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|
prioritize_real();;
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* First the R = 0 case. *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
let QUARTIC_1 = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
R = &0 /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
D pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b + &2 * s /\
x = --a / &4 + R / &2 + D / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_RING);;
let QUARTIC_2 = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
R = &0 /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
D pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b + &2 * s /\
x = --a / &4 + R / &2 - D / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_RING);;
let QUARTIC_3 = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
R = &0 /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
E pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b - &2 * s /\
x = --a / &4 - R / &2 + E / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_RING);;
let QUARTIC_4 = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
R = &0 /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
E pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b - &2 * s /\
x = --a / &4 - R / &2 - E / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_RING);;
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* The R nonzero case. *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
let QUARTIC_1' = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
~(R = &0) /\
D pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b +
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R) /\
x = --a / &4 + R / &2 + D / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_FIELD);;
let QUARTIC_2' = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
~(R = &0) /\
D pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b +
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R) /\
x = --a / &4 + R / &2 - D / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_FIELD);;
let QUARTIC_3' = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
~(R = &0) /\
E pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b -
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R) /\
x = --a / &4 - R / &2 + E / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_FIELD);;
let QUARTIC_4' = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
~(R = &0) /\
E pow 2 = &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b -
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R) /\
x = --a / &4 - R / &2 - E / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_FIELD);;
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* Combine them. *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
let QUARTIC_1 = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
(D pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b + &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b +
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R)) /\
x = --a / &4 + R / &2 + D / &2
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_FIELD);;
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* A case split. *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
let QUARTIC_1 = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
(D pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b + &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b +
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R)) /\
(E pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b - &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b -
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R)) /\
(x = --a / &4 + R / &2 + D / &2 \/
x = --a / &4 - R / &2 + E / &2)
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
CONV_TAC REAL_FIELD);;
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* More general case split. *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
let QUARTIC_CASES = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
(D pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b + &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b +
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R)) /\
(E pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b - &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b -
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R)) /\
(x = --a / &4 + R / &2 + D / &2 \/
x = --a / &4 + R / &2 - D / &2 \/
x = --a / &4 - R / &2 + E / &2 \/
x = --a / &4 - R / &2 - E / &2)
==> x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0`,
COND_CASES_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
CONV_TAC REAL_FIELD);;
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* Even this works --- great, that's nearly what we wanted. *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
let QUARTIC_CASES = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
(D pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b + &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b +
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R)) /\
(E pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b - &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b -
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R))
==> (x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0 <=>
x = --a / &4 + R / &2 + D / &2 \/
x = --a / &4 + R / &2 - D / &2 \/
x = --a / &4 - R / &2 + E / &2 \/
x = --a / &4 - R / &2 - E / &2)`,
COND_CASES_TAC THEN ASM_REWRITE_TAC[] THEN POP_ASSUM MP_TAC THEN
CONV_TAC REAL_FIELD);;
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* This is the automatic proof. *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)
let QUARTIC_CASES = prove
(`y pow 3 - b * y pow 2 + (a * c - &4 * d) * y -
a pow 2 * d + &4 * b * d - c pow 2 = &0 /\
R pow 2 = a pow 2 / &4 - b + y /\
s pow 2 = y pow 2 - &4 * d /\
(D pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b + &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b +
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R)) /\
(E pow 2 = if R = &0 then &3 * a pow 2 / &4 - &2 * b - &2 * s
else &3 * a pow 2 / &4 - R pow 2 - &2 * b -
(&4 * a * b - &8 * c - a pow 3) / (&4 * R))
==> (x pow 4 + a * x pow 3 + b * x pow 2 + c * x + d = &0 <=>
x = --a / &4 + R / &2 + D / &2 \/
x = --a / &4 + R / &2 - D / &2 \/
x = --a / &4 - R / &2 + E / &2 \/
x = --a / &4 - R / &2 - E / &2)`,
CONV_TAC REAL_FIELD);;
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