1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
|
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">
<html>
<!-- Created by GNU Texinfo 5.1, http://www.gnu.org/software/texinfo/ -->
<head>
<title>Maxima Manual: Функции и переменные пакета interpol</title>
<meta name="description" content="Maxima Manual: Функции и переменные пакета interpol">
<meta name="keywords" content="Maxima Manual: Функции и переменные пакета interpol">
<meta name="resource-type" content="document">
<meta name="distribution" content="global">
<meta name="Generator" content="makeinfo">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
<link href="maxima_toc.html#Top" rel="start" title="Top">
<link href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" rel="index" title="Указатель функций и переменных">
<link href="maxima_toc.html#SEC_Contents" rel="contents" title="Table of Contents">
<link href="maxima_198.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-interpol" rel="up" title="Пакет interpol">
<link href="maxima_201.html#lapack_002dpkg" rel="next" title="lapack-pkg">
<link href="maxima_199.html#g_t_0412_0432_0435_0434_0435_043d_0438_0435-_0432-_043f_0430_043a_0435_0442-interpol" rel="previous" title="Введение в пакет interpol">
<style type="text/css">
<!--
a.summary-letter {text-decoration: none}
blockquote.smallquotation {font-size: smaller}
div.display {margin-left: 3.2em}
div.example {margin-left: 3.2em}
div.indentedblock {margin-left: 3.2em}
div.lisp {margin-left: 3.2em}
div.smalldisplay {margin-left: 3.2em}
div.smallexample {margin-left: 3.2em}
div.smallindentedblock {margin-left: 3.2em; font-size: smaller}
div.smalllisp {margin-left: 3.2em}
kbd {font-style:oblique}
pre.display {font-family: inherit}
pre.format {font-family: inherit}
pre.menu-comment {font-family: serif}
pre.menu-preformatted {font-family: serif}
pre.smalldisplay {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smallexample {font-size: smaller}
pre.smallformat {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smalllisp {font-size: smaller}
span.nocodebreak {white-space:nowrap}
span.nolinebreak {white-space:nowrap}
span.roman {font-family:serif; font-weight:normal}
span.sansserif {font-family:sans-serif; font-weight:normal}
ul.no-bullet {list-style: none}
body {color: black; background: white; margin-left: 8%; margin-right: 13%;
font-family: "FreeSans", sans-serif}
h1 {font-size: 150%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h2 {font-size: 125%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h3 {font-size: 100%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
a[href] {color: rgb(0,0,255); text-decoration: none;}
a[href]:hover {background: rgb(220,220,220);}
div.textbox {border: solid; border-width: thin; padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 2em; padding-right: 2em}
div.titlebox {border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 2em; padding-right: 2em; background: rgb(200,255,255);
font-family: sans-serif}
div.synopsisbox {
border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em; padding-left: 2em;
padding-right: 2em; background: rgb(255,220,255);}
pre.example {border: 1px solid rgb(180,180,180); padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 1em; padding-right: 1em;
background-color: rgb(238,238,255)}
div.spacerbox {border: none; padding-top: 2em; padding-bottom: 2em}
div.image {margin: 0; padding: 1em; text-align: center}
div.categorybox {border: 1px solid gray; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 1em; padding-right: 1em; background: rgb(247,242,220)}
img {max-width:80%; max-height: 80%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto}
-->
</style>
<link rel="icon" href="figures/favicon.ico">
<script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6>"></script>
<script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
</head>
<body lang="ru" bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#0000FF" vlink="#800080" alink="#FF0000">
<a name="g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_043f_0430_043a_0435_0442_0430-interpol"></a>
<div class="header">
<p>
Previous: <a href="maxima_199.html#g_t_0412_0432_0435_0434_0435_043d_0438_0435-_0432-_043f_0430_043a_0435_0442-interpol" accesskey="p" rel="previous">Введение в пакет interpol</a>, Up: <a href="maxima_198.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-interpol" accesskey="u" rel="up">Пакет interpol</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
<a name="Funkcii-i-peremennye-paketa-interpol"></a>
<h3 class="section">54.2 Функции и переменные пакета interpol</h3>
<a name="Item_003a-interpol_002fdeffn_002flagrange"></a><dl>
<dt><a name="index-lagrange"></a>Функция: <strong>lagrange</strong> <em>(<var>points</var>)</em></dt>
<dt><a name="index-lagrange-1"></a>Функция: <strong>lagrange</strong> <em>(<var>points</var>, <var>option</var>)</em></dt>
<dd><p>Вычисляет полиномиальную интерполяцию методом Лагранжа. Аргумент <var>points</var> должен быть либо:
</p>
<ul>
<li> матрицей из двух колонок, <code>p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])</code>,
</li><li> списком пар, <code>p: [[2,4],[5,6],[9,3]]</code>,
</li><li> списком чисел <code>p: [4,6,3]</code>, в этом случае абсцисса будет назначена автоматически равной 1, 2, 3 и т.д.
</li></ul>
<p>В первых двух случаях, перед проведением вычислений, пары упорядочиваются в соответствии
со значением первой координаты.
</p>
<p>Аргумент <var>option</var> позволяет выбрать имя независимой переменной, по умолчанию равной <code>'x</code>.
Чтобы задать другую переменную напишите <code>varname='z</code>.
</p>
<p>Отметим, что при работе с многочленами высокого порядка, вычисления с плавающей точкой
нестабильны.
</p>
<p>Примеры:
</p>
<div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("interpol")$
(%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
(%i3) lagrange(p);
4 3 2
73 x 701 x 8957 x 5288 x 186
(%o3) ----- - ------ + ------- - ------ + ---
420 210 420 105 5
(%i4) f(x):=''%;
4 3 2
73 x 701 x 8957 x 5288 x 186
(%o4) f(x) := ----- - ------ + ------- - ------ + ---
420 210 420 105 5
(%i5) /* Evaluate the polynomial at some points */
map(f,[2.3,5/7,%pi]);
919062
(%o5) [- 1.567534999999992, ------,
84035
4 3 2
73 %pi 701 %pi 8957 %pi 5288 %pi 186
------- - -------- + --------- - -------- + ---]
420 210 420 105 5
(%i6) %,numer;
(%o6) [- 1.567534999999992, 10.9366573451538, 2.89319655125692]
(%i7) load("draw")$ /* load draw package */
(%i8) /* Plot the polynomial together with points */
draw2d(
color = red,
key = "Lagrange polynomial",
explicit(f(x),x,0,10),
point_size = 3,
color = blue,
key = "Sample points",
points(p))$
(%i9) /* Change variable name */
lagrange(p, varname=w);
4 3 2
73 w 701 w 8957 w 5288 w 186
(%o9) ----- - ------ + ------- - ------ + ---
420 210 420 105 5
</pre></div>
</dd></dl>
<a name="Item_003a-interpol_002fdeffn_002fcharfun2"></a><dl>
<dt><a name="index-charfun2"></a>Функция: <strong>charfun2</strong> <em>(<var>x</var>, <var>a</var>, <var>b</var>)</em></dt>
<dd><p>Возвращает <code>true</code> если число <var>x</var> принадлежит интервалу <em>[a, b)</em>, и <code>false</code> в противном случае.
</p>
</dd></dl>
<a name="Item_003a-interpol_002fdeffn_002flinearinterpol"></a><dl>
<dt><a name="index-linearinterpol"></a>Функция: <strong>linearinterpol</strong> <em>(<var>points</var>)</em></dt>
<dt><a name="index-linearinterpol-1"></a>Функция: <strong>linearinterpol</strong> <em>(<var>points</var>, <var>option</var>)</em></dt>
<dd><p>Вычисляет полиномиальную интерполяцию линейным методом. Аргумент <var>points</var> должен быть либо:
</p>
<ul>
<li> матрицей из двух колонок, <code>p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])</code>,
</li><li> списком пар, <code>p: [[2,4],[5,6],[9,3]]</code>,
</li><li> списком чисел <code>p: [4,6,3]</code>, в этом случае абсцисса будет назначена автоматически равной 1, 2, 3 и т.д.
</li></ul>
<p>В первых двух случаях, перед проведением вычислений, пары упорядочиваются в соответствии
со значением первой координаты.
</p>
<p>Аргумент <var>option</var> позволяет выбрать имя независимой переменной, по умолчанию равной <code>'x</code>.
Чтобы задать другую переменную напишите <code>varname='z</code>.
</p>
<p>Примеры:
</p><div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("interpol")$
(%i2) p: matrix([7,2],[8,3],[1,5],[3,2],[6,7])$
(%i3) linearinterpol(p);
13 3 x
(%o3) (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
2 2
+ (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
5 x
+ (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
3
(%i4) f(x):=''%;
13 3 x
(%o4) f(x) := (-- - ---) charfun2(x, minf, 3)
2 2
+ (x - 5) charfun2(x, 7, inf) + (37 - 5 x) charfun2(x, 6, 7)
5 x
+ (--- - 3) charfun2(x, 3, 6)
3
(%i5) /* Evaluate the polynomial at some points */
map(f,[7.3,25/7,%pi]);
62 5 %pi
(%o5) [2.3, --, ----- - 3]
21 3
(%i6) %,numer;
(%o6) [2.3, 2.952380952380953, 2.235987755982989]
(%i7) load("draw")$ /* load draw package */
(%i8) /* Plot the polynomial together with points */
draw2d(
color = red,
key = "Linear interpolator",
explicit(f(x),x,-5,20),
point_size = 3,
color = blue,
key = "Sample points",
points(args(p)))$
(%i9) /* Change variable name */
linearinterpol(p, varname='s);
13 3 s
(%o9) (-- - ---) charfun2(s, minf, 3)
2 2
+ (s - 5) charfun2(s, 7, inf) + (37 - 5 s) charfun2(s, 6, 7)
5 s
+ (--- - 3) charfun2(s, 3, 6)
3
</pre></div>
</dd></dl>
<a name="Item_003a-interpol_002fdeffn_002fcspline"></a><dl>
<dt><a name="index-cspline"></a>Функция: <strong>cspline</strong> <em>(<var>points</var>)</em></dt>
<dt><a name="index-cspline-1"></a>Функция: <strong>cspline</strong> <em>(<var>points</var>, <var>option1</var>, <var>option2</var>, ...)</em></dt>
<dd><p>Вычисляет полиномиальную интерполяцию методом кубических сплайнов. Аргумент <var>points</var> должен быть либо:
</p>
<ul>
<li> матрицей из двух колонок, <code>p:matrix([2,4],[5,6],[9,3])</code>,
</li><li> списком пар, <code>p: [[2,4],[5,6],[9,3]]</code>,
</li><li> списком чисел <code>p: [4,6,3]</code>, в этом случае абсцисса будет назначена автоматически равной 1, 2, 3 и т.д.
</li></ul>
<p>В первых двух случаях, перед проведением вычислений, пары упорядочиваются в соответствии
со значением первой координаты.
</p>
<p>Существует три специальные опции:
</p><ul>
<li> <code>'d1</code>, по умолчанию <code>'unknown</code>, – первая производная в точке <em>x_1</em>. Если <code>'unknown</code>,
то вторая производная в точке <em>x_1</em> предполагается равной 0 (натуральный кубический сплайн).
Если задана, то вторая производная вычисляется исходя из этого числа.
</li><li> <code>'dn</code>, по умолчанию <code>'unknown</code>, – первая производная в точке <em>x_n</em>. Если <code>'unknown</code>,
то вторая производная в точке <em>x_n</em> предполагается равной 0 (натуральный кубический сплайн).
Если задана, то вторая производная вычисляется исходя из этого числа.
</li><li> <code>'varname</code>, по умолчанию <code>'x</code>, – имя независимой переменной.
</li></ul>
<p>Примеры:
</p><div class="example">
<pre class="example">(%i1) load("interpol")$
(%i2) p:[[7,2],[8,2],[1,5],[3,2],[6,7]]$
(%i3) /* Unknown first derivatives at the extremes
is equivalent to natural cubic splines */
cspline(p);
3 2
1159 x 1159 x 6091 x 8283
(%o3) (------- - ------- - ------ + ----) charfun2(x, minf, 3)
3288 1096 3288 1096
3 2
2587 x 5174 x 494117 x 108928
+ (- ------- + ------- - -------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
1644 137 1644 137
3 2
4715 x 15209 x 579277 x 199575
+ (------- - -------- + -------- - ------) charfun2(x, 6, 7)
1644 274 1644 274
3 2
3287 x 2223 x 48275 x 9609
+ (- ------- + ------- - ------- + ----) charfun2(x, 3, 6)
4932 274 1644 274
(%i4) f(x):=''%$
(%i5) /* Some evaluations */
map(f,[2.3,5/7,%pi]), numer;
(%o5) [1.991460766423356, 5.823200187269903, 2.227405312429507]
(%i6) load("draw")$ /* load draw package */
(%i7) /* Plotting interpolating function */
draw2d(
color = red,
key = "Cubic splines",
explicit(f(x),x,0,10),
point_size = 3,
color = blue,
key = "Sample points",
points(p))$
(%i8) /* New call, but giving values at the derivatives */
cspline(p,d1=0,dn=0);
3 2
1949 x 11437 x 17027 x 1247
(%o8) (------- - -------- + ------- + ----) charfun2(x, minf, 3)
2256 2256 2256 752
3 2
1547 x 35581 x 68068 x 173546
+ (- ------- + -------- - ------- + ------) charfun2(x, 7, inf)
564 564 141 141
3 2
607 x 35147 x 55706 x 38420
+ (------ - -------- + ------- - -----) charfun2(x, 6, 7)
188 564 141 47
3 2
3895 x 1807 x 5146 x 2148
+ (- ------- + ------- - ------ + ----) charfun2(x, 3, 6)
5076 188 141 47
(%i8) /* Defining new interpolating function */
g(x):=''%$
(%i9) /* Plotting both functions together */
draw2d(
color = black,
key = "Cubic splines (default)",
explicit(f(x),x,0,10),
color = red,
key = "Cubic splines (d1=0,dn=0)",
explicit(g(x),x,0,10),
point_size = 3,
color = blue,
key = "Sample points",
points(p))$
</pre></div>
</dd></dl>
<hr>
<div class="header">
<p>
Previous: <a href="maxima_199.html#g_t_0412_0432_0435_0434_0435_043d_0438_0435-_0432-_043f_0430_043a_0435_0442-interpol" accesskey="p" rel="previous">Введение в пакет interpol</a>, Up: <a href="maxima_198.html#g_t_041f_0430_043a_0435_0442-interpol" accesskey="u" rel="up">Пакет interpol</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
</body>
</html>
|
