1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
|
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN" "http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">
<html>
<!-- Created by GNU Texinfo 5.1, http://www.gnu.org/software/texinfo/ -->
<head>
<title>Maxima Manual: Эллиптические функции и интегралы в Maxima</title>
<meta name="description" content="Maxima Manual: Эллиптические функции и интегралы в Maxima">
<meta name="keywords" content="Maxima Manual: Эллиптические функции и интегралы в Maxima">
<meta name="resource-type" content="document">
<meta name="distribution" content="global">
<meta name="Generator" content="makeinfo">
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=UTF-8">
<link href="maxima_toc.html#Top" rel="start" title="Top">
<link href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" rel="index" title="Указатель функций и переменных">
<link href="maxima_toc.html#SEC_Contents" rel="contents" title="Table of Contents">
<link href="maxima_toc.html#Top" rel="up" title="Top">
<link href="maxima_67.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_044d_043b_043b_0438_043f_0442_0438_0447_0435_0441_043a_0438_0445-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439" rel="next" title="Функции и переменные для эллиптических функций">
<link href="maxima_65.html#g_t_042d_043b_043b_0438_043f_0442_0438_0447_0435_0441_043a_0438_0435-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0438" rel="previous" title="Эллиптические функции">
<style type="text/css">
<!--
a.summary-letter {text-decoration: none}
blockquote.smallquotation {font-size: smaller}
div.display {margin-left: 3.2em}
div.example {margin-left: 3.2em}
div.indentedblock {margin-left: 3.2em}
div.lisp {margin-left: 3.2em}
div.smalldisplay {margin-left: 3.2em}
div.smallexample {margin-left: 3.2em}
div.smallindentedblock {margin-left: 3.2em; font-size: smaller}
div.smalllisp {margin-left: 3.2em}
kbd {font-style:oblique}
pre.display {font-family: inherit}
pre.format {font-family: inherit}
pre.menu-comment {font-family: serif}
pre.menu-preformatted {font-family: serif}
pre.smalldisplay {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smallexample {font-size: smaller}
pre.smallformat {font-family: inherit; font-size: smaller}
pre.smalllisp {font-size: smaller}
span.nocodebreak {white-space:nowrap}
span.nolinebreak {white-space:nowrap}
span.roman {font-family:serif; font-weight:normal}
span.sansserif {font-family:sans-serif; font-weight:normal}
ul.no-bullet {list-style: none}
body {color: black; background: white; margin-left: 8%; margin-right: 13%;
font-family: "FreeSans", sans-serif}
h1 {font-size: 150%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h2 {font-size: 125%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
h3 {font-size: 100%; font-family: "FreeSans", sans-serif}
a[href] {color: rgb(0,0,255); text-decoration: none;}
a[href]:hover {background: rgb(220,220,220);}
div.textbox {border: solid; border-width: thin; padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 2em; padding-right: 2em}
div.titlebox {border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 2em; padding-right: 2em; background: rgb(200,255,255);
font-family: sans-serif}
div.synopsisbox {
border: none; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em; padding-left: 2em;
padding-right: 2em; background: rgb(255,220,255);}
pre.example {border: 1px solid rgb(180,180,180); padding-top: 1em;
padding-bottom: 1em; padding-left: 1em; padding-right: 1em;
background-color: rgb(238,238,255)}
div.spacerbox {border: none; padding-top: 2em; padding-bottom: 2em}
div.image {margin: 0; padding: 1em; text-align: center}
div.categorybox {border: 1px solid gray; padding-top: 1em; padding-bottom: 1em;
padding-left: 1em; padding-right: 1em; background: rgb(247,242,220)}
img {max-width:80%; max-height: 80%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto}
-->
</style>
<link rel="icon" href="figures/favicon.ico">
<script src="https://polyfill.io/v3/polyfill.min.js?features=es6>"></script>
<script id="MathJax-script" async src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js"></script>
</head>
<body lang="ru" bgcolor="#FFFFFF" text="#000000" link="#0000FF" vlink="#800080" alink="#FF0000">
<a name="g_t_042d_043b_043b_0438_043f_0442_0438_0447_0435_0441_043a_0438_0435-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_0438_043d_0442_0435_0433_0440_0430_043b_044b-_0432-Maxima"></a>
<div class="header">
<p>
Next: <a href="maxima_67.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_044d_043b_043b_0438_043f_0442_0438_0447_0435_0441_043a_0438_0445-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439" accesskey="n" rel="next">Функции и переменные для эллиптических функций</a>, Up: <a href="maxima_toc.html#Top" accesskey="u" rel="up">Top</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
<a name="Ellipticheskie-funkcii-i-integraly-v-Maxima"></a>
<h3 class="section">15.1 Эллиптические функции и интегралы в Maxima</h3>
<p>Maxima поддерживает работу с эллиптическими функциями Якоби, а также полными и
неполными эллиптическими интегралами - как символьную манипуляцию, так и
численные расчеты. Определение этих функций и множество их свойств можно
найти в главах 16, 17 справочника Abramowitz, Stegun. Мы используем определения
и отношения из книги Абрамовица и Стиган там, где это возможно.
</p>
<p>В частности, все эллиптические функции и нтегралы используют параметр
<em>m</em> вместо модуля <em>k</em> или амплитуды <em>\alpha</em>. Это единственное расхождение
с Амбрамовицем и Стиган, которые используют для эллиптических функций амплитуду.
Действуют следующие отношения:
</p>
<p>В первую очередь упор делался на символьные вычисления с эллиптическими функциями
и интегралами. Поэтому известно большинство производных для функций и интегралов.
Однако, если в какчестве параметра заданы числа с плавающей точкой, то возвращается численное значение.
</p>
<p>Поддержка большинства других свойств эллиптических функций и интегралов, помимо
выражения их производных, еще не реализована.
</p>
<p>Несколько примеров для эллиптических функций:
</p><div class="example">
<pre class="example">(%i1) jacobi_sn (u, m);
(%o1) jacobi_sn(u, m)
(%i2) jacobi_sn (u, 1);
(%o2) tanh(u)
(%i3) jacobi_sn (u, 0);
(%o3) sin(u)
(%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
(%o4) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
(%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
(%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
(u - ------------------------------------)/(2 m)
1 - m
2
jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
+ --------------------------------
2 (1 - m)
</pre></div>
<p>Несколько примеров для эллиптических интегралов:
</p><div class="example">
<pre class="example">(%i1) elliptic_f (phi, m);
(%o1) elliptic_f(phi, m)
(%i2) elliptic_f (phi, 0);
(%o2) phi
(%i3) elliptic_f (phi, 1);
phi %pi
(%o3) log(tan(--- + ---))
2 4
(%i4) elliptic_e (phi, 1);
(%o4) sin(phi)
(%i5) elliptic_e (phi, 0);
(%o5) phi
(%i6) elliptic_kc (1/2);
1
(%o6) elliptic_kc(-)
2
(%i7) makegamma (%);
2 1
gamma (-)
4
(%o7) -----------
4 sqrt(%pi)
(%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
1
(%o8) ---------------------
2
sqrt(1 - m sin (phi))
(%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
(%o9) (-----------------------------------------------
m
cos(phi) sin(phi)
- ---------------------)/(2 (1 - m))
2
sqrt(1 - m sin (phi))
</pre></div>
<p>Поддержку эллиптических функций и интегралов реализовал Реймонд Той, и его код
доступен под лицензии GPL, как и весь код Maxima.
</p>
<a name="Item_003a-Elliptic_002fnode_002f_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_044d_043b_043b_0438_043f_0442_0438_0447_0435_0441_043a_0438_0445-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439"></a><hr>
<div class="header">
<p>
Next: <a href="maxima_67.html#g_t_0424_0443_043d_043a_0446_0438_0438-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0435-_0434_043b_044f-_044d_043b_043b_0438_043f_0442_0438_0447_0435_0441_043a_0438_0445-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439" accesskey="n" rel="next">Функции и переменные для эллиптических функций</a>, Up: <a href="maxima_toc.html#Top" accesskey="u" rel="up">Top</a> [<a href="maxima_toc.html#SEC_Contents" title="Table of contents" rel="contents">Contents</a>][<a href="maxima_264.html#g_t_0423_043a_0430_0437_0430_0442_0435_043b_044c-_0444_0443_043d_043a_0446_0438_0439-_0438-_043f_0435_0440_0435_043c_0435_043d_043d_044b_0445" title="Index" rel="index">Index</a>]</p>
</div>
</body>
</html>
|
