return w;
end;
#####################################################################
C!.HomVecSp[n+1]:=
rec(
fpgroup:=H,
h2c:=HhomC,
c2h:=ChomH );
return C!.HomVecSp[n+1];
end;
#####################################################################
#####################################################################
#####################################################################
#####################################################################
Homology_Arr:=function(f,n)
local
C,D,ChomD,
HC, HChomC, ChomHC, IHC,
HD, HDhomD, DhomHD, IHD,
HChomHD, gensHC, imageGensHC,
x,V,W;
C:=f!.source;
D:=f!.target;
ChomD:=f!.mapping;
########################################
if C!.dimension(n)=0 and D!.dimension(n)=0 then
V:=Fld^0;
return NaturalHomomorphismBySubspace(V,V);
fi;
if C!.dimension(n)=0 then
W:=HomologyAsFpGroup(D,n)!.fpgroup;
if Dimension(W)=0 then
V:=Fld^0;
return NaturalHomomorphismBySubspace(V,V);
fi;
V:=Subspace(W,[Zero(W)]);
return LeftModuleHomomorphismByImagesNC(V,W,GeneratorsOfVectorSpace(V),[Zero(W)]);
fi;
if D!.dimension(n)=0 then
V:=HomologyAsFpGroup(C,n)!.fpgroup;
return NaturalHomomorphismBySubspace(V,V);
fi;
########################################
IHC:=HomologyAsFpGroup(C,n);
HC:=IHC.fpgroup;
gensHC:=List(CanonicalBasis(HC),x->x);
HChomC:=IHC.h2c;
ChomHC:=IHC.c2h;
IHD:=HomologyAsFpGroup(D,n);
HD:=IHD.fpgroup;
HDhomD:=IHD.h2c;
DhomHD:=IHD.c2h;
imageGensHC:=[];
for x in [1..Length(gensHC)] do
Append(imageGensHC,[ DhomHD(ChomD(HChomC(x),n)) ] );
#ChomD(a,n) take most of the time
od;
#HChomHD:=GroupHomomorphismByImagesNC(HC,HD,gensHC,imageGensHC);
if Dimension(HD)=0 then
HChomHD:=NaturalHomomorphismBySubspace(HC,HC);
else
HChomHD:=LeftModuleHomomorphismByImagesNC( HC, HD, gensHC, imageGensHC );
fi;
return HChomHD;
end;
#####################################################################
#####################################################################
if EvaluateProperty(X,"type")="chainComplex" then
if IsPrimeInt(EvaluateProperty(X,"characteristic")) or
EvaluateProperty(X,"characteristic")=-1/2 then
return FasterHomology_Obj(X,n);
else Print("This function can only be applied over the rationals or in prime characteristic.\n");
return fail; fi;
fi;
if EvaluateProperty(X,"type")="chainMap" then
if IsPrimeInt(EvaluateProperty(Source(X),"characteristic")) or
EvaluateProperty(Source(X),"characteristic") =-1/2 then
return Homology_Arr(X,n);
else Print("This function can only be applied over the rationals or in prime characteristic.\n");
return fail; fi;
fi;
end);
#####################################################################
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