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<TeXmacs|1.0.6.11>
<style|article>
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<doc-data|<doc-title|Mthodes utilises dans le logiciel \S pysatellites
\T>|<doc-author-data|<author-name|Georges Khaznadar
>|<author-email|georgesk@ofset.org>>>
<section|Utilit du logiciel \S pysatellites \T>
Le logiciel pysatellites sert simuler le lancement de satellites autour
de diverses plantes. En France, ce logiciel est utilis dans
l'enseignement au niveau du lyce. L'lve est invit choisir une
plante, ou prciser les paramtres de rayon et de masse qu'il veut, puis
il contrle le point de lancment d'un satellite, sa vitesse radiale et sa
vitesse orthoradiale. Quand ce choix est fini, il lance la simulation et
voit quelle trajectoire le satellite peut alors suivre.
<section|Mthode utilise pour la simulation>
La mthode est une mthode de calcul de proche en proche : des
intervalles de temps rguliers, la vitesse et la position du satellite
connues sont utilises afin de prdire sa position et sa vitesse un
intervalle de temps plus tard. On parle d'intgration numrique, car seule
la loi locale qui donne la force d'attraction applique au satellite est
prise en considration.
Un autre mthode serait possible : dans le cas d'un problme un corps
plong dans un potentiel newtonien, les quations de la dynamique du
satellite admettent des solutions algbriques que l'on sait dterminer.
J'ai utilis un document synthtique publi sur Internet, l'adresse\
<code*|http://melusine.eu.org/syracuse/immae/mpsi/physique-chimie/mecanique/08.pdf>
Ce document rsume ce qu'on peut retenir comme proprit des coniques
(ellipses, parabole, hyperboles), et la solution connue du problme un
corps dans un potentiel newtonien. On peut l'utiliser pour calculer sans
avoir terminer la simulation divers paramtres. L'un d'entre eux est trs
important, il s'agit de la priode <math|T> du mouvement quand l'nergie
mcanique <math|E<rsub|m>> du satellite est ngative, et que celui-ci
dcrit une ellipse dans le puits de potentiel de l'astre qui l'attire.
<section|La mthode d'intgration de Runge-Kutta>
<section|Dtermination de la priode d'un mouvement elliptique>
On connat la distance <math|r> du satellite l'astre de masse <math|M>.
On en dduit facilement son nergie potentielle massique,
<math|E<rsub|p>/m=-<frac|GM|r>>, o <math|G=6,67.10<rsup|-11>u.s.i.> est la
constante universelle de gravitation. Connaissant sa vitesse radiale
<math|<wide|r<with|mode|text|<math|>>|\<dot\>>> et sa vitesse orthoradiale
<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>, on dduit son nergie cintique massique,
<math|E<rsub|c>/m=<with|mode|text|<math|<wide|r|\<dot\>>>^2>+(<with|mode|text|<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>>)<rsup|2>>.
Il suffit d'aditionner les nergies pour parvenir l'nergie mcanique
massique, <math|E<rsub|m>/m=-<frac|GM|r>+<with|mode|text|<math|<wide|r|\<dot\>>>^2>+(<with|mode|text|<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>>)<rsup|2>>.
Plusieurs cas se prsentent alors :
<\enumerate-numeric>
<item><math|E<rsub|m>/m \<less\> 0> : le satellite reste dans le puits de
potentiel de l'astre, sa trajectoire est une ellipse, qu'il parcourt avec
une priode <math|T>.
<item><with|mode|math|E<rsub|m>/m = 0> : le satellite n'est pas li, il
possde tout juste la vitesse de libration, sa trajectoire est une
parabole, sa vitesse s'annule l'infini.
<item><with|mode|math|E<rsub|m>/m \<gtr\> 0> : le satellite n'est pas
li, sa vitesse l'infini est non nulle, sa trajectoire est
hyperbolique.
</enumerate-numeric>
Dans le premier cas seulement, une priode existe pour le mouvement du
satellite, et on la calcule ainsi : le grand axe <math|a> de l'ellipse se
dduit de la constante d'attraction (<math|k=GMm)> par la formule <math|a =
-k/2Em=<frac|-GM|2(-<frac|GM|r>+<with|mode|text|<math|<wide|r|\<dot\>>>^2>+(<with|mode|text|<math|r<wide|\<theta\>|\<dot\>>>>)<rsup|2>)>><math|>.
Connaissant le grand axe <math|a> de l'ellipse, on peut alors dterminer la
priode <math|T> du mouvement grce la troisime loi de Kepler,
<math|T<rsup|2>=4\<pi\><rsup|2>/MG*a<rsup|3>>, soit
<math|T=2\<pi\><sqrt|<frac|1|MG*a<rsup|3>>|>>.
Quand la priode <math|T> du mouvement est connue, on peut prendre comme
ordre de grandeur de l'intervalle de temps pour l'intgration, un centime
de cette priode. a donne des rsultats satisfaisants pour les mouvement
d'excentricit faible : c'est dire que la trajectoire apparat facilement
comme ferme l'cran, au pixel prs. Dans le cas d'ellipses fortement
excentriques, il faut diminuer le l'intervalle de temps utilis pour
l'intgration.
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<\references>
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<associate|auto-1|<tuple|1|1>>
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<associate|auto-4|<tuple|4|1>>
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</references>
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<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>Utilit
du logiciel \S pysatellites \T> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
<no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>
<vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|2<space|2spc>Mthode
utilise pour la simulation> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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mthode d'intgration de Runge-Kutta>
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de la priode d'un mouvement elliptique>
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