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381
382
383
384
|
;;; -*- Mode: Lisp -*- ;;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; ;;
;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;
;; ;;; ;;; ;;
;; ;;; ~*~ SIMPLEX ~*~ ;;; ;;
;; ;;; ;;; ;;
;; ;;; A simple implementation of the simplex ;;; ;;
;; ;;; algorithm for Linear Programming for Maxima. ;;; ;;
;; ;;; ;;; ;;
;; ;;; ;;; ;;
;; ;;; Copyright: Andrej Vodopivec <andrejv@users.sourceforge.net> ;;; ;;
;; ;;; Version: 1.02 ;;; ;;
;; ;;; License: GPL ;;; ;;
;; ;;; ;;; ;;
;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;
;; ;;
;; ;;
;; USAGE: ;;
;; ======= ;;
;; ;;
;; To get optimal speed this file should be compiled. ;;
;; ;;
;; linear_program(A, b, c): ;;
;; ;;
;; - problem: - find x which minimizes c'.x with constraints A.x=b and x>=0 ;;
;; ;;
;; - input: - matrix A of size mxn, ;;
;; - vector (list) b of length m, ;;
;; - vector (list) c of length n ;;
;; ;;
;; - output: - [x, val] if the problem is solvable; ;;
;; x is the optimal vector, val=c'.x ;;
;; - "Problem not bounded" if the problem is not bounded ;;
;; - "Problem not feasible" if the problem is not feasible ;;
;; ;;
;; - algorithm: a simple implementation of the two-phase simplex algorithm ;;
;; ;;
;; ;;
;; DEMO: ;;
;; ====== ;;
;; ;;
;; We would like to minimize x-2*y subject to: ;;
;; ;;
;; x + y >= 1 ;;
;; 2*x - 3*y >= 1 ;;
;; 4*x - 5*y = 6 ;;
;; x, y >= 0 ;;
;; ;;
;; We have to introduce two slack variables for inequalities to get a ;;
;; linear program in the standard form: ;;
;; ;;
;; x + y - s1 = 1 ;;
;; 2*x - 3*y - s2 = 1 ;;
;; 4*x - 5*y = 6 ;;
;; x, y, s1, s2 >= 0 ;;
;; ;;
;; Construct parameters: ;;
;; ;;
;; A : matrix([1,1,-1,0],[2,-3,0,-1], [4,-5,0,0]); ;;
;; b : [1,1,6]; ;;
;; c : [1,-2,0,0]; ;;
;; ;;
;; Solution: ;;
;; ;;
;; linear_program(A, b, c); ;;
;; => [[13/2, 4, 19/2, 0], -3/2] ;;
;; ;;
;; The solution is: x=13/2 and y=4 (s1=19/2, s2=0), and the value of the ;;
;; minimum is x-2*y=-3/2. ;;
;; ;;
;; ;;
;; VARIABLES: ;;
;; =========== ;;
;; ;;
;; - pivot_count_sx: the number of pivots in last computation ;;
;; - pivot_max_sx: the maximum number of pivots in computation ;;
;; - epsilon_lp: epsilon for numeric computation (default: 1e-8) ;;
;; - scale_lp: should maxima scale the problem: can be used in ;;
;; Klee-Minty problem to speed-up computation or in some ;;
;; cases to improve numerical stability (default: false); ;;
;; uses equilibratium scaling ;;
;; ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(in-package :maxima)
(macsyma-module simplex)
($put '$simplex 1.02 '$version)
(defmvar $pivot_count_sx 0 "Number of pivots in last problem." fixnum)
(defmvar $pivot_max_sx 15000 "Maximum number of pivots allowed." fixnum)
(defmvar $epsilon_lp 1e-8 "Epsilon for numerical computation." flonum)
(defmvar $scale_lp nil "Should we scale the input." boolean)
(defmvar $warn_rank_sx nil "Print warnings about rank." boolean)
;; type checkers
(defun lp-rat-mlist-p (x) (and (listp x) (every #'$ratnump (cdr x))))
(defun lp-rat-matrix-p (x) (and ($matrixp x) (every #'lp-rat-mlist-p (cdr x))))
;; comparison
(defun lp-mlsp (a b)
(let ((x (mlsp a b)))
(cond ((or (eq x t) (eq x nil)) x)
(t
(let ((s ($asksign (cadr x))))
(cond ((eq s '$pos) t)
(t nil)))))))
(defun lp-mgqp (a b) (or (meqp a b) (lp-mlsp b a)))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; ;;
;; Two-phase standard simplex method for solving linear program in standard ;;
;; form. ;;
;; ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(defun $linear_program (A b c)
(if (not ($matrixp A))
(merror "linear_program: first argument not matrix."))
(if (not ($listp b))
(merror "linear_program: second argument not list."))
(if (not ($listp c))
(merror "linear_program: third argument not list."))
(if (not (meqp ($length b) ($length A)))
(merror "linear_program: second argument not of correct length."))
(if (not (meqp ($length c) ($length ($first A))))
(merror "linear_program: third argument not of correct length."))
(let* ((m ($length A))
(n ($length ($first A)))
(Tab (make-array `(,(+ 2 m) ,(1+ n)))) ; Tableau
(basis ()) ; which columns are in current basis
(sc-fac ()) ; scaling factors
($epsilon_lp (if (and (lp-rat-mlist-p b) (lp-rat-mlist-p c) (lp-rat-matrix-p A))
0 $epsilon_lp))
($ratprint nil))
(cond ((lp-mlsp 0 $epsilon_lp)
(mwarning (format nil "linear_program(A,b,c): non-rat inputs found, epsilon_lp=~e." $epsilon_lp))
(mwarning "Solution may be incorrect.")))
(setq $pivot_count_sx 0)
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Construct the tableau for phase 1: ;;
;; [ A b ] ;;
;; Tab = [ c' 0 ] ;;
;; [ sm(A) sm(b) ] ;;
;; ;;
;; If b[i]<0 multiply b[i] and A[i] by -1 (required for phase 1). ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(dotimes (i m)
(if (lp-mlsp (maref b (1+ i)) 0)
(progn
(dotimes (j n)
(setf (aref Tab i j) (neg (maref A (1+ i) (1+ j)))))
(setf (aref Tab i n) (neg (maref b (1+ i)))))
(progn
(dotimes (j n)
(setf (aref Tab i j) (maref A (1+ i) (1+ j))))
(setf (aref Tab i n) (maref b (1+ i))))))
(dotimes (i n)
(setf (aref Tab m i) (neg (maref c (1+ i)))))
(dotimes (i n)
(setf (aref Tab (1+ m) i) 0)
(dotimes (j m)
(setf (aref Tab (1+ m) i) (add (aref Tab (1+ m) i)
(aref Tab j i)))))
(setf (aref Tab (1+ m) n) 0)
(dotimes (i m)
(setf (aref Tab (1+ m) n) (add (aref Tab (1+ m) n)
(aref Tab i n))))
(setf (aref Tab m n) 0)
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; At the beginning the artificial variables are in the basis. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(dotimes (i m)
(setq basis (append basis (list (add n i)))))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Scaling. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(dotimes (i n)
(setq sc-fac (append sc-fac (list 1))))
(if $scale_lp
(scale-sx Tab (+ 2 m) (1+ n) sc-fac))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Phase 1 ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(simplex-sx Tab basis m (+ 2 m) (1+ n))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(if (lp-mlsp $epsilon_lp (aref Tab (1+ m) n))
"Problem not feasible!"
(let ((is-bounded))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Check for artificial variables in basis. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(dotimes (i m)
(if (>= (nth i basis) n)
(if (and (not (run-out-of-basis-sx Tab m n basis i))
$warn_rank_sx)
($print "Matrix A is not of full rank:"
"Row" (1+ i) "is redundant!"))))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Phase 2 ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(setq is-bounded (simplex-sx Tab basis m (1+ m) (1+ n)))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(if is-bounded
(let ((opt-tmp ())
(opt ()))
(dotimes (i (+ m n))
(setq opt-tmp (append opt-tmp (list 0))))
(dotimes (i m)
(setf (nth (nth i basis) opt-tmp)
(div (aref Tab i n) ;; undo the
(nth (nth i basis) sc-fac)))) ;; scaling
(dotimes (i n)
(setq opt (append opt (list 0))))
(dotimes (i n)
(setf (nth i opt) (nth i opt-tmp)))
(setq opt (cons '(mlist simp) opt)) ;; build the
(setq opt `((mlist simp) ,opt ;; the solution
,(aref Tab m n))))
"Problem not bounded!")))))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; ;;
;; Simplex algorithm. ;;
;; ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(defun simplex-sx (Tab basis Am m n)
(let ((ip) (jp) (tmp) (is-bounded))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Repeat while we don't have a solution or know that the ;;
;; problem is unbounded. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(do ((have-solution nil))
((not (null have-solution)))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Choose jp so that jp-th column has the biggest reduced cost. ;;
;; If all reduced costs are negative, we have the solution. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(setq tmp (aref Tab (1- m) 0))
(setq jp 0)
(dotimes (j (- n 1))
(if (lp-mlsp tmp (aref Tab (1- m) j))
(progn
(setq tmp (aref Tab (1- m) j))
(setq jp j))))
(if (lp-mgqp $epsilon_lp tmp)
(progn
(setq is-bounded t)
(setq have-solution t))
(progn
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Choose ip so that Tab[ip,n]/Tab[ip,jp] is the smallest ;;
;; possible among those for which Tab[i,n] is positive. If all ;;
;; Tab[i,n] are negative, the problem is unbounded. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(setq tmp nil)
(setq ip 0)
(dotimes (i Am)
(if (lp-mlsp $epsilon_lp (aref Tab i jp))
(if (or (null tmp) (lp-mlsp (div (aref Tab i (1- n))
(aref Tab i jp))
tmp))
(progn
(setq tmp (div (aref Tab i (1- n))
(aref Tab i jp)))
(setq ip i)))))
(if (null tmp)
(progn
(setq is-bounded nil)
(setq have-solution t))
(progn
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Pivot the simplex tableau. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(setf (nth ip basis) jp)
(pivot-sx Tab ip jp m n))))))
is-bounded))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; ;;
;; Pivoting for the Simplex algorithm. ;;
;; ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(defun pivot-sx (Tab ip jp m n)
(let ((piv (aref Tab ip jp)))
(setq $pivot_count_sx (1+ $pivot_count_sx))
(if (meqp $pivot_count_sx $pivot_max_sx)
(progn
($print "Maximum number of pivots reached.")
($print "Try setting a bigger value for pivot_max_sx.")
($print "Try setting scale_lp to true.")
($print "")
($error "linear_program: maximum number of pivots reached.")))
(if (meqp piv 0)
($print "Singular!")
(progn
(dotimes (i n)
(setf (aref Tab ip i) (div (aref Tab ip i) piv)))
(dotimes (i m)
(if (not (eq i ip))
(let ((tm (aref Tab i jp)))
(if (not (meqp tm 0))
(dotimes (j n)
(setf (aref Tab i j)
(sub (aref Tab i j)
(mul tm (aref Tab ip j)))))))))))))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; ;;
;; Run artificial variable out of basis. ;;
;; ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(defun run-out-of-basis-sx (Tab m n basis i)
(let ((jp nil))
(do ((j 0 (1+ j)))
((or (= j n) (not (null jp))))
(if (not (meqp 0 (aref Tab i j))) ; if Tab[i,j]#0 then column j is not
(setq jp j))) ; in the basis
(if (null jp)
nil
(progn
(setf (nth i basis) jp)
(pivot-sx Tab i jp (+ 2 m) (+ 1 n))
1))))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; ;;
;; Scaling for the simplex algorithm. (Equilibratium scaling) ;;
;; ;;
;; After scaling, the maximum absolute value in each row/column is 1. ;;
;; ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(defun scale-sx (Tab m n sc-fac)
(let ((r 0))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Scale the rows of A and b. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(dotimes (i (- m 2))
(setq r 0)
(dotimes (j n)
(let* ((tij (aref Tab i j))
(ta (if (lp-mlsp tij 0) (neg tij) tij)))
(if (lp-mlsp r ta)
(setq r ta))))
(if (lp-mlsp $epsilon_lp r)
(dotimes (j n)
(setf (aref Tab i j) (div (aref Tab i j) r)))))
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;; Scale the columns of A and c. ;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
(dotimes (j (1- n))
(setq r 0)
(dotimes (i (- m 2))
(let* ((tij (aref Tab i j))
(ta (if (lp-mlsp tij 0) (neg tij) tij)))
(if (lp-mlsp r ta)
(setq r ta))))
(if (lp-mlsp $epsilon_lp r)
(progn
(dotimes (i m)
(setf (aref Tab i j) (div (aref Tab i j) r)))
(setf (nth j sc-fac) r))))))
|
