@c english version 1.4
@menu
* Introdu@value{cedilha}@~ao a plotdf::
* Defini@value{cedilha}@~oes para plotdf::
@end menu

@node Introdu@value{cedilha}@~ao a plotdf, Defini@value{cedilha}@~oes para plotdf, plotdf, plotdf
@section Introdu@value{cedilha}@~ao a plotdf

A fun@value{cedilha}@~ao @code{plotdf} cria um gr@'afico do campo de
direc@value{cedilha}@~oes para uma Equa@value{cedilha}@~ao Diferencial
Ordin@'aria (EDO) de primeira ordem, ou para um sistema de duas EDO's
aut@'onomas, de primeira ordem.

Por tratar-se de um pacote adicional, para poder us@'a-lo dever@'a
primeiro carreg@'a-lo com o comando @code{load("plotdf")}. Tamb@'em @'e
necess@'ario que Xmaxima esteja instalado, inclusivamente se executar o
Maxima desde outra interface diferente.

Para desenhar o campo de direc@value{cedilha}@~oes de uma @'unica EDO,
essa equa@value{cedilha}@~ao dever@'a escrever-se na forma seguinte:
@ifnottex
@example
       dy
       -- = F(x,y)
       dx
@end example
@end ifnottex
@tex
$${{dy}\over{dx}} = F(x,y)$$
@end tex

e a fun@value{cedilha}@~ao @var{F} ser@'a dada como argumento para o
comando @code{plotdf}. A vari@'avel independente tem que ser sempre
@var{x} e a vari@'avel dependente @var{y}. A essas duas vari@'aveis
n@~ao poder@'a estar associado nenhum valor num@'erico.

Para desenhar o campo de direc@value{cedilha}@~oes de um sistema
aut@'onomo de duas EDO's, as duas equa@value{cedilha}@~oes devem ser
escritas na forma seguinte
@ifnottex
@example
       dx             dy
       -- = G(x,y)    -- = F(x,y) 
       dt             dt
@end example
@end ifnottex
@tex
$${{dx}\over{dt}} = G(x,y) \qquad {{dy}\over{dt}} = F(x,y)$$
@end tex

e o argumento para o comando @code{plotdf} ser@'a uma lista com duas
express@~oes para as fun@value{cedilha}@~oes @var{F} e @var{G}.

Quando se trabalha com uma @'unica equa@value{cedilha}@~ao,
@code{plotdf} assume implicitamente que @code{x=t} e @code{G(x,y)=1},
transformando a equa@value{cedilha}@~ao num sistema aut@'onomo com duas
equa@value{cedilha}@~oes.

@node Defini@value{cedilha}@~oes para plotdf,  , Introdu@value{cedilha}@~ao a plotdf, plotdf
@section Defini@value{cedilha}@~oes para plotdf

@deffn {Function} plotdf (@var{dydx},...op@value{cedilha}@~oes...)
@deffnx {Function} plotdf (@code{[}@var{dxdt},@var{dydt}@code{]},...op@value{cedilha}@~oes...)

Desenha um campo de direc@value{cedilha}@~oes em duas
dimens@~oes @var{x} e @var{y}.

@var{dydx}, @var{dxdt} e @var{dydt} s@~ao express@~oes que dependem de
@var{x} e @var{y}. Para al@'em dessas duas vari@'aveis, as duas
express@~oes podem depender de um conjunto de par@^ametros, com valores
num@'ericos que s@~ao dados por meio da op@value{cedilha}@~ao
@code{parameters} (a sintaxe dessa op@value{cedilha}@~ao explica-se mais
para a frente), ou com um intervalo de poss@'{@dotless{i}}veis valores
definidos com a op@value{cedilha}@~ao @var{sliders}.

V@'arias outras op@value{cedilha}@~oes podem incluirem-se dentro do
comando, ou serem seleccionadas no men@'u.  Clicando num ponto do
gr@'afico faz com que seja desenhada a curva integral que passa por esse
ponto; o mesmo pode ser feito dando as coordenadas do ponto com a
op@value{cedilha}@~ao @code{trajectory_at} dentro do comando plotdf. A
direc@value{cedilha}@~ao de integra@value{cedilha}@~ao pode controlar-se
com a op@value{cedilha}@~ao @code{direction}, que aceita valores de
@emph{forward}, @emph{backward} ou @emph{both}. O n@'umero de passos
realizados na integra@value{cedilha}@~ao num@'erica controla-se com a
op@value{cedilha}@~ao @code{nsteps} e o incremento do tempo em cada
passo com a op@value{cedilha}@~ao @code{tstep}. Usa-se o m@'etodo de
Adams Moulton para fazer a integra@value{cedilha}@~ao num@'erica;
tamb@'em @'e poss@'{@dotless{i}}vel mudar para o m@'etodo de Runge-Kutta
de quarta ordem com ajuste de passos.

@b{Men@'u da janela do gr@'afico:}

O men@'u da janela gr@'afica inclui as seguintes op@value{cedilha}@~oes:
@emph{Zoom}, que permite mudar o comportamento do rato, de maneira que
servir@'a para fazer zoom na regi@~ao do gr@'afico clicando com o
bot@~ao esquerdo. Cada clic alarga a imagem mantendo no centro dela o
ponto onde se clicou.  Mantendo carregada a tecla @key{Shift} enquanto
se faz clic, faz diminuir o tamanho. Para continuar a desenhar
traject@'orias com um clic, selecciona-se a op@value{cedilha}@~ao
@emph{Integrate} do men@'u.

A op@value{cedilha}@~ao @emph{Config} do men@'u pode usar-se para mudar
a(s) EDO(S) e fazer alguns outros ajustes. Ap@'os ter feito alguma
altera@value{cedilha}@~ao, dever@'a usar a op@value{cedilha}@~ao
@emph{Replot} para activar as novas configura@value{cedilha}@~oes.  Se
introduzir duas coordenadas no campo @emph{Trajectory at} do men@'u de
di@'alogo do @emph{Config}, e a seguir carregar na tecla @key{Enter},
ser@'a acrescentada mais uma curva integral.  Se seleccionar a
op@value{cedilha}@~ao @emph{Replot}, s@'o ser@'a apresentada a @'ultima
curva integral seleccionada.

Mantendo o bot@~ao direito carregado enquanto se desloca o cursor,
poder@'a arrastar o gr@'afico na horizontal e na vertical.  Outros
par@^ametros, por exemplo, o n@'umero de passos, o valor inicial de
@var{t}, as coordenadas do centro e o raio, podem ser alterados no
sub-men@'u da op@value{cedilha}@~ao @emph{Config}.

Com a op@value{cedilha}@~ao @emph{Save}, pode imprimir-se o
gr@'afico numa impressora Postscript ou gravar uma c@'opia num ficheiro
Postscript. Para optar entre impress@~ao ou grava@value{cedilha}@~ao em
ficheiro, selecciona-se @emph{Print Options} na janela de di@'alogo de
@emph{Config}. Ap@'os ter preenchido os campos da janela de di@'alogo de
@emph{Save}, ser@'a necess@'ario seleccionar a op@value{cedilha}@~ao
@emph{Save} do primeiro men@'u para criar o ficheiro ou imprimir o
gr@'afico.

@b{Op@value{cedilha}@~oes gr@'aficas:}

A fun@value{cedilha}@~ao @code{plotdf} admite varias
op@value{cedilha}@~oes, cada uma sendo uma lista de duas ou mais
elementos. O primeiro elemento @'e o nome da op@value{cedilha}@~ao, e o
resto estar@'a formado pelos argumentos para essa op@value{cedilha}@~ao.

A fun@value{cedilha}@~ao @code{plotdf} reconhece as seguintes
op@value{cedilha}@~oes:

@itemize @bullet
@item
@dfn{tstep} estabelece a amplitude dos
incrementos da vari@'avel independente @var{t}, utilizados para calcular
as curvas integrais. Se for dada s@'o uma express@~ao @var{dydx}, a
vari@'avel @var{x} ser@'a directamente proporcional a @var{t}.
O valor por omiss@~ao @'e  0.1.

@item
@dfn{nsteps} estabelece o n@'umero de passos de
comprimento @code{tstep} que se utilizar@~ao na vari@'avel independente
para calcular a curva integral.
O valor por omiss@~ao @'e 100.

@item
@dfn{direction} estabelece a
direc@value{cedilha}@~ao da vari@'avel independente que ser@'a seguida
para calcular uma curva integral.  Os valores poss@'{@dotless{i}} s@~ao:
@code{forward}, para fazer que a vari@'avel independente aumente
@code{nsteps} vezes, com incrementos @code{tstep}; @code{backward}, para
fazer que a vari@'avel independente diminua; @code{both}, para estender
a curva integral @code{nsteps} passos para a frente e @code{nsteps}
passos para atr@'as.  As palavras @code{right} e @code{left} podem serem
usadas como sin@'onimos de @code{forward} e @code{backward}.
O valor por omiss@~ao @'e @code{both}.

@item
@dfn{tinitial} estabelece o valor inicial da
vari@'avel @var{t} utilizado para calcular curvas integrais. J@'a que as
equa@value{cedilha}@~oes diferenciais s@~ao aut@'onomas, esta
op@value{cedilha}@~ao s@'o aparecer@'a nos gr@'aficos das curvas em
fun@value{cedilha}@~ao de @var{t}.
O valor por omiss@~ao @'e 0.

@item
@dfn{versus_t} utiliza-se para criar uma segunda
janela gr@'afica, com o gr@'afico de uma curva integral, como duas
fun@value{cedilha}@~oes @var{x}, @var{y}, de vari@'avel independente
@var{t}. Se for dado a @code{versus_t} qualquer valor diferente de 0,
mostrar-se-@'a a segunda janela gr@'afica, que inclui outro men@'u,
similar ao da janela principal.
O valor por omiss@~ao @'e 0.

@item
@dfn{trajectory_at} estabelece as coordenadas
@var{xinitial} e @var{yinitial} para o ponto inicial da curva integral.
N@~ao tem atribu@'{@dotless{i}}do nenhum valor por omiss@~ao.

@item
@dfn{parameters} estabelece uma lista de
par@^ametros, junto com os seus valores num@'ericos, que s@~ao
utilizados na defini@value{cedilha}@~ao da equa@value{cedilha}@~ao
diferencial. Os nomes dos par@^ametros e os seus valores devem
escrever-se em formato de cadeia de caracteres como uma sequ@^encia de
pares @code{nome=valor} separados por v@'{@dotless{i}}rgulas.

@item
@dfn{sliders} estabelece uma lista de
par@^ametros que poder@~ao ser alterados interactivamente usando barras
com sliders, assim como os intervalos de varia@value{cedilha}@~ao dos
ditos par@^ametros.  Os nomes dos par@^ametros e os seus intervalos
devem escrever-se em formato de cadeia de caracteres como uma
sequ@^encia de pares @code{nome=min:max} separados por
v@'{@dotless{i}}rgulas.

@item
@dfn{xfun} estabelece uma cadeia de caracteres
com fun@value{cedilha}@~oes de @var{x} separadas por ponto e
v@'{@dotless{i}}rgula para ser representadas por cima do campo de
direc@value{cedilha}@~oes. Essas fun@value{cedilha}@~oes ser@~ao
interpretadas por Tcl, e n@~ao por Maxima.

@item
@dfn{xradius} @'e metade do comprimento do
intervalo de valores a representar na direc@value{cedilha}@~ao x.
O valor por omiss@~ao @'e 10.

@item
@dfn{yradius} @'e metade do comprimento do
intervalo de valores a representar na direc@value{cedilha}@~ao y.
O valor por omiss@~ao @'e 10.

@item
@dfn{xcenter} @'e a coordenada x do ponto
situado no centro do gr@'afico.
O valor por omiss@~ao @'e 0.

@item
@dfn{ycenter} @'e a coordenada y do ponto
situado no centro do gr@'afico.
O valor por omiss@~ao @'e 0.

@item
@dfn{width} estabelece a largura da janela gr@'afica em
pixels.
O valor por omiss@~ao @'e 500.

@item
@dfn{height} estabelece a altura da janela gr@'afica em
pixels.
O valor por omiss@~ao @'e 500.

@end itemize

@b{Exemplos:}

NOTA: Em alguns casos, dependendo da interface usada para executar o
Maxima, as fun@value{cedilha}@~oes que usam @code{openmath}, em
particular @code{plotdf}, podem desencadear um bug se terminarem em
ponto e v@'{@dotless{i}}rgula, e n@~ao com o s@'{@dotless{i}}mbolo de
d@'olar. Para evitar problemas, usaremos o s@'{@dotless{i}}mbolo de
d@'ola nos exemplos a seguir.

@itemize @bullet
@item
Para mostrar o campo de direc@value{cedilha}@~oes da
equa@value{cedilha}@~ao diferencial @math{y' = exp(-x) + y} e a
solu@value{cedilha}@~ao que passa por @math{(2, -0.1)}:
@example
(%i1) load("plotdf")$

(%i2) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1]);
@end example

@ifnotinfo
@image{../figures/plotdf1,8cm}
@end ifnotinfo

@item
Para mostrar o campo de direc@value{cedilha}@~oes da
equa@value{cedilha}@~ao @math{diff(y,x) = x - y^2} e a
solu@value{cedilha}@~ao com condi@value{cedilha}@~ao inicial @math{y(-1)
= 3}, pode utilizar-se o comando:
@example
(%i3) plotdf(x-y^2,[xfun,"sqrt(x);-sqrt(x)"],
          [trajectory_at,-1,3], [direction,forward],
          [yradius,5],[xcenter,6]);
@end example
O gr@'afico tamb@'em mostra a fun@value{cedilha}@~ao @math{y = sqrt(x)}.

@ifnotinfo
@image{../figures/plotdf2,8cm}
@end ifnotinfo

@item
O exemplo seguinte mostra o campo de direc@value{cedilha}@~oes de um
oscilador harm@'onico, definido pelas equa@value{cedilha}@~oes
@math{dx/dt = y} e @math{dy/dt = -k*x/m}, e a curva integral que passa
por @math{(x,y) = (6,0)}, com uma barra de slider que permitir@'a mudar
o valor de @math{m} interactivamente (@math{k} permanecer@'a fixo em 2):
@example
(%i4) plotdf([y,-k*x/m],[parameters,"m=2,k=2"],
            [sliders,"m=1:5"], [trajectory_at,6,0]);
@end example

@ifnotinfo
@image{../figures/plotdf3,8cm}
@end ifnotinfo

@item
Para representar o campo de direc@value{cedilha}@~oes da
equa@value{cedilha}@~ao de Duffing, @math{m*x''+c*x'+k*x+b*x^3 = 0},
introduz-se a vari@'avel @math{y=x'} e faz-se:
@example
(%i5) plotdf([y,-(k*x + c*y + b*x^3)/m],
              [parameters,"k=-1,m=1.0,c=0,b=1"],
              [sliders,"k=-2:2,m=-1:1"],[tstep,0.1]);
@end example

@ifnotinfo
@image{../figures/plotdf4,8cm}
@end ifnotinfo

@item
O campo de direc@value{cedilha}@~oes dum p@^endulo amortecido, incluindo
a solu@value{cedilha}@~ao para condi@value{cedilha}@~oes iniciales
dadas, com uma barra de slider que pode usar-se para mudar o valor da
masa, @math{m}, e com o gr@'afico das duas vari@'aveis de estado em
fun@value{cedilha}@~ao do tempo:

@example
(%i6) plotdf([y,-g*sin(x)/l - b*y/m/l],
         [parameters,"g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05"],
         [trajectory_at,1.05,-9],[tstep,0.01],
         [xradius,6],[yradius,14],
         [xcenter,-4],[direction,forward],[nsteps,300],
         [sliders,"m=0.1:1"], [versus_t,1]);
@end example

@ifnotinfo
@image{../figures/plotdf5,8cm}@image{../figures/plotdf6,8cm}
@end ifnotinfo

@end itemize

@end deffn