File: maxima_33.html

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<html>
<!-- Created on September, 20 2006 by texi2html 1.76 -->
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            Karl Berry  <karl@freefriends.org>
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<title>Maxima Manual: 33. Symmetries</title>

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h2
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h3
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<a name="Symmetries"></a>
<a name="SEC130"></a>
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_32.html#SEC129" title="Previous section in reading order"> &lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC131" title="Next section in reading order"> &gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_32.html#SEC128" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> &lt;&lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Up section"> Up </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_34.html#SEC132" title="Next chapter"> &gt;&gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_72.html#SEC264" title="Index">Index</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<h1 class="chapter"> 33. Symmetries </h1>

<table class="menu" border="0" cellspacing="0">
<tr><td align="left" valign="top"><a href="#SEC131">33.1 Definitions for Symmetries</a></td><td>&nbsp;&nbsp;</td><td align="left" valign="top">  
</td></tr>
</table>

<hr size="6">
<a name="Definitions-for-Symmetries"></a>
<a name="SEC131"></a>
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC130" title="Previous section in reading order"> &lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_34.html#SEC132" title="Next section in reading order"> &gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC130" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> &lt;&lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC130" title="Up section"> Up </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_34.html#SEC132" title="Next chapter"> &gt;&gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_72.html#SEC264" title="Index">Index</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<h2 class="section"> 33.1 Definitions for Symmetries </h2>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>comp2pui</b><i> (<var>n</var>, <var>l</var>)</i>
<a name="IDX1080"></a>
</dt>
<dd><p>re'alise le passage des fonctions syme'triques
comple`tes, donnee's dans la liste <var>l</var>, aux fonctions 
syme'triques e'le'mentaires de 0 a` <var>n</var>. Si la liste
<var>l</var> contient moins de <code><var>n</var>+1</code> e'le'ments les valeurs formelles viennent
la completer. Le premier e'le'ment de la liste <var>l</var> donne le cardinal
de l'alphabet si il existe, sinon on le met e'gal a <var>n</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) comp2pui (3, [4, g]);
                        2                    2
(%o1)    [4, g, 2 h2 - g , 3 h3 - g h2 + g (g  - 2 h2)]
</pre></td></tr></table>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>cont2part</b><i> (<var>pc</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1081"></a>
</dt>
<dd><p>rend le polyno^me partitionne' associe' 
a` la forme  contracte'e <var>pc</var> dont les variables sont dans <var>lvar</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) pc: 2*a^3*b*x^4*y + x^5;
                           3    4      5
(%o1)                   2 a  b x  y + x
(%i2) cont2part (pc, [x, y]);
                                   3
(%o2)              [[1, 5, 0], [2 a  b, 4, 1]]
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de repre'sentations :
</p>
<p><code>contract</code>, <code>explose</code>, <code>part2cont</code>, <code>partpol</code>, <code>tcontract</code>, <code>tpartpol</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>contract</b><i> (<var>psym</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1082"></a>
</dt>
<dd><p>rend une forme contracte'e (i.e. un mono^me
par orbite sous l'action du groupe syme'trique) du polyno^me <var>psym</var>
en les variables contenues dans la liste <var>lvar</var>. La fonction <code>explose</code>
re'alise l'ope'ration inverse. La fonction <code>tcontract</code> teste en plus
la syme'trie du polyno^me.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) psym: explose (2*a^3*b*x^4*y, [x, y, z]);
         3      4      3      4      3    4        3    4
(%o1) 2 a  b y z  + 2 a  b x z  + 2 a  b y  z + 2 a  b x  z

                                           3      4      3    4
                                      + 2 a  b x y  + 2 a  b x  y
(%i2) contract (psym, [x, y, z]);
                              3    4
(%o2)                      2 a  b x  y
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de repre'sentations :
</p>
<p><code>cont2part</code>, <code>explose</code>, <code>part2cont</code>, <code>partpol</code>, <code>tcontract</code>, <code>tpartpol</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>direct</b><i> ([<var>p_1</var>, ..., <var>p_n</var>], <var>y</var>, <var>f</var>, [<var>lvar_1</var>, ..., <var>lvar_n</var>])</i>
<a name="IDX1083"></a>
</dt>
<dd><p>calcul l'image
directe (voir M. GIUSTI, D. LAZARD et A. VALIBOUZE, ISSAC 1988, Rome)
associe'e a` la fonction <var>f</var>, en les listes de variables <var>lvar_1</var>, ..., <var>lvar_n</var>,
et aux polyno^mes <var>p_1</var>, ..., <var>p_n</var> d'une variable <var>y</var>. l'arite' de la fonction
<var>f</var> est importante pour le calcul. Ainsi, si l'expression de <var>f</var> ne depend
pas d'une variable, non seulement il est inutile de donner cette
variable mais cela diminue conside'rablement lees calculs si on ne le
fait pas.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
              z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]);
       2
(%o1) y  - e1 f1 y

                                 2            2             2   2
                  - 4 e2 f2 - (e1  - 2 e2) (f1  - 2 f2) + e1  f1
                + -----------------------------------------------
                                         2
(%i2) ratsimp (%);
              2                2                   2
(%o2)        y  - e1 f1 y + (e1  - 4 e2) f2 + e2 f1
(%i3) ratsimp (direct ([z^3-e1*z^2+e2*z-e3,z^2  - f1* z + f2],
              z, b*v + a*u, [[u, v], [a, b]]));
       6            5         2                        2    2   4
(%o3) y  - 2 e1 f1 y  + ((2 e1  - 6 e2) f2 + (2 e2 + e1 ) f1 ) y

                          3                               3   3
 + ((9 e3 + 5 e1 e2 - 2 e1 ) f1 f2 + (- 2 e3 - 2 e1 e2) f1 ) y

         2       2        4    2
 + ((9 e2  - 6 e1  e2 + e1 ) f2

                    2       2       2                   2    4
 + (- 9 e1 e3 - 6 e2  + 3 e1  e2) f1  f2 + (2 e1 e3 + e2 ) f1 )

  2          2                      2     3          2
 y  + (((9 e1  - 27 e2) e3 + 3 e1 e2  - e1  e2) f1 f2

                 2            2    3                5
 + ((15 e2 - 2 e1 ) e3 - e1 e2 ) f1  f2 - 2 e2 e3 f1 ) y

           2                   3           3     2   2    3
 + (- 27 e3  + (18 e1 e2 - 4 e1 ) e3 - 4 e2  + e1  e2 ) f2

         2      3                   3    2   2
 + (27 e3  + (e1  - 9 e1 e2) e3 + e2 ) f1  f2

                   2    4        2   6
 + (e1 e2 e3 - 9 e3 ) f1  f2 + e3  f1
</pre></td></tr></table>
<p>Recherche du polyno^me dont les racines sont les somme a+u ou a est
racine de z^2  - e1* z + e2 et u est racine de z^2  - f1* z + f2
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) ratsimp (direct ([z^2  - e1* z + e2, z^2  - f1* z + f2],
                          z, a + u, [[u], [a]]));
       4                    3             2
(%o1) y  + (- 2 f1 - 2 e1) y  + (2 f2 + f1  + 3 e1 f1 + 2 e2

     2   2                              2               2
 + e1 ) y  + ((- 2 f1 - 2 e1) f2 - e1 f1  + (- 2 e2 - e1 ) f1

                  2                     2            2
 - 2 e1 e2) y + f2  + (e1 f1 - 2 e2 + e1 ) f2 + e2 f1  + e1 e2 f1

     2
 + e2
</pre></td></tr></table>
<p><code>direct</code> peut prendre deux drapeaux possibles : <code>elementaires</code> et
<code>puissances</code> (valeur par de'faut) qui permettent de de'composer
les polyno^mes syme'triques apparaissant dans ce calcul par
les fonctions syme'triques e'le'mentaires ou les fonctions puissances
respectivement.
</p>
<p>Fonctions de <code>sym</code> utilis'ees dans cette fonction :
</p>
<p><code>multi_orbit</code> (donc <code>orbit</code>), <code>pui_direct</code>, <code>multi_elem</code>
(donc <code>elem</code>), <code>multi_pui</code> (donc <code>pui</code>), <code>pui2ele</code>, <code>ele2pui</code>
(si le drapeau <code>direct</code> est a` <code>puissances</code>).
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>ele2comp</b><i> (<var>m</var>, <var>l</var>)</i>
<a name="IDX1084"></a>
</dt>
<dd><p>passe des fonctions syme'triques e'le'mentaires
aux fonctions comple`tes. Similaire a` <code>comp2ele</code> et <code>comp2pui</code>.
</p>
<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2pui</code>, <code>elem</code>, <code>mon2schur</code>, <code>multi_elem</code>,
<code>multi_pui</code>, <code>pui</code>, <code>pui2comp</code>, <code>pui2ele</code>, <code>puireduc</code>, <code>schur2comp</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>ele2polynome</b><i> (<var>l</var>, <var>z</var>)</i>
<a name="IDX1085"></a>
</dt>
<dd><p>donne le polyno^me en <var>z</var> dont les fonctions
syme'triques e'le'mentaires des racines sont dans la liste <var>l</var>.
<code><var>l</var> = [<var>n</var>, <var>e_1</var>, ..., <var>e_n</var>]</code> ou` <var>n</var> est le degre' du polyno^me
et <var>e_i</var> la <var>i</var>-ie`me
fonction syme'trique e'le'mentaire.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) ele2polynome ([2, e1, e2], z);
                          2
(%o1)                    z  - e1 z + e2
(%i2) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3  - 56*x + 22, x);
(%o2)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
(%i3) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                  7       5       3
(%o3)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22
</pre></td></tr></table>

   
<p>La re'ciproque: <code>polynome2ele (<var>P</var>, <var>z</var>)</code>
</p>
<p>Autres fonctions a` voir :
</p>
<p><code>polynome2ele</code>, <code>pui2polynome</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>ele2pui</b><i> (<var>m</var>, <var>l</var>)</i>
<a name="IDX1086"></a>
</dt>
<dd><p>passe des fonctions syme'triques e'le'mentaires
aux fonctions comple`tes. Similaire a` <code>comp2ele</code> et <code>comp2pui</code>.
</p>
<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2comp</code>, <code>elem</code>, <code>mon2schur</code>, <code>multi_elem</code>,
<code>multi_pui</code>, <code>pui</code>, <code>pui2comp</code>, <code>pui2ele</code>, <code>puireduc</code>, <code>schur2comp</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>elem</b><i> (<var>ele</var>, <var>sym</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1087"></a>
</dt>
<dd><p>de'compose le polyno^me syme'trique <var>sym</var>, en les variables
contenues de la liste <var>lvar</var>, par les fonctions syme'triques e'le'mentaires
contenues dans la liste <var>ele</var>. Si le premier e'le'ment de <var>ele</var> est donne'
ce sera le cardinal de l'alphabet sinon on prendra le degre' du polyno^me
<var>sym</var>. Si il manque des valeurs a` la liste <var>ele</var> des valeurs formelles
du type &quot;ei&quot; sont rajoute'es. Le polyno^me <var>sym</var> peut etre donne'
sous 3 formes diffe'rentes : contracte'e (<code>elem</code> doit alors valoir 1 sa valeur
par de'faut), partitionne'e (<code>elem</code> doit alors valoir 3) ou e'tendue (i.e. le
polyno^me en entier) (<code>elem</code> doit alors valoir 2). L'utilsation
de la fonction <code>pui</code> se re'alise sur le me^me mode`le.
</p>
<p>Sur un alphabet de cardinal 3 avec e1, la premie`re fonction syme'trique
e'le'mentaire, valant 7, le polyno^me syme'trique en 3 variables dont
la forme contracte'e (ne de'pendant ici que de deux de ses variables)
est x^4-2*x*y se de'compose ainsi en les fonctions syme'triques 
e'le'mentaires :
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) elem ([3, 7], x^4 - 2*x*y, [x, y]);
(%o1) 7 (e3 - 7 e2 + 7 (49 - e2)) + 21 e3

                                         + (- 2 (49 - e2) - 2) e2
(%i2) ratsimp (%);
                              2
(%o2)             28 e3 + 2 e2  - 198 e2 + 2401
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2comp</code>, <code>ele2pui</code>,
<code>mon2schur</code>, <code>multi_elem</code>, <code>multi_pui</code>,
<code>pui</code>, <code>pui2comp</code>, <code>pui2ele</code>, <code>puireduc</code>, <code>schur2comp</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>explose</b><i> (<var>pc</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1088"></a>
</dt>
<dd><p>rend le polyno^me syme'trique associe' a` la forme 
contracte'e <var>pc</var>. La liste <var>lvar</var> contient les variables.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) explose (a*x + 1, [x, y, z]);
(%o1)                  a z + a y + a x + 1
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de repre'sentations :
</p>
<p><code>contract</code>, <code>cont2part</code>, <code>part2cont</code>, <code>partpol</code>, <code>tcontract</code>, <code>tpartpol</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>kostka</b><i> (<var>part_1</var>, <var>part_2</var>)</i>
<a name="IDX1089"></a>
</dt>
<dd><p>e'crite par P. ESPERET, calcule le nombre de
Kostka associe' aux partition <var>part_1</var> et <var>part_2</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) kostka ([3, 3, 3], [2, 2, 2, 1, 1, 1]);
(%o1)                           6
</pre></td></tr></table>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>lgtreillis</b><i> (<var>n</var>, <var>m</var>)</i>
<a name="IDX1090"></a>
</dt>
<dd><p>rend la liste des partitions de poids <var>n</var> et de longueur <var>m</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) lgtreillis (4, 2);
(%o1)                   [[3, 1], [2, 2]]
</pre></td></tr></table>
<p>Voir e'galement : <code>ltreillis</code>, <code>treillis</code> et <code>treinat</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>ltreillis</b><i> (<var>n</var>, <var>m</var>)</i>
<a name="IDX1091"></a>
</dt>
<dd><p>rend la liste des partitions de poids <var>n</var> et de longueur 
infe'rieure ou e'gale a` <var>m</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) ltreillis (4, 2);
(%o1)               [[4, 0], [3, 1], [2, 2]]
</pre></td></tr></table>

<p>Voir e'galement : <code>lgtreillis</code>, <code>treillis</code> et <code>treinat</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>mon2schur</b><i> (<var>l</var>)</i>
<a name="IDX1092"></a>
</dt>
<dd><p>la liste <var>l</var> repre'sente la fonction de Schur S_<var>l</var>:
 On a <var>l</var> = [<var>i_1</var>, <var>i_2</var>, ..., <var>i_q</var>]
avec <var>i_1</var> &lt;= <var>i_2</var> &lt;= ... &lt;= <var>i_q</var>.
La fonction de Schur est S_[<var>i_1</var>, <var>i_2</var>, ..., <var>i_q</var>]
est le mineur de la matrice infinie (h_{i-j}) <var>i</var> &gt;= 1, <var>j</var> &gt;= 1 compose'
des q premie`res lignes et des colonnes <var>i_1</var> + 1, <var>i_2</var> + 2, ..., <var>i_q</var> + <var>q</var>.
</p>
<p>On e'crit cette fonction de Schur en fonction des
formes monomiales en utilisant les fonctions <code>treinat</code> et <code>kostka</code>. La forme
rendue est un polyno^me syme'trique dans une de ses repre'sentations
contracte'es avec les variables <var>x_1</var>, <var>x_2</var>, ....
</p> 
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) mon2schur ([1, 1, 1]);
(%o1)                       x1 x2 x3
(%i2) mon2schur ([3]);
                                  2        3
(%o2)                x1 x2 x3 + x1  x2 + x1
(%i3) mon2schur ([1, 2]);
                                      2
(%o3)                  2 x1 x2 x3 + x1  x2
</pre></td></tr></table>

<p>ce qui veut dire que pour 3 variables cela donne :
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">   2 x1 x2 x3 + x1^2 x2 + x2^2 x1 + x1^2 x3 + x3^2 x1
    + x2^2 x3 + x3^2 x2
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2comp</code>, <code>ele2pui</code>, <code>elem</code>, <code>multi_elem</code>,
<code>multi_pui</code>, <code>pui</code>, <code>pui2comp</code>, <code>pui2ele</code>, <code>puireduc</code>, <code>schur2comp</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>multi_elem</b><i> (<var>l_elem</var>, <var>multi_pc</var>, <var>l_var</var>)</i>
<a name="IDX1093"></a>
</dt>
<dd><p>de'compose un polyno^me 
multi-syme'trique sous la forme multi-contracte'e <var>multi_pc</var> en les groupes
de variables contenue dans la liste de listes <var>l_var</var> sur les
groupes de fonctions syme'triques e'le'mentaires contenues dans <var>l_elem</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) multi_elem ([[2, e1, e2], [2, f1, f2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
                                                  3
(%o1)         - 2 f2 + f1 (f1 + e1) - 3 e1 e2 + e1
(%i2) ratsimp (%);
                         2                       3
(%o2)         - 2 f2 + f1  + e1 f1 - 3 e1 e2 + e1
</pre></td></tr></table>
<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2comp</code>, <code>ele2pui</code>, <code>elem</code>,
<code>mon2schur</code>, <code>multi_pui</code>, <code>pui</code>, <code>pui2comp</code>, <code>pui2ele</code>,
<code>puireduc</code>, <code>schur2comp</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>multi_orbit</b><i> (<var>P</var>, [<var>lvar_1</var>, <var>lvar_2</var>, ..., <var>lvar_p</var>])</i>
<a name="IDX1094"></a>
</dt>
<dd><p><var>P</var> est un polyno^me en l'ensemble
des variables contenues dans les listes <var>lvar_1</var>, <var>lvar_2</var>, ..., <var>lvar_p</var>. 
Cette fonction rame`ne l'orbite du polyno^me <var>P</var> sous l'action du produit 
des groupes syme'triques des ensembles de variables repre'sente's par 
ces <var>p</var> listes.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) multi_orbit (a*x + b*y, [[x, y], [a, b]]);
(%o1)                [b y + a x, a y + b x]
(%i2) multi_orbit (x + y + 2*a, [[x, y], [a, b, c]]);
(%o2)        [y + x + 2 c, y + x + 2 b, y + x + 2 a]
</pre></td></tr></table>

<p>Voir e'galement : <code>orbit</code> pour l'action d'un seul groupe syme'trique.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>multi_pui</b>
<a name="IDX1095"></a>
</dt>
<dd><p>est a` la fonction <code>pui</code> ce que la fonction <code>multi_elem</code> est
a` la fonction <code>elem</code>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) multi_pui ([[2, p1, p2], [2, t1, t2]], a*x + a^2 + x^3, [[x, y], [a, b]]);
                                            3
                                3 p1 p2   p1
(%o1)              t2 + p1 t1 + ------- - ---
                                   2       2
</pre></td></tr></table>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>multinomial</b><i> (<var>r</var>, <var>part</var>)</i>
<a name="IDX1096"></a>
</dt>
<dd><p>ou` <var>r</var> est le poids de la partition <var>part</var>. Cette
fonction rame`ne le coefficient multinomial associe' : si les
parts de la partitions part sont <var>i_1</var>, <var>i_2</var>, ..., <var>i_k</var>, le re'sultat de
<code>multinomial</code> est <code><var>r</var>!/(<var>i_1</var>! <var>i_2</var>! ... <var>i_k</var>!)</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>multsym</b><i> (<var>ppart_1</var>, <var>ppart_2</var>, <var>n</var>)</i>
<a name="IDX1097"></a>
</dt>
<dd><p>re'alise le produit de deux polyno^mes
syme'triques de <var>n</var> variables en ne travaillant que modulo l'action du
groupe syme'trique d'ordre <var>n</var>. Les polyno^mes sont dans leur repre'sentation
partitionne'e. 
</p>
<p>Soient les 2 polyno^mes syme'triques en <code>x</code>, <code>y</code>: <code>3*(x + y) + 2*x*y</code> et <code>5*(x^2 + y^2)</code>
dont les formes partitionne'es sont respectivement <code>[[3, 1], [2, 1, 1]]</code> et <code>[[5, 2]]</code>,
alors leur produit sera donne' par :
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) multsym ([[3, 1], [2, 1, 1]], [[5, 2]], 2);
(%o1)         [[10, 3, 1], [15, 3, 0], [15, 2, 1]]
</pre></td></tr></table>

<p>soit <code>10*(x^3*y + y^3*x) + 15*(x^2*y + y^2*x) + 15*(x^3 + y^3)</code>.
</p>
<p>Fonctions de changements de repre'sentations d'un polyno^me syme'trique :
</p>
<p><code>contract</code>, <code>cont2part</code>, <code>explose</code>, <code>part2cont</code>,
<code>partpol</code>, <code>tcontract</code>, <code>tpartpol</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>orbit</b><i> (<var>P</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1098"></a>
</dt>
<dd><p>calcul l'orbite du polyno^me <var>P</var> en les variables de la liste
<var>lvar</var> sous l'action du groupe syme'trique de l'ensemble des variables contenues
dans la liste <var>lvar</var>.
</p> 
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) orbit (a*x + b*y, [x, y]);
(%o1)                [a y + b x, b y + a x]
(%i2) orbit (2*x + x^2, [x, y]);
                        2         2
(%o2)                 [y  + 2 y, x  + 2 x]
</pre></td></tr></table>

<p>Voir e'galement : <code>multi_orbit</code> pour l'action d'un produit de groupes 
syme'triques sur un polyno^me.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>part2cont</b><i> (<var>ppart</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1099"></a>
</dt>
<dd><p>passe de la forme partitionne'e a` la forme contracte'e
d'un polyno^me syme'trique. La forme contracte'e est rendue avec les variables
contenues dans <var>lvar</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) part2cont ([[2*a^3*b, 4, 1]], [x, y]);
                              3    4
(%o1)                      2 a  b x  y
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de repre'sentations :
</p>
<p><code>contract</code>, <code>cont2part</code>, <code>explose</code>, <code>partpol</code>, <code>tcontract</code>, <code>tpartpol</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>partpol</b><i> (<var>psym</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1100"></a>
</dt>
<dd><p><var>psym</var> est un polyno^me syme'trique en les variables 
de <var>lvar</var>. Cette fonction rame`ne sa repre'sentation partitionne'e.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) partpol (-a*(x + y) + 3*x*y, [x, y]);
(%o1)               [[3, 1, 1], [- a, 1, 0]]
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de repre'sentations :
</p>
<p><code>contract</code>, <code>cont2part</code>, <code>explose</code>, <code>part2cont</code>, <code>tcontract</code>, <code>tpartpol</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>permut</b><i> (<var>l</var>)</i>
<a name="IDX1101"></a>
</dt>
<dd><p>rame`ne la liste des permutations de la liste <var>l</var>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>polynome2ele</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1102"></a>
</dt>
<dd><p>donne la liste <code><var>l</var> = [<var>n</var>, <var>e_1</var>, ..., <var>e_n</var>]</code> ou` <var>n</var> est le degre'
du polyno^me <var>P</var> en la variable <var>x</var> et <var>e_i</var> la <var>i</var>-ieme fonction syme'trique 
e'le'mentaire des racines de <var>P</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) polynome2ele (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x);
(%o1)          [7, 0, - 14, 0, 56, 0, - 56, - 22]
(%i2) ele2polynome ([7, 0, -14, 0, 56, 0, -56, -22], x);
                  7       5       3
(%o2)            x  - 14 x  + 56 x  - 56 x + 22
</pre></td></tr></table>

<p>La re'ciproque : <code>ele2polynome (<var>l</var>, <var>x</var>)</code>
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>prodrac</b><i> (<var>l</var>, <var>k</var>)</i>
<a name="IDX1103"></a>
</dt>
<dd><p><var>l</var> est une liste contenant les fonctions syme'triques 
e'le'mentaires sur un ensemble <var>A</var>. <code>prodrac</code> rend le polyno^me dont
les racines sont les produits <var>k</var> a` <var>k</var> des e'le'ments de <var>A</var>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>pui</b><i> (<var>l</var>, <var>sym</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1104"></a>
</dt>
<dd><p>de'compose le polyno^me syme'trique <var>sym</var>, en les variables
contenues de la liste <var>lvar</var>, par les fonctions puissances
contenues dans la liste <var>l</var>. Si le premier e'le'ment de <var>l</var> est donne'
ce sera le cardinal de l'alphabet sinon on prendra le degre' du polyno^me
<var>sym</var>. Si il manque des valeurs a` la liste <var>l</var>, des valeurs formelles
du type &quot;pi&quot; sont rajoute'es. Le polyno^me sym peut etre donne'
sous 3 formes diffe'rentes : contracte'e (<code>pui</code> doit alors valoir 1 sa valeur
par de'faut), partitionne'e (<code>pui</code> doit alors valoir 3) ou e'tendue (i.e. le
polyno^me en entier) (<code>pui</code> doit alors valoir 2). La fonction <code>elem</code>
s'utilise de la me^me manie`re.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) pui;
(%o1)                           1
(%i2) pui ([3, a, b], u*x*y*z, [x, y, z]);
                       2
                   a (a  - b) u   (a b - p3) u
(%o2)              ------------ - ------------
                        6              3
(%i3) ratsimp (%);
                                       3
                      (2 p3 - 3 a b + a ) u
(%o3)                 ---------------------
                                6
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2comp</code>, <code>ele2pui</code>, <code>elem</code>, <code>mon2schur</code>,
<code>multi_elem</code>, <code>multi_pui</code>, <code>pui2comp</code>, <code>pui2ele</code>, <code>puireduc</code>,
<code>schur2comp</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>pui2comp</b><i> (<var>n</var>, <var>lpui</var>)</i>
<a name="IDX1105"></a>
</dt>
<dd><p>rend la liste des <var>n</var> premie`res fonctions comple`tes
(avec en te^te le cardinal) en fonction des fonctions puissance donne'es dans
la liste <var>lpui</var>. Si la liste <var>lpui</var> est vide le cardinal est N sinon 
c'est son premier e'le'ment similaire a` <code>comp2ele</code> et <code>comp2pui</code>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) pui2comp (2, []);
                                       2
                                p2 + p1
(%o1)                   [2, p1, --------]
                                   2
(%i2) pui2comp (3, [2, a1]);
                                            2
                                 a1 (p2 + a1 )
                         2  p3 + ------------- + a1 p2
                  p2 + a1              2
(%o2)     [2, a1, --------, --------------------------]
                     2                  3
(%i3) ratsimp (%);
                            2                     3
                     p2 + a1   2 p3 + 3 a1 p2 + a1
(%o3)        [2, a1, --------, --------------------]
                        2               6
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2comp</code>, <code>ele2pui</code>, <code>elem</code>,
<code>mon2schur</code>, <code>multi_elem</code>, <code>multi_pui</code>, <code>pui</code>, <code>pui2ele</code>,
<code>puireduc</code>, <code>schur2comp</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>pui2ele</b><i> (<var>n</var>, <var>lpui</var>)</i>
<a name="IDX1106"></a>
</dt>
<dd><p>re'alise le passage des fonctions puissances aux
fonctions syme'triques e'le'mentaires.
Si le drapeau <code>pui2ele</code> est <code>girard</code>, on re'cupe`re la liste des fonctions 
syme'triques e'le'mentaires de 1 a` <var>n</var>, et s'il est e'gal a` <code>close</code>, 
la <var>n</var>-ie`me fonction syme'trique e'le'mentaire.
</p>
<p>Autres fonctions de changements de bases :
</p>
<p><code>comp2ele</code>, <code>comp2pui</code>, <code>ele2comp</code>, <code>ele2pui</code>, <code>elem</code>,
<code>mon2schur</code>, <code>multi_elem</code>, <code>multi_pui</code>, <code>pui</code>, <code>pui2comp</code>,
<code>puireduc</code>, <code>schur2comp</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>pui2polynome</b><i> (<var>x</var>, <var>lpui</var>)</i>
<a name="IDX1107"></a>
</dt>
<dd><p>calcul le polyno^me en <var>x</var> dont les fonctions puissances
des racines sont donne'es dans la liste <var>lpui</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) pui;
(%o1)                           1
(%i2) kill(labels);
(%o0)                         done
(%i1) polynome2ele (x^3 - 4*x^2 + 5*x - 1, x);
(%o1)                     [3, 4, 5, 1]
(%i2) ele2pui (3, %);
(%o2)                     [3, 4, 6, 7]
(%i3) pui2polynome (x, %);
                        3      2
(%o3)                  x  - 4 x  + 5 x - 1
</pre></td></tr></table>

<p>Autres fonctions a` voir :
<code>polynome2ele</code>, <code>ele2polynome</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>pui_direct</b><i> (<var>orbite</var>, [<var>lvar_1</var>, ..., <var>lvar_n</var>], [<var>d_1</var>, <var>d_2</var>, ..., <var>d_n</var>])</i>
<a name="IDX1108"></a>
</dt>
<dd><p>Soit <var>f</var> un polynome en <var>n</var> blocs de variables <var>lvar_1</var>, ..., <var>lvar_n</var>.
Soit <var>c_i</var> le nombre de variables dans <var>lvar_i</var> . Et <var>SC</var> le produit des <var>n</var>
groupes syme'triques de degre' <var>c_1</var>, ..., <var>c_n</var>. Ce groupe agit
naturellement sur <var>f</var>.
La liste <var>orbite</var> est l'orbite, note'e <code><var>SC</var>(<var>f</var>)</code>, de la fonction <var>f</var> sous 
l'action de <var>SC</var>. (Cette liste peut e^tre obtenue avec la fonction : 
<code>multi_orbit</code>).
Les di sont des entiers tels que <var>c_1</var> &lt;= <var>d_1</var>, <var>c_2</var> &lt;= <var>d_2</var>, ..., <var>c_n</var> &lt;= <var>d_n</var>.
Soit <var>SD</var> le produit des groupes syme'triques <var>S_d1</var> x <var>S_d2</var> x ... x <var>S_dn</var>.
</p>
<p>La fonction <code>pui_direct</code> rame`ne les <var>n</var> premie`res fonctions puissances de <code><var>SD</var>(<var>f</var>)</code>
de'duites des fonctions puissances de <code><var>SC</var>(<var>f</var>)</code> ou` <var>n</var> est le cardinal de <code><var>SD</var>(<var>f</var>)</code>.
</p>
<p>Le re'sultat est rendue sous forme multi-contracte'e par rapport a <var>SD</var>.
i.e. on ne conserve qu'un e'le'ment par orbite sous l'action de <var>SD</var>).
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) l: [[x, y], [a, b]];
(%o1)                   [[x, y], [a, b]]
(%i2) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [2, 2]);
                                       2  2
(%o2)               [a x, 4 a b x y + a  x ]
(%i3) pui_direct (multi_orbit (a*x + b*y, l), l, [3, 2]);
                             2  2     2    2        3  3
(%o3) [2 a x, 4 a b x y + 2 a  x , 3 a  b x  y + 2 a  x , 

    2  2  2  2      3    3        4  4
12 a  b  x  y  + 4 a  b x  y + 2 a  x , 

    3  2  3  2      4    4        5  5
10 a  b  x  y  + 5 a  b x  y + 2 a  x , 

    3  3  3  3       4  2  4  2      5    5        6  6
40 a  b  x  y  + 15 a  b  x  y  + 6 a  b x  y + 2 a  x ]
(%i4) pui_direct ([y + x + 2*c, y + x + 2*b, y + x + 2*a], [[x, y], [a, b, c]], [2, 3]);
                             2              2
(%o4) [3 x + 2 a, 6 x y + 3 x  + 4 a x + 4 a , 

                 2                   3        2       2        3
              9 x  y + 12 a x y + 3 x  + 6 a x  + 12 a  x + 8 a ]
</pre></td></tr></table>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>puireduc</b><i> (<var>n</var>, <var>lpui</var>)</i>
<a name="IDX1109"></a>
</dt>
<dd><p><var>lpui</var> est une liste dont le premier e'le'ment est un entier
<var>m</var>. <code>puireduc</code> donne les <var>n</var> premie`res fonctions puissances en fonction 
des <var>m</var> premie`res.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) puireduc (3, [2]);
                                         2
                                   p1 (p1  - p2)
(%o1)          [2, p1, p2, p1 p2 - -------------]
                                         2
(%i2) ratsimp (%);
                                           3
                               3 p1 p2 - p1
(%o2)              [2, p1, p2, -------------]
                                     2
</pre></td></tr></table>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>, <var>f</var>, [<var>x_1</var>, ..., <var>x_d</var>])</i>
<a name="IDX1110"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la re'solvante du polyno^me <var>P</var>
de la variable <var>x</var> et de degre' <var>n</var> &gt;= <var>d</var> par la fonction <var>f</var> exprime'e en
les variables <var>x_1</var>, ..., <var>x_d</var>. Il est important pour l'efficacite' des
calculs de ne pas mettre dans la liste <code>[<var>x_1</var>, ..., <var>x_d</var>]</code> les variables
n'intervenant pas dans la fonction de transformation <var>f</var>.
</p>
<p>Afin de rendre plus efficaces les calculs on peut mettre des drapeaux
a` la variable <code>resolvante</code> afin que des algorithmes ade'quates soient
utilise's :
</p>
<p>Si la fonction <var>f</var> est unitaire :
</p><ul>
<li>
un polyno^me d'une variable,
</li><li>
  line'aire ,
</li><li>
  alterne'e,
</li><li>
  une somme de variables,
</li><li>
  syme'trique en les variables qui apparaissent dans son expression,
</li><li>
  un produit de variables,
</li><li>
la fonction de la re'solvante de Cayley (utilisable qu'en degre' 5)

<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(x1*x2 + x2*x3 + x3*x4 + x4*x5 + x5*x1 -
     (x1*x3 + x3*x5 + x5*x2 + x2*x4 + x4*x1))^2
</pre></td></tr></table>
<p>  generale,
</p></li></ul>
<p>le drapeau de <code>resolvante</code> pourra e^tre respectivement :
</p><ul>
<li>
  unitaire,
</li><li>
  lineaire,
</li><li>
  alternee,
</li><li>
  somme,
</li><li>
  produit,
</li><li>
  cayley,
</li><li>
  generale.
</li></ul>

<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) resolvante: unitaire$
(%i2) resolvante (x^7 - 14*x^5 + 56*x^3 - 56*x + 22, x, x^3 - 1, [x]);

&quot; resolvante unitaire &quot; [7, 0, 28, 0, 168, 0, 1120, - 154, 7840, - 2772, 56448, - 33880, 

413952, - 352352, 3076668, - 3363360, 23114112, - 30494464, 

175230832, - 267412992, 1338886528, - 2292126760] 
  3       6      3       9      6      3
[x  - 1, x  - 2 x  + 1, x  - 3 x  + 3 x  - 1, 

 12      9      6      3       15      12       9       6      3
x   - 4 x  + 6 x  - 4 x  + 1, x   - 5 x   + 10 x  - 10 x  + 5 x

       18      15       12       9       6      3
 - 1, x   - 6 x   + 15 x   - 20 x  + 15 x  - 6 x  + 1, 

 21      18       15       12       9       6      3
x   - 7 x   + 21 x   - 35 x   + 35 x  - 21 x  + 7 x  - 1] 
[- 7, 1127, - 6139, 431767, - 5472047, 201692519, - 3603982011] 
       7      6        5         4          3           2
(%o2) y  + 7 y  - 539 y  - 1841 y  + 51443 y  + 315133 y

                                              + 376999 y + 125253
(%i3) resolvante: lineaire$
(%i4) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

&quot; resolvante lineaire &quot; 
       24       20         16            12             8
(%o4) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i5) resolvante: general$
(%i6) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3]);

&quot; resolvante generale &quot; 
       24       20         16            12             8
(%o6) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i7) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [x1, x2, x3, x4]);

&quot; resolvante generale &quot; 
       24       20         16            12             8
(%o7) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i8) direct ([x^4 - 1], x, x1 + 2*x2 + 3*x3, [[x1, x2, x3]]);
       24       20         16            12             8
(%o8) y   + 80 y   + 7520 y   + 1107200 y   + 49475840 y

                                                    4
                                       + 344489984 y  + 655360000
(%i9) resolvante :lineaire$
(%i10) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

&quot; resolvante lineaire &quot; 
                              4
(%o10)                       y  - 1
(%i11) resolvante: symetrique$
(%i12) resolvante (x^4 - 1, x, x1 + x2 + x3, [x1, x2, x3]);

&quot; resolvante symetrique &quot; 
                              4
(%o12)                       y  - 1
(%i13) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

&quot; resolvante symetrique &quot; 
                           6      2
(%o13)                    y  - 4 y  - 1
(%i14) resolvante: alternee$
(%i15) resolvante (x^4 + x + 1, x, x1 - x2, [x1, x2]);

&quot; resolvante alternee &quot; 
            12      8       6        4        2
(%o15)     y   + 8 y  + 26 y  - 112 y  + 216 y  + 229
(%i16) resolvante: produit$
(%i17) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

&quot; resolvante produit &quot;
        35      33         29        28         27        26
(%o17) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

         24           23          22            21           20
 + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

          19           18             17              15
 - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

             14              12             11            10
 - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

              9            8            7             6
 - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

            5             3
 - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
(%i18) resolvante: symetrique$
(%i19) resolvante (x^7 - 7*x + 3, x, x1*x2*x3, [x1, x2, x3]);

&quot; resolvante symetrique &quot; 
        35      33         29        28         27        26
(%o19) y   - 7 y   - 1029 y   + 135 y   + 7203 y   - 756 y

         24           23          22            21           20
 + 1323 y   + 352947 y   - 46305 y   - 2463339 y   + 324135 y

          19           18             17              15
 - 30618 y   - 453789 y   - 40246444 y   + 282225202 y

             14              12             11            10
 - 44274492 y   + 155098503 y   + 12252303 y   + 2893401 y

              9            8            7             6
 - 171532242 y  + 6751269 y  + 2657205 y  - 94517766 y

            5             3
 - 3720087 y  + 26040609 y  + 14348907
(%i20) resolvante: cayley$
(%i21) resolvante (x^5 - 4*x^2 + x + 1, x, a, []);

&quot; resolvante de Cayley &quot;
        6       5         4          3            2
(%o21) x  - 40 x  + 4080 x  - 92928 x  + 3772160 x  + 37880832 x

                                                       + 93392896
</pre></td></tr></table>
<p>Pour la re'solvante de Cayley, les 2 derniers arguments sont neutres
et le polyno^me donne' en entre'e doit ne'cessairement e^tre de degre' 5.
</p>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_bipartite</code>, <code>resolvante_produit_sym</code>,
<code>resolvante_unitaire</code>, <code>resolvante_alternee1</code>, <code>resolvante_klein</code>, 
<code>resolvante_klein3</code>, <code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>. 
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_alternee1</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1111"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la transformation de 
<code><var>P</var>(<var>x</var>)</code> de degre <var>n</var> par la fonction $\prod_{1\leq i&lt;j\leq n-1} (x_i-x_j)$.
</p>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante</code> , <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>, <code>resolvante_bipartite</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_bipartite</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1112"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la transformation de 
<code><var>P</var>(<var>x</var>)</code> de degre <var>n</var> (<var>n</var> pair) par la fonction 
$x_1x_2\ldots x_{n/2}+x_{n/2+1}\ldotsx_n$
</p>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante</code> , <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>, <code>resolvante_alternee1</code>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) resolvante_bipartite (x^6 + 108, x);
              10        8           6             4
(%o1)        y   - 972 y  + 314928 y  - 34012224 y
</pre></td></tr></table>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante</code>, <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>,
<code>resolvante_alternee1</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_diedrale</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1113"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la transformation de
<code><var>P</var>(<var>x</var>)</code> par la fonction <code><var>x_1</var> <var>x_2</var> + <var>x_3</var> <var>x_4</var></code>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) resolvante_diedrale (x^5 - 3*x^4 + 1, x);
       15       12       11       10        9         8         7
(%o1) x   - 21 x   - 81 x   - 21 x   + 207 x  + 1134 x  + 2331 x

        6         5          4          3          2
 - 945 x  - 4970 x  - 18333 x  - 29079 x  - 20745 x  - 25326 x

 - 697
</pre></td></tr></table>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante_alternee1</code>, <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_klein</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1114"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la transformation de
<code><var>P</var>(<var>x</var>)</code> par la fonction <code><var>x_1</var> <var>x_2</var> <var>x_4</var> + <var>x_4</var></code>.
</p>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante_alternee1</code>, <code>resolvante</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_klein3</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1115"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la transformation de
<code><var>P</var>(<var>x</var>)</code> par la fonction <code><var>x_1</var> <var>x_2</var> <var>x_4</var> + <var>x_4</var></code>.
</p>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante_alternee1</code>, <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_produit_sym</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1116"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la liste toutes les 
r\'esolvantes produit du polyn\^ome <code><var>P</var>(<var>x</var>)</code>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) resolvante_produit_sym (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x);
        5      4             10      8       7       6       5
(%o1) [y  + 3 y  + 2 y - 1, y   - 2 y  - 21 y  - 31 y  - 14 y

    4       3      2       10      8       7    6       5       4
 - y  + 14 y  + 3 y  + 1, y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y

       3      2       5      4
 - 21 y  - 2 y  + 1, y  - 2 y  - 3 y - 1, y - 1]
(%i2) resolvante: produit$
(%i3) resolvante (x^5 + 3*x^4 + 2*x - 1, x, a*b*c, [a, b, c]);

&quot; resolvante produit &quot;
       10      8       7    6        5       4       3     2
(%o3) y   + 3 y  + 14 y  - y  - 14 y  - 31 y  - 21 y  - 2 y  + 1
</pre></td></tr></table>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante_alternee1</code>, <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_unitaire</b><i> (<var>P</var>, <var>Q</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1117"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la r\'esolvante du 
polyn\^ome <code><var>P</var>(<var>x</var>)</code> par le polyn\^ome <code><var>Q</var>(<var>x</var>)</code>.
</p>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante</code>,
<code>resolvante_alternee1</code>, <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante_vierer</code>, <code>resolvante_diedrale</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>resolvante_vierer</b><i> (<var>P</var>, <var>x</var>)</i>
<a name="IDX1118"></a>
</dt>
<dd><p>calcule la transformation de
<code><var>P</var>(<var>x</var>)</code> par la fonction <code><var>x_1</var> <var>x_2</var> - <var>x_3</var> <var>x_4</var></code>.
</p>
<p>Voir e'galement :
</p>
<p><code>resolvante_produit_sym</code>, <code>resolvante_unitaire</code>,
<code>resolvante_alternee1</code>, <code>resolvante_klein</code>, <code>resolvante_klein3</code>,
<code>resolvante</code>, <code>resolvante_diedrale</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>schur2comp</b><i> (<var>P</var>, <var>l_var</var>)</i>
<a name="IDX1119"></a>
</dt>
<dd><p><var>P</var> est un polyno^mes en les variables contenues dans 
la liste <var>l_var</var>. Chacune des variables de <var>l_var</var> repre'sente une fonction
syme'trique comple`te. On repre'sente dans <var>l_var</var> la ie`me fonction syme'trique
comple`te comme la concate'nation de la lettre <code>h</code> avec l'entier <var>i</var> : <code>h<var>i</var></code>.
Cette fonction donne l'expression de <var>P</var> en fonction des fonctions
de Schur.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) schur2comp (h1*h2 - h3, [h1, h2, h3]);
(%o1)                         s
                               1, 2
(%i2) schur2comp (a*h3, [h3]);
(%o2)                         s  a
                               3
</pre></td></tr></table>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>somrac</b><i> (<var>l</var>, <var>k</var>)</i>
<a name="IDX1120"></a>
</dt>
<dd><p>la liste <var>l</var> contient les fonctions syme'triques e'le'mentaires
d'un polyno^me <var>P</var> . On calcul le polyno^mes dont les racines sont les sommes 
<var>K</var> a` <var>K</var> distinctes des racines de <var>P</var>. 
</p>
<p>Voir e'galement <code>prodrac</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>tcontract</b><i> (<var>pol</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1121"></a>
</dt>
<dd><p>teste si le polyno^me pol est syme'trique en les
variables contenues dans la liste <var>lvar</var>. Si oui il rend une forme contracte'e
comme la fonction <code>contract</code>.
</p>
<p>Autres fonctions de changements de repre'sentations :
</p>
<p><code>contract</code>, <code>cont2part</code>, <code>explose</code>, <code>part2cont</code>, <code>partpol</code>, <code>tpartpol</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>tpartpol</b><i> (<var>pol</var>, <var>lvar</var>)</i>
<a name="IDX1122"></a>
</dt>
<dd><p>teste si le polyno^me pol est syme'trique en les
variables contenues dans la liste <var>lvar</var>. Si oui il rend sa forme partionne'e
comme la fonction <code>partpol</code>.
</p>
<p>Autres fonctions de changements de repre'sentations :
</p>
<p><code>contract</code>, <code>cont2part</code>, <code>explose</code>, <code>part2cont</code>, <code>partpol</code>, <code>tcontract</code>.
</p>

</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>treillis</b><i> (<var>n</var>)</i>
<a name="IDX1123"></a>
</dt>
<dd><p>rame`ne toutes les partitions de poids <var>n</var>.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) treillis (4);
(%o1)    [[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]
</pre></td></tr></table>
<p>Voir e'galement : <code>lgtreillis</code>, <code>ltreillis</code> et <code>treinat</code>.
</p>
</dd></dl>

<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>treinat</b><i> (<var>part</var>)</i>
<a name="IDX1124"></a>
</dt>
<dd><p>rame`ne la liste des partitions infe'rieures a` la partition
<var>part</var> pour l'ordre naturel.
</p>
<table><tr><td>&nbsp;</td><td><pre class="example">(%i1) treinat ([5]);
(%o1)                         [[5]]
(%i2) treinat ([1, 1, 1, 1, 1]);
(%o2) [[5], [4, 1], [3, 2], [3, 1, 1], [2, 2, 1], [2, 1, 1, 1], 

                                                 [1, 1, 1, 1, 1]]
(%i3) treinat ([3, 2]);
(%o3)                 [[5], [4, 1], [3, 2]]
</pre></td></tr></table>
<p>Voir e'galement : <code>lgtreillis</code>, <code>ltreillis</code> et <code>treillis</code>.
</p>
</dd></dl>

<hr size="6">
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC130" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> &lt;&lt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_34.html#SEC132" title="Next chapter"> &gt;&gt; </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left"> &nbsp; </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_72.html#SEC264" title="Index">Index</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<p>
 <font size="-1">
  This document was generated by <em>Robert Dodier</em> on <em>September, 20 2006</em> using <a href="http://texi2html.cvshome.org/"><em>texi2html 1.76</em></a>.
 </font>
 <br>

</p>
</body>
</html>