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@c /Atensor.texi/1.8/Mon Nov 21 00:19:56 2005//
@menu
* Introdu@value{cedilha}@~ao ao Pacote atensor::
* Defini@value{cedilha}@~oes para o Pacote atensor::
@end menu
@node Introdu@value{cedilha}@~ao ao Pacote atensor, Defini@value{cedilha}@~oes para o Pacote atensor, Pacote atensor, Pacote atensor
@section Introdu@value{cedilha}@~ao ao Pacote atensor
@code{atensor} @'e um pacote de manipul@value{cedilha}@~ao de tensores alg@'ebricos. Para usar @code{atensor},
digite @code{load(atensor)}, seguido por uma chamada @`a fun@value{cedilha}@~ao
@code{init_atensor}.
A ess@^encia de @code{atensor} @'e um conjunto de regras de simplifica@value{cedilha}@~ao para o operador
de produto (ponto) n@~ao comutativo ("@code{.}"). @code{atensor} reconhece
muitos tipos de @'algebra; as regras de simplifica@value{cedilha}@~ao correspondentes s@~ao activadas quando
a fun@value{cedilha}@~ao @code{init_atensor} @'e chamada.
A compatibilidade de @code{atensor} pode ser demonstrada pela
defini@value{cedilha}@~ao da @'algebra de quaterni@~oes como uma
@'algebra de Clifford Cl(0,2) com dois vectores fundamentais. As tr@^es
unidades quaterni@'onicas imagin@'arias fundamentais s@~ao ent@~ao os
dois vectores base e seu produto, i.e.:
@example
i = v j = v k = v . v
1 2 1 2
@end example
Embora o pacote @code{atensor} tenha uma defini@value{cedilha}@~ao
interna para a @'algebra dos quaterni@~oes, isso n@~ao foi usado nesse
exemplo, no qual n@'os nos esfor@value{cedilha}amos para construir a
tabela de multiplica@value{cedilha}@~ao dos quaterni@~oes como uma
matriz:
@example
(%i1) load(atensor);
(%o1) /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2) done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3) - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4) - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
(%o5) [ ]
[ 0 0 0 0 ]
[ ]
[ 0 0 0 0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6) 1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7) done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8) v . v
1 2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9) done
(%i10) q;
[ 1 v v v . v ]
[ 1 2 1 2 ]
[ ]
[ v - 1 v . v - v ]
[ 1 1 2 2 ]
(%o10) [ ]
[ v - v . v - 1 v ]
[ 2 1 2 1 ]
[ ]
[ v . v v - v - 1 ]
[ 1 2 2 1 ]
@end example
@code{atensor} reconhece como bases vectoriais s@'{@dotless{i}}mbolos indexados, onde o s@'{@dotless{i}}mbolo
@'e aquele armazenado em @code{asymbol} e o i@'{@dotless{i}}ndice est@'a entre 1 e @code{adim}.
Para s@'{@dotless{i}}mbolos indexado, e somente para s@'{@dotless{i}}mbolos indexados, as formas bilineares
@code{sf}, @code{af}, e @code{av} s@~ao avaliadas. A avalia@value{cedilha}@~ao
substitui os valores de @code{aform[i,j]} em lugar de @code{fun(v[i],v[j])}
onde @code{v} representa o valor de @code{asymbol} e @code{fun} @'e
ainda @code{af} ou @code{sf}; ou, isso substitui @code{v[aform[i,j]]}
em lugar de @code{av(v[i],v[j])}.
Desnecess@'ario dizer, as fun@value{cedilha}@~oes @code{sf}, @code{af} e @code{av}
podem ser redefinidas.
Quando o pacote @code{atensor} @'e chamado, os seguintes sinalizadores s@~ao configurados:
@example
dotscrules:true;
dotdistrib:true;
dotexptsimp:false;
@end example
Se quiser experimentar com uma @'algebra n@~ao associativa, pode
tamb@'em considerar a configura@value{cedilha}@~ao de @code{dotassoc}
para @code{false}. Nesse caso, todavia, @code{atensimp} n@~ao star@'a
sempre habilitado a obter as simplifica@value{cedilha}@~oes desejadas.
@c end concepts atensor
@node Defini@value{cedilha}@~oes para o Pacote atensor, , Introdu@value{cedilha}@~ao ao Pacote atensor, Pacote atensor
@section Defini@value{cedilha}@~oes para o Pacote atensor
@deffn {Fun@value{cedilha}@~ao} init_atensor (@var{alg_type}, @var{opt_dims})
@deffnx {Fun@value{cedilha}@~ao} init_atensor (@var{alg_type})
Inicializa o pacote @code{atensor} com o tipo especificado de @'algebra. @var{alg_type}
pode ser um dos seguintes:
@code{universal}: A @'algebra universal tendo regras n@~ao comutativas.
@code{grassmann}: A @'algebra de Grassman @'e definida pela rela@value{cedilha}@~ao de
comuta@value{cedilha}@~ao @code{u.v+v.u=0}.
@code{clifford}: A @'algebra de Clifford @'e definida pela rela@value{cedilha}@~ao
de comuta@value{cedilha}@~ao @code{u.v+v.u=-2*sf(u,v)} onde @code{sf} @'e a fun@value{cedilha}@~ao
valor-escalar sim@'etrico. Para essa @'algebra, @var{opt_dims} pode ser acima de tr@^es
inteiros n@~ao negativos, representando o n@'umero de dimens@~oes positivas,
dimens@~oes degeneradas, e dimens@~oes negativas da @'algebra, respectivamente. Se
quaisquer valores @var{opt_dims} s@~ao fornecidos, @code{atensor} ir@'a configurar os
valores de @code{adim} e @code{aform} apropriadamente. Caso contr@'ario,
@code{adim} ir@'a por padr@~ao para 0 e @code{aform} n@~ao ser@'a definida.
@code{symmetric}: A @'algebra sim@'etrica @'e definida pela rela@value{cedilha}@~ao de
comuta@value{cedilha}@~ao @code{u.v-v.u=0}.
@code{symplectic}: A @'algebra simpl@'etica @'e definida pela rela@value{cedilha}@~ao de
comuta@value{cedilha}@~ao @code{u.v-v.u=2*af(u,v)} onde @code{af} @'e uma fun@value{cedilha}@~ao valor-escalar
antisim@'etrica. Para a @'algebra simpl@'etica, @var{opt_dims} pode
mais de dois inteiros n@~ao negativos, representando a dimens@~ao n@~ao degenerada e
e a dimens@~ao degenerada, respectivamente. Se quaisquer valores @var{opt_dims} s@~ao
fornecidos, @code{atensor} ir@'a configurar os valores de @code{adim} e @code{aform}
apropriadamente. Caso contr@'ario, @code{adim} ir@'a por padr@~ao para 0 e @code{aform}
n@~ao ser@'a definida.
@code{lie_envelop}: O inv@'olucro da @'algebra de Lie @'e definido pela
rela@value{cedilha}@~ao de comuta@value{cedilha}@~ao @code{u.v-v.u=2*av(u,v)} onde @code{av} @'e
uma fun@value{cedilha}@~ao antisim@'etrica.
A fun@value{cedilha}@~ao @code{init_atensor} tamb@'em reconhece muitos tipos pr@'e-definidos de
@'algebra:
@code{complex} implementa a @'algebra de n@'umeros complexos como a
@'algebra de Clifford Cl(0,1). A chamada @code{init_atensor(complex)} @'e
equivalente a @code{init_atensor(clifford,0,0,1)}.
@code{quaternion} implementa a @'algebra de quaterni@~oes. A chamada
@code{init_atensor(quaternion)} @'e equivalente a
@code{init_atensor(clifford,0,0,2)}.
@code{pauli} implementa a @'algebra de spinores de Pauli como a
@'algebra de Clifford Cl(3,0). Uma chamada a @code{init_atensor(pauli)}
@'e equivalente a @code{init_atensor(clifford,3)}.
@code{dirac} implementa a @'algebra de spinores de Dirac como a
@'algebra de Clifford Cl(3,1). Uma chamada a @code{init_atensor(dirac)}
@'e equivalente a @code{init_atensor(clifford,3,0,1)}.
@end deffn
@deffn {Fun@value{cedilha}@~ao} atensimp (@var{expr})
Simplifica a express@~ao alg@'ebrica de tensores @var{expr} conforme as
regras configuradas por uma chamada a @code{init_atensor}.
Simplifica@value{cedilha}@~oes incluem aplica@value{cedilha}@~ao
recursiva de rela@value{cedilha}@~oes comutativas e
resolu@value{cedilha}@~oes de chamadas a @code{sf}, @code{af}, e
@code{av} onde for aplic@'avel. Uma salvaguarda @'e usada para garantir
que a fun@value{cedilha}@~ao sempre termine, mesmo para express@~oes
complexas.
@end deffn
@deffn {Fun@value{cedilha}@~ao} alg_type
O tipo de @'algebra. Valores v@'alidos s@'ao @code{universal}, @code{grassmann},
@code{clifford}, @code{symmetric}, @code{symplectic} e @code{lie_envelop}.
@end deffn
@defvr {Vari@'avel} adim
A dimensionalidade da @'algebra. @code{atensor} usa o valor de @code{adim}
para determinar se um objecto indexado @'e uma base vectorial v@'alida. Veja @code{abasep}.
@end defvr
@defvr {Vari@'avel} aform
Valor por omiss@~ao para as formas bilineares @code{sf}, @code{af}, e
@code{av}. O padr@~ao @'e a matriz identidade @code{ident(3)}.
@end defvr
@defvr {Vari@'avel} asymbol
O s@'{@dotless{i}}mbolo para bases vectoriais.
@end defvr
@deffn {Fun@value{cedilha}@~ao} sf (@var{u}, @var{v})
@'E uma fun@value{cedilha}@~ao escalar sim@'etrica que @'e usada em
rela@value{cedilha}@~oes comutativas. A implementa@value{cedilha}@~ao
padr@~ao verifica se ambos os argumentos s@~ao bases vectoriais usando
@code{abasep} e se esse for o caso, substitui o valor correspondente da
matriz @code{aform}.
@end deffn
@deffn {Fun@value{cedilha}@~ao} af (@var{u}, @var{v})
@'E uma fun@value{cedilha}@~ao escalar antisim@'etrica que @'e usada em rela@value{cedilha}@~oes comutativas.
A implementa@value{cedilha}@~ao padr@~ao verifica se ambos os argumentos s@~ao bases vectoriais
usando @code{abasep} e se esse for o caso, substitui o
valor correspondente da matriz @code{aform}.
@end deffn
@deffn {Fun@value{cedilha}@~ao} av (@var{u}, @var{v})
@'E uma fun@value{cedilha}@~ao antisim@'etrica que @'e usada em rela@value{cedilha}@~oes comutativas.
A implementa@value{cedilha}@~ao padr@~ao verifica se ambos os argumentos s@~ao bases vectoriais
usando @code{abasep} e se esse for o caso, substitui o
valor correspondente da matriz @code{aform}.
Por exemplo:
@example
(%i1) load(atensor);
(%o1) /share/tensor/atensor.mac
(%i2) adim:3;
(%o2) 3
(%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
[ 0 3 - 2 ]
[ ]
(%o3) [ - 3 0 1 ]
[ ]
[ 2 - 1 0 ]
(%i4) asymbol:x;
(%o4) x
(%i5) av(x[1],x[2]);
(%o5) x
3
@end example
@end deffn
@deffn {Fun@value{cedilha}@~ao} abasep (@var{v})
Verifica se esse argumento @'e uma base vectorial @code{atensor} .
E ser@'a, se ele for
um s@'{@dotless{i}}mbolo indexado, com o s@'{@dotless{i}}mbolo sendo o mesmo que o valor de
@code{asymbol}, e o @'{@dotless{i}}ndice tiver o mesmo valor num@'erico entre 1
e @code{adim}.
@end deffn
|
