1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
|
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">
<html>
<!-- Created by GNU Texinfo 5.1, http://www.gnu.org/software/texinfo/ -->
<head>
<title>Maxima Manual: Введение в пакет contrib_ode</title>
<meta name="description" content="Maxima Manual: Введение в пакет contrib_ode">
<meta name="keywords" content="Maxima Manual: Введение в пакет contrib_ode">
<meta name="resource-type" content="document">
<meta name="distribution" content="global">
<meta name="Generator" content="makeinfo">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
<link href="maxima_toc.html#Top" rel="start" title="Top">
<link href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" rel="index" title="Указатель функций и переменных">
<link href="maxima_toc.html#SEC_Contents" rel="contents" title="Table of Contents">
<link href="maxima_158.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-contrib_005fode" rel="up" title="Пакет contrib_ode">
<link href="maxima_160.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_043f_0430_043a_0435_0442_0430-contrib_005fode" rel="next" title="Функции и переменные пакета contrib_ode">
<link href="maxima_158.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-contrib_005fode" rel="previous" title="Пакет contrib_ode">
<style type="text/css">
<!--
a.summary-letter {text-decoration: none}
blockquote.smallquotation {font-size: smaller}
div.display {margin-left: 3.2em}
div.example {margin-left: 3.2em}
div.indentedblock {margin-left: 3.2em}
div.lisp {margin-left: 3.2em}
div.smalldisplay {margin-left: 3.2em}
div.smallexample {margin-left: 3.2em}
div.smallindentedblock {margin-left: 3.2em; font-size: smaller}
div.smalllisp {margin-left: 3.2em}
kbd {font-style:oblique}
pre.display {font-family: inherit}
pre.format {font-family: inherit}
pre.menu-comment {font-family: serif}
pre.menu-preformatted {font-family: serif}
pre.smalldisplay {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smallexample {font-size: smaller}
pre.smallformat {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smalllisp {font-size: smaller}
span.nocodebreak {white-space:nowrap}
span.nolinebreak {white-space:nowrap}
span.roman {font-family:serif; font-weight:normal}
span.sansserif {font-family:sans-serif; font-weight:normal}
ul.no-bullet {list-style: none}
body {color: black; background: white; margin-left: 8%; margin-right: 13%;
font-family: "FreeSans", sans-serif}
h1 {font-size: 150%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h2 {font-size: 125%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h3 {font-size: 100%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
a[href] {color: rgb(0,0,255); text-decoration: none;}
a[href]:hover {background: rgb(220,220,220);}
div.textbox {border: solid; border-width: thin; padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 2em; padding-right: 2em}
div.titlebox {border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 2em; padding-right: 2em; background: rgb(200,255,255);
font-family: sans-serif}
div.synopsisbox {
border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em; padding-left: 2em;
padding-right: 2em; background: rgb(255,220,255);}
pre.example {border: 1px solid rgb(180,180,180); padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 1em; padding-right: 1em;
background-color: rgb(238,238,255)}
div.spacerbox {border: none; padding-top: 2em; padding-bottom: 2em}
div.image {margin: 0; padding: 1em; text-align: center}
div.categorybox {border: 1px solid gray; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 1em; padding-right: 1em; background: rgb(247,242,220)}
img {max-width:80%; max-height: 80%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto}
-->
</style>
<link rel="icon" href="figures/favicon.ico">
<script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6>"></script>
<script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
</head>
<body lang="ru" bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#0000FF" vlink="#800080" alink="#FF0000">
<a name="g_t_0412_0432_0435_0434_0435_043d_0438_0435-_0432-_043f_0430_043a_0435_0442-contrib_005fode"></a>
<div class="header">
<p>
Next: <a href="maxima_160.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_043f_0430_043a_0435_0442_0430-contrib_005fode" accesskey="n" rel="next">Функции и переменные пакета contrib_ode</a>, Previous: <a href="maxima_158.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-contrib_005fode" accesskey="p" rel="previous">Пакет contrib_ode</a>, Up: <a href="maxima_158.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-contrib_005fode" accesskey="u" rel="up">Пакет contrib_ode</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
<a name="Vvedenie-v-paket-contrib_005fode"></a>
<h3 class="section">42.1 Введение в пакет contrib_ode</h3>
<p>Стандартная процедура Maxima для решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ) <code>ode2</code>
решает элементарные линейные ОДУ первого и второго порядка.
Функция <code>contrib_ode</code> расширяет <code>ode2</code> дополнительными методами для линейных
и нелинейных ОДУ первого порядка и линейных однородных ОДУ второго порядка.
Даная программа находится в состоянии развития и форма вызова функций
может измениться в последующих релизах. После стабилизации код может
быть перемещен из директории contrib и интегрирован в ядро Maxima.
</p>
<p>Для использования пакет должен быть загружен с помощью команды <code>load("contrib_ode")</code>.
</p>
<p>Функция <code>contrib_ode</code> вызывается также, как <code>ode2</code>.
Она имеет три аргумента: ОДУ (если правая часть уравнения равна 0, то достаточно задать
только левые части уравнений), зависимая переменная и независимая переменная.
В случае успеха возвращается список решений.
</p>
<p>Представление решений отличается от такового для <code>ode2</code>.
Т.к. нелинейные уравнения могут иметь множественные решения., то
<code>contrib_ode</code> возвращает список решений. Решение может иметь
несколько различных форм:
</p><ul>
<li> явное решение для зависимой переменной,
</li><li> неявное решение для зависимой переменной,
</li><li> параметрическое решение с параметром <code>%t</code>
</li><li> преобразование в другое ОДУ для зависимой переменной <code>%u</code>.
</li></ul>
<p><code>%c</code> представляет константу интегрирования для уравнений первого порядка.
<code>%k1</code> и <code>%k2</code> – константы интегрирования для уравнений второго порядка.
Если <code>contrib_ode</code> не может получить решение, то возвращается <code>false</code>,
возможно, после печати сообщения об ошибке.
</p>
<p>Необходимо возвращать список решений, т.к. нелинейные ОДУ первого порядка
могут иметь множественные решения. Например:
</p>
<div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;
dy 2 dy
(%o2) x (--) - (x y + 1) -- + y = 0
dx dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
x
(%o3) [y = log(x) + %c, y = %c %e ]
(%i4) method;
(%o4) factor
</pre></div>
<p>Нелинейные ОДУ могут иметь особые решения, не имеющие констант интегрирования, как
второе решение в следующем примере:
</p>
<div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;
dy 2 dy
(%o2) (--) + x -- - y = 0
dx dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
2
2 x
(%o3) [y = %c x + %c , y = - --]
4
(%i4) method;
(%o4) clairault
</pre></div>
<p>Следующее ОДУ имеет два параметрических решение в терминах переменной
<code>%t</code>. Из этих параметрических решений можно получить явные решения.
</p>
<div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;
dy 2
(%o2) -- = (y + x)
dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
(%o3) [[x = %c - atan(sqrt(%t)), y = - x - sqrt(%t)],
[x = atan(sqrt(%t)) + %c, y = sqrt(%t) - x]]
(%i4) method;
(%o4) lagrange
</pre></div>
<p>Следующий пример (Камке 1.112) демонстрирует неявное решение.
</p>
<div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) assume(x>0,y>0);
(%o2) [x > 0, y > 0]
(%i3) eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;
dy 2 2
(%o3) x -- - x sqrt(y + x ) - y
dx
(%i4) contrib_ode(eqn,y,x);
y
(%o4) [x - asinh(-) = %c]
x
(%i5) method;
(%o5) lie
</pre></div>
<p>Следующее уравнение Рикатти преобразуется в линейное ОДУ второго порядка
для переменной <code>%u</code>. Maxima не может решить новое уравнение, и оно
возвращается нерешенным.
</p><div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("contrib_ode")$
(%i2) eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;
2 dy 2 2 n
(%o2) x -- = c x y + b x + a
dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);
d%u
--- 2
dx 2 n - 2 a d %u
(%o3) [[y = - ----, %u c (b x + --) + ---- c = 0]]
%u c 2 2
x dx
(%i4) method;
(%o4) riccati
</pre></div>
<p>Для ОДУ первого порядка <code>contrib_ode</code> вызывает <code>ode2</code>.
Затем применяются методы: факторизации, Клеро, Лагранжа, Рикатти,
Абеля и метод симметрий Ли. Метод Ли не применяется к уравнениям Абеля,
если метод Абеля не дает результата, но применяется если метод Рикатти
возвращает нерешенное ОДУ второго порядка.
</p>
<p>Для ОДУ второго порядка <code>contrib_ode</code> вызывает <code>ode2</code>, а затем <code>odelin</code>.
</p>
<p>Если выполнена команда <code>put('contrib_ode,true,'verbose)</code>, то
печатается подробная отладочная информация.
</p>
<a name="Item_003a-contrib_005fode_002fnode_002f_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_043f_0430_043a_0435_0442_0430-contrib_005fode"></a><hr>
<div class="header">
<p>
Next: <a href="maxima_160.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_043f_0430_043a_0435_0442_0430-contrib_005fode" accesskey="n" rel="next">Функции и переменные пакета contrib_ode</a>, Previous: <a href="maxima_158.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-contrib_005fode" accesskey="p" rel="previous">Пакет contrib_ode</a>, Up: <a href="maxima_158.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-contrib_005fode" accesskey="u" rel="up">Пакет contrib_ode</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
</body>
</html>
|
