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<a name="plotdf"></a>
<a name="SEC229"></a>
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_62.html#SEC228" title="Previous section in reading order"> < </a>]</td>
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<td valign="middle" align="left"> </td>
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<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<h1 class="chapter"> 63. plotdf </h1>
<table class="menu" border="0" cellspacing="0">
<tr><td align="left" valign="top"><a href="#SEC230">63.1 Introdução a plotdf</a></td><td> </td><td align="left" valign="top">
</td></tr>
<tr><td align="left" valign="top"><a href="#SEC231">63.2 Definições para plotdf</a></td><td> </td><td align="left" valign="top">
</td></tr>
</table>
<hr size="6">
<a name="Introdu_00e7_00e3o-a-plotdf"></a>
<a name="SEC230"></a>
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC229" title="Previous section in reading order"> < </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC231" title="Next section in reading order"> > </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC229" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> << </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC229" title="Up section"> Up </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_64.html#SEC232" title="Next chapter"> >> </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_74.html#SEC274" title="Index">Índice</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<h2 class="section"> 63.1 Introdução a plotdf </h2>
<p>A função <code>plotdf</code> cria um gráfico do campo de
direcções para uma Equação Diferencial
Ordinária (EDO) de primeira ordem, ou para um sistema de duas EDO's
autónomas, de primeira ordem.
</p>
<p>Por tratar-se de um pacote adicional, para poder usá-lo deverá
primeiro carregá-lo com o comando <code>load("plotdf")</code>. Também é
necessário que Xmaxima esteja instalado, inclusivamente se executar o
Maxima desde outra interface diferente.
</p>
<p>Para desenhar o campo de direcções de uma única EDO,
essa equação deverá escrever-se na forma seguinte:
</p><pre class="example"> dy
-- = F(x,y)
dx
</pre>
<p>e a função <var>F</var> será dada como argumento para o
comando <code>plotdf</code>. A variável independente tem que ser sempre
<var>x</var> e a variável dependente <var>y</var>. A essas duas variáveis
não poderá estar associado nenhum valor numérico.
</p>
<p>Para desenhar o campo de direcções de um sistema
autónomo de duas EDO's, as duas equações devem ser
escritas na forma seguinte
</p><pre class="example"> dx dy
-- = G(x,y) -- = F(x,y)
dt dt
</pre>
<p>e o argumento para o comando <code>plotdf</code> será uma lista com duas
expressões para as funções <var>F</var> e <var>G</var>.
</p>
<p>Quando se trabalha com uma única equação,
<code>plotdf</code> assume implicitamente que <code>x=t</code> e <code>G(x,y)=1</code>,
transformando a equação num sistema autónomo com duas
equações.
</p>
<hr size="6">
<a name="Defini_00e7_00f5es-para-plotdf"></a>
<a name="SEC231"></a>
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC230" title="Previous section in reading order"> < </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_64.html#SEC232" title="Next section in reading order"> > </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC229" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> << </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC229" title="Up section"> Up </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_64.html#SEC232" title="Next chapter"> >> </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_74.html#SEC274" title="Index">Índice</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<h2 class="section"> 63.2 Definições para plotdf </h2>
<dl>
<dt><u>Function:</u> <b>plotdf</b><i> (<var>dydx</var>,...opções...)</i>
<a name="IDX1848"></a>
</dt>
<dt><u>Function:</u> <b>plotdf</b><i> (<code>[</code><var>dxdt</var>,<var>dydt</var><code>]</code>,...opções...)</i>
<a name="IDX1849"></a>
</dt>
<dd><p>Desenha um campo de direcções em duas
dimensões <var>x</var> e <var>y</var>.
</p>
<p><var>dydx</var>, <var>dxdt</var> e <var>dydt</var> são expressões que dependem de
<var>x</var> e <var>y</var>. Para além dessas duas variáveis, as duas
expressões podem depender de um conjunto de parâmetros, com valores
numéricos que são dados por meio da opção
<code>parameters</code> (a sintaxe dessa opção explica-se mais
para a frente), ou com um intervalo de possíveis valores
definidos com a opção <var>sliders</var>.
</p>
<p>Várias outras opções podem incluirem-se dentro do
comando, ou serem seleccionadas no menú. Clicando num ponto do
gráfico faz com que seja desenhada a curva integral que passa por esse
ponto; o mesmo pode ser feito dando as coordenadas do ponto com a
opção <code>trajectory_at</code> dentro do comando plotdf. A
direcção de integração pode controlar-se
com a opção <code>direction</code>, que aceita valores de
<em>forward</em>, <em>backward</em> ou <em>both</em>. O número de passos
realizados na integração numérica controla-se com a
opção <code>nsteps</code> e o incremento do tempo em cada
passo com a opção <code>tstep</code>. Usa-se o método de
Adams Moulton para fazer a integração numérica;
também é possível mudar para o método de Runge-Kutta
de quarta ordem com ajuste de passos.
</p>
<p><b>Menú da janela do gráfico:</b>
</p>
<p>O menú da janela gráfica inclui as seguintes opções:
<em>Zoom</em>, que permite mudar o comportamento do rato, de maneira que
servirá para fazer zoom na região do gráfico clicando com o
botão esquerdo. Cada clic alarga a imagem mantendo no centro dela o
ponto onde se clicou. Mantendo carregada a tecla <kbd>Shift</kbd> enquanto
se faz clic, faz diminuir o tamanho. Para continuar a desenhar
trajectórias com um clic, selecciona-se a opção
<em>Integrate</em> do menú.
</p>
<p>A opção <em>Config</em> do menú pode usar-se para mudar
a(s) EDO(S) e fazer alguns outros ajustes. Após ter feito alguma
alteração, deverá usar a opção
<em>Replot</em> para activar as novas configurações. Se
introduzir duas coordenadas no campo <em>Trajectory at</em> do menú de
diálogo do <em>Config</em>, e a seguir carregar na tecla <kbd>Enter</kbd>,
será acrescentada mais uma curva integral. Se seleccionar a
opção <em>Replot</em>, só será apresentada a última
curva integral seleccionada.
</p>
<p>Mantendo o botão direito carregado enquanto se desloca o cursor,
poderá arrastar o gráfico na horizontal e na vertical. Outros
parâmetros, por exemplo, o número de passos, o valor inicial de
<var>t</var>, as coordenadas do centro e o raio, podem ser alterados no
sub-menú da opção <em>Config</em>.
</p>
<p>Com a opção <em>Save</em>, pode imprimir-se o
gráfico numa impressora Postscript ou gravar uma cópia num ficheiro
Postscript. Para optar entre impressão ou gravação em
ficheiro, selecciona-se <em>Print Options</em> na janela de diálogo de
<em>Config</em>. Após ter preenchido os campos da janela de diálogo de
<em>Save</em>, será necessário seleccionar a opção
<em>Save</em> do primeiro menú para criar o ficheiro ou imprimir o
gráfico.
</p>
<p><b>Opções gráficas:</b>
</p>
<p>A função <code>plotdf</code> admite varias
opções, cada uma sendo uma lista de duas ou mais
elementos. O primeiro elemento é o nome da opção, e o
resto estará formado pelos argumentos para essa opção.
</p>
<p>A função <code>plotdf</code> reconhece as seguintes
opções:
</p>
<ul>
<li>
<em>tstep</em> estabelece a amplitude dos
incrementos da variável independente <var>t</var>, utilizados para calcular
as curvas integrais. Se for dada só uma expressão <var>dydx</var>, a
variável <var>x</var> será directamente proporcional a <var>t</var>.
O valor por omissão é 0.1.
</li><li>
<em>nsteps</em> estabelece o número de passos de
comprimento <code>tstep</code> que se utilizarão na variável independente
para calcular a curva integral.
O valor por omissão é 100.
</li><li>
<em>direction</em> estabelece a
direcção da variável independente que será seguida
para calcular uma curva integral. Os valores possí são:
<code>forward</code>, para fazer que a variável independente aumente
<code>nsteps</code> vezes, com incrementos <code>tstep</code>; <code>backward</code>, para
fazer que a variável independente diminua; <code>both</code>, para estender
a curva integral <code>nsteps</code> passos para a frente e <code>nsteps</code>
passos para atrás. As palavras <code>right</code> e <code>left</code> podem serem
usadas como sinónimos de <code>forward</code> e <code>backward</code>.
O valor por omissão é <code>both</code>.
</li><li>
<em>tinitial</em> estabelece o valor inicial da
variável <var>t</var> utilizado para calcular curvas integrais. Já que as
equações diferenciais são autónomas, esta
opção só aparecerá nos gráficos das curvas em
função de <var>t</var>.
O valor por omissão é 0.
</li><li>
<em>versus_t</em> utiliza-se para criar uma segunda
janela gráfica, com o gráfico de uma curva integral, como duas
funções <var>x</var>, <var>y</var>, de variável independente
<var>t</var>. Se for dado a <code>versus_t</code> qualquer valor diferente de 0,
mostrar-se-á a segunda janela gráfica, que inclui outro menú,
similar ao da janela principal.
O valor por omissão é 0.
</li><li>
<em>trajectory_at</em> estabelece as coordenadas
<var>xinitial</var> e <var>yinitial</var> para o ponto inicial da curva integral.
Não tem atribuído nenhum valor por omissão.
</li><li>
<em>parameters</em> estabelece uma lista de
parâmetros, junto com os seus valores numéricos, que são
utilizados na definição da equação
diferencial. Os nomes dos parâmetros e os seus valores devem
escrever-se em formato de cadeia de caracteres como uma sequência de
pares <code>nome=valor</code> separados por vírgulas.
</li><li>
<em>sliders</em> estabelece uma lista de
parâmetros que poderão ser alterados interactivamente usando barras
com sliders, assim como os intervalos de variação dos
ditos parâmetros. Os nomes dos parâmetros e os seus intervalos
devem escrever-se em formato de cadeia de caracteres como uma
sequência de pares <code>nome=min:max</code> separados por
vírgulas.
</li><li>
<em>xfun</em> estabelece uma cadeia de caracteres
com funções de <var>x</var> separadas por ponto e
vírgula para ser representadas por cima do campo de
direcções. Essas funções serão
interpretadas por Tcl, e não por Maxima.
</li><li>
<em>xradius</em> é metade do comprimento do
intervalo de valores a representar na direcção x.
O valor por omissão é 10.
</li><li>
<em>yradius</em> é metade do comprimento do
intervalo de valores a representar na direcção y.
O valor por omissão é 10.
</li><li>
<em>xcenter</em> é a coordenada x do ponto
situado no centro do gráfico.
O valor por omissão é 0.
</li><li>
<em>ycenter</em> é a coordenada y do ponto
situado no centro do gráfico.
O valor por omissão é 0.
</li><li>
<em>width</em> estabelece a largura da janela gráfica em
pixels.
O valor por omissão é 500.
</li><li>
<em>height</em> estabelece a altura da janela gráfica em
pixels.
O valor por omissão é 500.
</li></ul>
<p><b>Exemplos:</b>
</p>
<p>NOTA: Em alguns casos, dependendo da interface usada para executar o
Maxima, as funções que usam <code>openmath</code>, em
particular <code>plotdf</code>, podem desencadear um bug se terminarem em
ponto e vírgula, e não com o símbolo de
dólar. Para evitar problemas, usaremos o símbolo de
dóla nos exemplos a seguir.
</p>
<ul>
<li>
Para mostrar o campo de direcções da
equação diferencial <em>y' = exp(-x) + y</em> e a
solução que passa por <em>(2, -0.1)</em>:
<pre class="example">(%i1) load("plotdf")$
(%i2) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1]);
</pre>
<p><div class="image"><img src="./../figures/plotdf1.gif" alt="../figures/plotdf1"></div>
</p>
</li><li>
Para mostrar o campo de direcções da
equação <em>diff(y,x) = x - y^2</em> e a
solução com condição inicial <em>y(-1)
= 3</em>, pode utilizar-se o comando:
<pre class="example">(%i3) plotdf(x-y^2,[xfun,"sqrt(x);-sqrt(x)"],
[trajectory_at,-1,3], [direction,forward],
[yradius,5],[xcenter,6]);
</pre><p>O gráfico também mostra a função <em>y = sqrt(x)</em>.
</p>
<p><div class="image"><img src="./../figures/plotdf2.gif" alt="../figures/plotdf2"></div>
</p>
</li><li>
O exemplo seguinte mostra o campo de direcções de um
oscilador harmónico, definido pelas equações
<em>dx/dt = y</em> e <em>dy/dt = -k*x/m</em>, e a curva integral que passa
por <em>(x,y) = (6,0)</em>, com uma barra de slider que permitirá mudar
o valor de <em>m</em> interactivamente (<em>k</em> permanecerá fixo em 2):
<pre class="example">(%i4) plotdf([y,-k*x/m],[parameters,"m=2,k=2"],
[sliders,"m=1:5"], [trajectory_at,6,0]);
</pre>
<p><div class="image"><img src="./../figures/plotdf3.gif" alt="../figures/plotdf3"></div>
</p>
</li><li>
Para representar o campo de direcções da
equação de Duffing, <em>m*x"+c*x'+k*x+b*x^3 = 0</em>,
introduz-se a variável <em>y=x'</em> e faz-se:
<pre class="example">(%i5) plotdf([y,-(k*x + c*y + b*x^3)/m],
[parameters,"k=-1,m=1.0,c=0,b=1"],
[sliders,"k=-2:2,m=-1:1"],[tstep,0.1]);
</pre>
<p><div class="image"><img src="./../figures/plotdf4.gif" alt="../figures/plotdf4"></div>
</p>
</li><li>
O campo de direcções dum pêndulo amortecido, incluindo
a solução para condições iniciales
dadas, com uma barra de slider que pode usar-se para mudar o valor da
masa, <em>m</em>, e com o gráfico das duas variáveis de estado em
função do tempo:
<pre class="example">(%i6) plotdf([y,-g*sin(x)/l - b*y/m/l],
[parameters,"g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05"],
[trajectory_at,1.05,-9],[tstep,0.01],
[xradius,6],[yradius,14],
[xcenter,-4],[direction,forward],[nsteps,300],
[sliders,"m=0.1:1"], [versus_t,1]);
</pre>
<p><div class="image"><img src="./../figures/plotdf5.gif" alt="../figures/plotdf5"></div><div class="image"><img src="./../figures/plotdf6.gif" alt="../figures/plotdf6"></div>
</p>
</li></ul>
</dd></dl>
<hr size="6">
<table cellpadding="1" cellspacing="1" border="0">
<tr><td valign="middle" align="left">[<a href="#SEC229" title="Beginning of this chapter or previous chapter"> << </a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_64.html#SEC232" title="Next chapter"> >> </a>]</td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left"> </td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima.html#SEC_Top" title="Cover (top) of document">Top</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents">Contents</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_74.html#SEC274" title="Index">Índice</a>]</td>
<td valign="middle" align="left">[<a href="maxima_abt.html#SEC_About" title="About (help)"> ? </a>]</td>
</tr></table>
<p>
<font size="-1">
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</font>
<br>
</p>
</body>
</html>
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