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##
#W nr.gd Near-ring Library J"urgen Ecker
##
#Y Copyright (C)
##
## $Log: nr.gd,v $
## Revision 1.4 2007-05-09 22:45:31 stein
## added functions IsNearRingUnit, NearRingUnits
##
## Revision 1.3 2002/01/17 18:25:52 juergen
## two versions of IsultiplicationRespectingHomomorphism - both with errors
## code cleaned
##
## Revision 1.2 2001/03/21 14:41:07 juergen
## erste korrekturen nach dem studium des tutorials
##
## Revision 1.1.1.1 2000/02/21 15:59:03 hetzi
## Sonata Project Start
##
## 13.01.00 PM: new attribute NRMultiplication
## new attribute NRRowEndos
#############################################################################
##
#I InfoNearRing
DeclareInfoClass( "InfoNearRing" );
#############################################################################
##
#O NearRingElementByGroupRep Element of the additive group -> nearring element
DeclareOperation( "NearRingElementByGroupRep", [IsObject,IsMultiplicativeElementWithInverse] );
#############################################################################
##
#O IntRepOfObj Nearring element -> element of the addtitive group
#
#DeclareOperation( "IntRepOfObj", [IsNearRingElement] );
#############################################################################
##
#O AsTransformationNearRing( < N > ) compute an isomorphic
## TfmNR
DeclareOperation( "AsTransformationNearRing", [IsNearRing] );
#############################################################################
##
#A NearRingUnits( <R> )
##
## `Units' returns the group of units of the near-ring <R>.
## This may either be returned as a list or as a group.
##
## An element $r$ is called a *unit* of a near-ring $R$, if $r$ has an
## inverse in $R$.
## It is easy to see that the set of units forms a multiplicative group.
##
##NECESSARY BECAUSE 'Units' IS DECLARED ONLY FOR RINGS IN THE GAP-FILE RING.GD
##SHOULD EVENTUALLY BE CHANGED TO NEARRINGS THERE
##
DeclareAttribute( "NearRingUnits", IsNearRing );
DeclareOperation( "IsNearRingUnit", [ IsNearRing, IsNearRingElement ] );
############################################################################
##
#P IsAbelianNearRing
DeclareProperty( "IsAbelianNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsAbstractAffineNearRing
DeclareProperty( "IsAbstractAffineNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsDistributiveNearRing
DeclareProperty( "IsDistributiveNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsBooleanNearRing
DeclareProperty( "IsBooleanNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsDgNearRing
DeclareProperty( "IsDgNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsIntegralNearRing
DeclareProperty( "IsIntegralNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsNilNearRing
DeclareProperty( "IsNilNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsNilpotentNearRing
DeclareProperty( "IsNilpotentNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsPrimeNearRing
DeclareProperty( "IsPrimeNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsPMNearRing
DeclareProperty( "IsPMNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsQuasiregularNearRing
DeclareProperty( "IsQuasiregularNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsRegularNearRing
DeclareProperty( "IsRegularNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsNilpotentFreeNearRing
DeclareProperty( "IsNilpotentFreeNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsPlanarNearRing
DeclareProperty( "IsPlanarNearRing", IsNearRing );
############################################################################
##
#P IsNearField
DeclareProperty( "IsNearField", IsNearRing );
############################################################################
##
#A Distributors
DeclareAttribute( "Distributors", IsNearRing );
############################################################################
##
#A DistributiveElements
DeclareAttribute( "DistributiveElements", IsNearRing );
############################################################################
##
#A ZeroSymmetricElements
DeclareAttribute( "ZeroSymmetricElements", IsNearRing );
############################################################################
##
#A IdempotentElements
DeclareAttribute( "IdempotentElements", IsNearRing );
############################################################################
##
#A NilpotentElements
DeclareAttribute( "NilpotentElements", IsNearRing );
############################################################################
##
#A QuasiregularElements
DeclareAttribute( "QuasiregularElements", IsNearRing );
############################################################################
##
#A RegularElements
DeclareAttribute( "RegularElements", IsNearRing );
############################################################################
##
#A GroupReduct
DeclareAttribute( "GroupReduct", IsCollection );
#####################################################################
##
#O IsMultiplicationRespectingHomomorphism ( <hom>, <nr>, <nr> )
##
## check whether a homomorphism between the group reducts
## respects the near ring multiplications also
DeclareOperation( "IsMultiplicationRespectingHomomorphism",
[IsGeneralMapping, IsNearRing, IsNearRing] );
#############################################################################
##
#P IsZeroSymmetricNearRing returns true if 0x=x0 for all x
##
DeclareProperty( "IsZeroSymmetricNearRing", IsNearRing );
#############################################################################
##
#O SubNearRingBySubgroupNC ( <nr>, <sg> ) .... the subnearring of <nr>
## determined by the subgroup
## <sg> of the additive group of <nr>.
## No Check!
DeclareOperation( "SubNearRingBySubgroupNC", [IsNearRing, IsGroup] );
#############################################################################
##
#A InvariantSubNearRings( <N> ). . . . . . . compute all inv subnr's of <N>.
##
DeclareAttribute( "InvariantSubNearRings", IsNearRing );
#############################################################################
##
#A SubNearRings( <N> ) . . . . . . . . . . . . . compute all subnr's of <N>.
##
DeclareAttribute( "SubNearRings", IsNearRing );
#############################################################################
##
#F NoetherianQuotient
##
DeclareGlobalFunction( "NoetherianQuotient" );
#############################################################################
##
#O AsGroupReductElement( <nrelm> )
##
DeclareOperation( "AsGroupReductElement", [IsNearRingElement] );
#############################################################################
##
#O AsNearRingElement( <nr>, <grpelm> )
##
DeclareOperation( "AsNearRingElement",
[IsNearRing, IsMultiplicativeElementWithInverse] );
#############################################################################
##
#A GeneratorsOfNearRing
##
DeclareAttribute( "GeneratorsOfNearRing", IsNearRing );
#############################################################################
##
#A AdditiveGenerators( <X> ) returns a set of additive generators of <X>
##
DeclareAttribute( "AdditiveGenerators", IsNearRingElementCollection );
#############################################################################
##
#F NRClosureOfSubgroup( <G>, <gens>, <fam> )
##
## <G>: the subgroup
## <gens>: a set of generators of the nearring
## <fam>: the family of the elements of the ExpMulNearRing
## the group the mappings act on for a TfmNR
DeclareGlobalFunction( "NRClosureOfSubgroup" );
#########################################################################
##
#O IsDistributiveNearRingElement( <nr>, <elm> )
##
## returns true if <elm> distributes over all elements of <nr>
##
DeclareOperation( "IsDistributiveNearRingElement",
[IsNearRing, IsNearRingElement] );
#############################################################################
##
#A NRMultiplication( <N> ) returns the multiplication function of <N>
##
DeclareAttribute( "NRMultiplication", IsNearRing );
#############################################################################
##
#A NRRowEndos( <N> ) returns the list of endomorphisms x -> n*x
## corresponding to the elements n of <N>
##
DeclareAttribute( "NRRowEndos", IsNearRing, "mutable" );
|
