1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
|
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">
<html>
<!-- Created by GNU Texinfo 5.1, http://www.gnu.org/software/texinfo/ -->
<head>
<title>Maxima Manual: Введение в пакет distrib</title>
<meta name="description" content="Maxima Manual: Введение в пакет distrib">
<meta name="keywords" content="Maxima Manual: Введение в пакет distrib">
<meta name="resource-type" content="document">
<meta name="distribution" content="global">
<meta name="Generator" content="makeinfo">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
<link href="maxima_toc.html#Top" rel="start" title="Top">
<link href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" rel="index" title="Указатель функций и переменных">
<link href="maxima_toc.html#SEC_Contents" rel="contents" title="Table of Contents">
<link href="maxima_172.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-distrib" rel="up" title="Пакет distrib">
<link href="maxima_174.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_043d_0435_043f_0440_0435_0440_044b_0432_043d_044b_0445-_0440_0430_0441_043f_0440_0435_0434_0435_043b_0435_043d_0438_0439" rel="next" title="Функции и переменные для непрерывных распределений">
<link href="maxima_172.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-distrib" rel="previous" title="Пакет distrib">
<style type="text/css">
<!--
a.summary-letter {text-decoration: none}
blockquote.smallquotation {font-size: smaller}
div.display {margin-left: 3.2em}
div.example {margin-left: 3.2em}
div.indentedblock {margin-left: 3.2em}
div.lisp {margin-left: 3.2em}
div.smalldisplay {margin-left: 3.2em}
div.smallexample {margin-left: 3.2em}
div.smallindentedblock {margin-left: 3.2em; font-size: smaller}
div.smalllisp {margin-left: 3.2em}
kbd {font-style:oblique}
pre.display {font-family: inherit}
pre.format {font-family: inherit}
pre.menu-comment {font-family: serif}
pre.menu-preformatted {font-family: serif}
pre.smalldisplay {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smallexample {font-size: smaller}
pre.smallformat {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smalllisp {font-size: smaller}
span.nocodebreak {white-space:nowrap}
span.nolinebreak {white-space:nowrap}
span.roman {font-family:serif; font-weight:normal}
span.sansserif {font-family:sans-serif; font-weight:normal}
ul.no-bullet {list-style: none}
body {color: black; background: white; margin-left: 8%; margin-right: 13%;
font-family: "FreeSans", sans-serif}
h1 {font-size: 150%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h2 {font-size: 125%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h3 {font-size: 100%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
a[href] {color: rgb(0,0,255); text-decoration: none;}
a[href]:hover {background: rgb(220,220,220);}
div.textbox {border: solid; border-width: thin; padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 2em; padding-right: 2em}
div.titlebox {border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 2em; padding-right: 2em; background: rgb(200,255,255);
font-family: sans-serif}
div.synopsisbox {
border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em; padding-left: 2em;
padding-right: 2em; background: rgb(255,220,255);}
pre.example {border: 1px solid rgb(180,180,180); padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 1em; padding-right: 1em;
background-color: rgb(238,238,255)}
div.spacerbox {border: none; padding-top: 2em; padding-bottom: 2em}
div.image {margin: 0; padding: 1em; text-align: center}
div.categorybox {border: 1px solid gray; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 1em; padding-right: 1em; background: rgb(247,242,220)}
img {max-width:80%; max-height: 80%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto}
-->
</style>
<link rel="icon" href="figures/favicon.ico">
<script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6>"></script>
<script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
</head>
<body lang="ru" bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#0000FF" vlink="#800080" alink="#FF0000">
<a name="g_t_0412_0432_0435_0434_0435_043d_0438_0435-_0432-_043f_0430_043a_0435_0442-distrib"></a>
<div class="header">
<p>
Next: <a href="maxima_174.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_043d_0435_043f_0440_0435_0440_044b_0432_043d_044b_0445-_0440_0430_0441_043f_0440_0435_0434_0435_043b_0435_043d_0438_0439" accesskey="n" rel="next">Функции и переменные для непрерывных распределений</a>, Previous: <a href="maxima_172.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-distrib" accesskey="p" rel="previous">Пакет distrib</a>, Up: <a href="maxima_172.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-distrib" accesskey="u" rel="up">Пакет distrib</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
<a name="Vvedenie-v-paket-distrib"></a>
<h3 class="section">45.1 Введение в пакет distrib</h3>
<p>Пакет <code>distrib</code> включает набор функций для вероятностных вычислений с дискретными
и непрерывными распределениями одной переменной.
</p>
<p>Далее следует краткий обзор основных понятий по вероятностным распределениям.
</p>
<p>Пусть <em>f(x)</em> есть <var>функция плотности вероятности</var> непрерывной случайной величины <em>X</em>.
Тогда <var>функция распределения</var> определяется как
</p><div class="example">
<pre class="example"> x
/
[
F(x) = I f(u) du
]
/
minf
</pre></div>
<p>что равно вероятности <var>Pr(X <= x)</var>
</p>
<p><var>Среднее</var> значение характеризует локализацию и определено как
</p><div class="example">
<pre class="example"> inf
/
[
E[X] = I x f(x) dx
]
/
minf
</pre></div>
<p><var>Дисперсия</var> характеризует изменчивость распределения
</p><div class="example">
<pre class="example"> inf
/
[ 2
V[X] = I f(x) (x - E[X]) dx
]
/
minf
</pre></div>
<p>что есть положительное вещественное число. Квадратный корень дисперсии называется
<var>стандартным отклонением</var>, <em>D[X]=sqrt(V[X])</em>, и является иной мерой изменчивости.
</p>
<p><var>Коэффициент асимметрии</var> является мерой асимметрии распределения
</p><div class="example">
<pre class="example"> inf
/
1 [ 3
SK[X] = ----- I f(x) (x - E[X]) dx
3 ]
D[X] /
minf
</pre></div>
<p><var>Коэффициент куртозиса</var> является мерой остроты распределения
</p><div class="example">
<pre class="example"> inf
/
1 [ 4
KU[X] = ----- I f(x) (x - E[X]) dx - 3
4 ]
D[X] /
minf
</pre></div>
<p>Если случайная величина <em>X</em> гауссова, то <em>KU[X]=0</em>.
Фактически, коэффициенты асимметрии и куртозиса являются
параметрами формы и измеряют степень не-гауссовости распределения.
</p>
<p>Если случайная переменная <em>X</em> является дискретной, то плотность, или <var>вероятность</var>,
<em>f(x)</em> принимает положительные значения на некотором счетном множестве чисел <em>x_i</em>,
и равна нулю в противном случае. В этом случае функция распределения есть
</p><div class="example">
<pre class="example"> ====
\
F(x) = > f(x )
/ i
====
x <= x
i
</pre></div>
<p>А среднее, дисперсия, стандартное отклонение, коэффициенты асимметрии и куртозиса имеют вид
</p><div class="example">
<pre class="example"> ====
\
E[X] = > x f(x ) ,
/ i i
====
x
i
</pre></div>
<div class="example">
<pre class="example"> ====
\ 2
V[X] = > f(x ) (x - E[X]) ,
/ i i
====
x
i
</pre></div>
<div class="example">
<pre class="example"> D[X] = sqrt(V[X]),
</pre></div>
<div class="example">
<pre class="example"> ====
1 \ 3
SK[X] = ------- > f(x ) (x - E[X])
D[X]^3 / i i
====
x
i
</pre></div>
<p>и
</p><div class="example">
<pre class="example"> ====
1 \ 4
KU[X] = ------- > f(x ) (x - E[X]) - 3 ,
D[X]^4 / i i
====
x
i
</pre></div>
<p>соответственно.
</p>
<p>Пакет <code>distrib</code> включает функции для моделирования случайных переменных.
Некоторые из этих функций используют управляющие переменные, указывающие используемый алгоритм.
В большинстве случаев реализован общий метод обращения, который основан на факте, что если <var>u</var> случайная
величина с равномерным распределением в интервале <em>(0,1)</em>, то <var>F^(-1)(u)</var> есть случайная величина
с распределением <em>F</em>. Этот метод недостаточно эффективен с точки зрения времени вычисления,
но полезен для сравнения с другими алгоритмами. В этом примере сравнивается производительность алгоритмов
<code>ahrens_cheng</code> и <code>inverse</code> при вычислении гистограмм для Хи-квадрат случайной переменной:
</p>
<div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("distrib")$
(%i2) load("descriptive")$
(%i3) showtime: true$
Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 32 bytes.
(%i4) random_chi2_algorithm: 'ahrens_cheng$
histogram(random_chi2(10,500))$
Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 40 bytes.
Evaluation took 0.69 seconds (0.71 elapsed) using 5.694 MB.
(%i6) random_chi2_algorithm: 'inverse$ histogram(random_chi2(10,500))$
Evaluation took 0.00 seconds (0.00 elapsed) using 32 bytes.
Evaluation took 10.15 seconds (10.17 elapsed) using 322.098 MB.
</pre></div>
<p>Для визуального сравнения алгоритмов для дискретных переменных
можно использовать функцию <code>barsplot</code> пакета <code>descriptive</code>.
</p>
<p>Заметим, что еще требуется проделать некоторую работу, поскольку данные модельные распределения
еще не проверены более строгими оценками качества совпадения.
</p>
<p>За более детальной информацией по поводу данных математических
объектов, пожалуйста, обратитесь к любому вводному руководству по
вероятности и статистике.
</p>
<p>Имена функций пакета <code>distrib</code> следуют определенному соглашению.
Каждое имя состоит из двух частей – первая определяет функцию
или параметр, которое необходимо вычислить.
</p><div class="example">
<pre class="example">Функции:
Плотность вероятности (pdf_*)
Распределение (cdf_*)
Квантиль (quantile_*)
Среднее значение (mean_*)
Дисперсия (var_*)
Стандартное отклонение (std_*)
Коэффициент асимметрии (skewness_*)
Коэффициент куртозиса (kurtosis_*)
Случайная переменная (variate) (random_*)
</pre></div>
<p>Вторая часть определяет тип распределения.
</p><div class="example">
<pre class="example">Непрерывные распределения:
Нормальное (*normal)
Стьюдента (*student_t)
Хи-квадрат (*chi2)
F (*f)
Экспоненциальное (*exp)
Логнормальное (*lognormal)
Гамма (*gamma)
Бета (*beta)
Равномерное неприрывное (*continuous_uniform)
Логистическое (*logistic)
Парето (*pareto)
Вейбулла (*weibull)
Релея (*rayleigh)
Лапласа (*laplace)
Коши (*cauchy)
Гумбеля (*gumbel)
Дискретные распределения:
Биномиальное (*binomial)
Пуассона (*poisson)
Бернулли (*bernoulli)
Геометрическое (*geometric)
Равномерное дискретное (*discrete_uniform)
Гипергеометрическое (*hypergeometric)
Отрицательное биномиальное (*negative_binomial)
</pre></div>
<p>Например, <code>pdf_student_t(x,n)</code> – плотность распределения Стьюдента
с <var>n</var> степенями свободы, <code>std_pareto(a,b)</code>
– стандартное отклонение распределения Парето с параметрами <var>a</var> и <var>b</var>,
и <code>kurtosis_poisson(m)</code> – коэффициент куртозиса распределения Пуассона
со средним <var>m</var>.
</p>
<p>Для использования пакет <code>distrib</code> необходимо загрузить командой
</p><div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("distrib")$
</pre></div>
<p>Для комментариев, сообщений об ошибках и предложений обращайтесь к автору пакета по адресу <var>’mario AT edu DOT xunta DOT es’</var>.
</p>
<a name="Item_003a-distrib_002fnode_002f_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_043d_0435_043f_0440_0435_0440_044b_0432_043d_044b_0445-_0440_0430_0441_043f_0440_0435_0434_0435_043b_0435_043d_0438_0439"></a><hr>
<div class="header">
<p>
Next: <a href="maxima_174.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_043d_0435_043f_0440_0435_0440_044b_0432_043d_044b_0445-_0440_0430_0441_043f_0440_0435_0434_0435_043b_0435_043d_0438_0439" accesskey="n" rel="next">Функции и переменные для непрерывных распределений</a>, Previous: <a href="maxima_172.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-distrib" accesskey="p" rel="previous">Пакет distrib</a>, Up: <a href="maxima_172.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-distrib" accesskey="u" rel="up">Пакет distrib</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
</body>
</html>
|
