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#W rowbases.gi Bettina Eick
##
## Methods to compute with rational vector spaces.
##
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##
#F VectorspaceBasis( gens )
##
BindGlobal( "VectorspaceBasis", function( gens )
local j;
TriangulizeMat( gens );
if Length(gens) = 0 then return gens; fi;
j := Position( gens, 0*gens[1] );
if not IsBool( j ) then gens := gens{[1..j-1]}; fi;
return gens;
end );
#############################################################################
##
#F SemiEchelonFactorBase( V, U )
##
BindGlobal( "SemiEchelonFactorBase", function( V, U )
local L1, L2;
L1 := List( V, PositionNonZero );
L2 := List( U, PositionNonZero );
return V{Filtered( [1..Length(V)], i -> not L1[i] in L2 )};
end );
#############################################################################
##
#F MemberBySemiEchelonBase( v, U )
##
BindGlobal( "MemberBySemiEchelonBase", function( v, U )
local d, c, z, l, j;
v := ShallowCopy(v);
d := List( U, PositionNonZero );
c := List( d, x -> 0 );
z := 0 * v;
while v <> z do
l := PositionNonZero(v);
j := Position( d, l );
if IsBool( j ) then return false; fi;
c[j] := v[l];
if U[j][l] <> 1 then c[j] := c[j]/U[j][l]; fi;
AddRowVector( v, U[j], -c[j] );
od;
return c;
end );
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##
#F NaturalHomomorphismBySemiEchelonBases ( V, U )
##
InstallGlobalFunction( NaturalHomomorphismBySemiEchelonBases, function( V, U )
local F, A;
F := SemiEchelonFactorBase( V, U );
A := Concatenation( F, U );
return rec( source := A, kernel := U, factor := F );
end );
#############################################################################
##
#F CoefficientsByNHSEB( v, hom )
##
BindGlobal( "CoefficientsByNHSEB", function( v, hom )
local df, dk, cf, ck, z, l, j;
v := ShallowCopy(v);
df := List( hom.factor, PositionNonZero );
dk := List( hom.kernel, PositionNonZero );
cf := List( df, x -> 0 );
ck := List( dk, x -> 0 );
z := 0 * v;
while v <> z do
l := PositionNonZero(v);
j := Position( df, l );
if not IsBool( j ) then
cf[j] := v[l];
if hom.factor[j][l] <> 1 then cf[j] := cf[j]/hom.factor[j][l]; fi;
AddRowVector( v, hom.factor[j], -cf[j] );
else
j := Position( dk, l );
ck[j] := v[l];
if hom.kernel[j][l] <> 1 then ck[j] := ck[j]/hom.kernel[j][l]; fi;
AddRowVector( v, hom.kernel[j], -ck[j] );
fi;
od;
return rec( coeff1 := cf, coeff2 := ck );
end );
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##
#F ProjectionByNHSEB( vec, hom )
##
BindGlobal( "ProjectionByNHSEB", function( vec, hom )
return CoefficientsByNHSEB( vec, hom ).coeff2;
end );
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##
#F ImageByNHSEB( vec, hom )
##
BindGlobal( "ImageByNHSEB", function( vec, hom )
return CoefficientsByNHSEB( vec, hom ).coeff1;
end );
#############################################################################
##
#F PreimagesRepresentativeByNHSEB( vec, hom )
##
BindGlobal( "PreimagesRepresentativeByNHSEB", function( vec, hom )
return vec * hom.factor;
end );
#############################################################################
##
#F PreimageByNHSEB( base, hom )
##
InstallGlobalFunction( PreimageByNHSEB, function( base, hom )
local new;
new := List( base, x -> x * hom.factor );
Append( new, hom.kernel );
return new;
end );
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##
#F InducedActionByNHSEB( mat, hom )
##
BindGlobal( "InducedActionByNHSEB", function( mat, hom )
local fac, sub;
fac := List( hom.factor, x -> CoefficientsByNHSEB( x*mat, hom ).coeff1 );
sub := List( hom.kernel, x -> CoefficientsByNHSEB( x*mat, hom ).coeff2 );
return rec( factor := fac, subsp := sub );
end );
#############################################################################
##
#F InducedActionFactorByNHSEB( mat, hom )
##
InstallGlobalFunction( InducedActionFactorByNHSEB, function( mat, hom )
return List( hom.factor, x -> CoefficientsByNHSEB( x*mat, hom ).coeff1 );
end );
#############################################################################
##
#F InducedActionSubspaceByNHSEB( mat, hom )
##
InstallGlobalFunction( InducedActionSubspaceByNHSEB, function( mat, hom )
return List( hom.kernel, x -> CoefficientsByNHSEB( x*mat, hom ).coeff2 );
end );
#############################################################################
##
#F AddVectorEchelonBase( base, vec )
##
BindGlobal( "AddVectorEchelonBase", function( base, vec )
local d, l, j, i;
# reduce vec
d := List( base, PositionNonZero );
repeat
l := PositionNonZero( vec );
j := Position( d, l );
if not IsBool( j ) then
AddRowVector( vec, base[j], -vec[l] );
fi;
until IsBool( j );
# if vec is completely reduced
if l = Length(vec)+1 then return; fi;
# norm vector
MultVector( vec, vec[l]^-1 );
# finally add vector to base
base[Length(base)+1] := vec;
end );
#############################################################################
##
#F SpinnUpEchelonBase( base, vecs, gens, oper )
##
InstallGlobalFunction( SpinnUpEchelonBase, function( base, vecs, gens, oper )
local todo, i, v, l;
todo := ShallowCopy( vecs );
i := 1;
l := Length( base );
while i <= Length( todo ) do
v := todo[i];
AddVectorEchelonBase( base, v );
if Length( base ) > l then
Append( todo, List( gens, x -> oper( v, x ) ) );
l := l + 1;
fi;
i := i + 1;
od;
TriangulizeMat( base );
return base;
end );
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##
#F OnMatVector( vec, mat ) . . . . . . . .operation by matrix on flat matrix
##
InstallGlobalFunction( OnMatVector, function( vec, mat )
local new, d, i;
d := Length( mat );
new := List( mat, x -> 0 );
for i in [1..d] do new[i] := vec{[(i-1)*d+1..i*d]} * mat; od;
return Flat( new );
end );
#############################################################################
##
#F MatByVector( vec, d ) . . . . . . . . . . . . . . reconstruct flat matrix
##
InstallGlobalFunction( MatByVector, function( vec, d )
return List( [1..d], x -> vec{[(x-1)*d+1..x*d]} );
end );
#############################################################################
##
#F IsSemiEchelonBase( base )
##
BindGlobal( "IsSemiEchelonBase", function( base )
return IsSSortedList( List( base, PositionNonZero ) );
end );
#############################################################################
##
#F IsEchelonBase( base )
##
BindGlobal( "IsEchelonBase", function( base )
local d, i;
d := List( base, PositionNonZero );
if not IsSSortedList( List( base, PositionNonZero ) ) then return false; fi;
for i in [1..Length(d)] do
if base[i][d[i]] <> 1 then return false; fi;
od;
return true;
end );
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