File: 1701.00083.txt

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arXiv:1701.00083v1 [hep-ph] 31 Dec 2016

Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD
y Modelos de Quarks Quirales
Eugenio Megias Fernandez Departamento de Fisica Atomica, Molecular y Nuclear
Universidad de Granada  Abril 2006 

D. ENRIQUE RUIZ ARRIOLA, Catedratico del Departamento de Fisica Atomica, Molecular y Nuclear y D. LORENZO LUIS SALCEDO MORENO, Profesor titular del Departamento de Fisica Atomica, Molecular y Nuclear,
CERTIFICAN: Que la presente memoria de investigacion, Efectos de Temperatura Finita y Curvatura en QCD y Modelos de Quarks Quirales, ha sido realizada bajo su direccion en el Departamento de Fisica Atomica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada, por EUGENIO MEGIAS FERNA NDEZ, y constituye su Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias Fisicas por la Universidad de Granada.
Y para que asi conste, en cumplimiento de la legislacion vigente, presenta ante la Universidad de Granada la referida Tesis.
En Granada, a 27 de abril de 2006.

Fdo.: Enrique Ruiz Arriola

Fdo.: Lorenzo Luis Salcedo Moreno

Fdo.: Eugenio Megias Fernandez

5

7
AGRADECIMIENTOS
Deseo expresar mi mas sincero agradecimiento, en primer lugar a mis dos directores Enrique y Lorenzo Luis, pues se han involucrado por igual en la propuesta y el desarrollo de las diferentes lineas de investigacion que constituyen esta tesis y han sabido aportarme la mejor ciencia que sabe hacer cada uno, que es mucha.
Al Departamento de Fisica Atomica, Molecular y Nuclear, por haberme dado la posibilidad de trabajar en el, lo que me ha permitido comprobar la enorme calidad cientifica y humana de sus miembros.
A Wojciech Broniowski, por su admirable humanidad. Guardo un grato recuerdo de mi estancia en Cracovia, donde no solo aprendi fisica.
Estoy en deuda con Miguel Angel, mi profesor de fisica en secundaria, por haberme inculcado esa ilusion por la fisica e iniciarme en el camino.
Mis padres Jose Antonio y Aurora han sufrido mas directamente mis cambios de humor. Les renocozco su sacrificio, y los admiro por saber dominar los momentos dificiles y disfrutar de los momentos agradables.
Finalmente doy las gracias a quien lea total o parcialmente esta tesis, y espero que pueda sacar de ella resultados importantes.
Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la D.G.I. y fondos FEDER con proyecto FIS-2005-00810, la Junta de Andalucia con proyecto FM-225, EURIDICE con proyecto HPRN-CT-2002-00311 y el Ministerio de Educacion y Ciencia mediante una beca de Postgrado para la Formacion de Profesorado Universitario. Ha sido realizado al amparo del Departamento de Fisica Atomica, Molecular y Nuclear de la Universidad de Granada.

8

Indice general

1. Introduccion

13

1.1. Cromodinamica Cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Simetria del centro y transicion de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Teorias quirales efectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Heat kernel y accion efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Desarrollo del Heat Kernel

21

2.1. Potencial macrocanonico de un gas de particulas libres relativistas . . . . . 21

2.2. Metodo de los Simbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita . . 31

2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Accion efectiva de QCD a temperatura alta

41

3.1. Fundamentos de la Teoria de Yang-Mills a Temperatura Finita . . . . . . . 41

3.2. Sector fermionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1. Accion efectiva con representacion de Schwinger . . . . . . . . . . . 44

3.2.2. Traza en espacio de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3. Sector gluonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1. Metodo del Campo de Fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2. Accion efectiva a un loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4. Renormalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5. Divergencias infrarrojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6. Teoria efectiva dimensionalmente reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.6.1. Eliminacion de los modos estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6.2. Desarrollo en A0 pequen~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7. Resultados en SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

9

10

INDICE GENERAL

3.7.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7.3. Comparacion con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.8. Resultados en SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.1. Traza en espacio de color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.8.2. Invariancia gauge del resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.8.3. Comparacion con otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.9. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4. Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

71

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2. Loop de Polyakov perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.1. Resultados perturbativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.2. Reduccion dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.3. Resultados perturbativos a ordenes superiores . . . . . . . . . . . . 76

4.2.4. Ansatz gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3. Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . 79

4.4. Comparacion con datos del reticulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4.1. Resultados en gluodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.4.2. Resultados unquenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4.3. Otros resultados quenched . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.4.4. Relacion con otras determinaciones del condensado . . . . . . . . . 88

4.5. Energia libre de un quark pesado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energia libre . . . . . . . . . 89

4.5.2. Comparacion con datos del reticulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5.3. Analogia entre el loop de Polyakov y el potencial quark-antiquark a

temperatura cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5. Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

95

5.1. Transformaciones gauge grandes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.2. Simetria del centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.3. Rotura de la simetria del centro por fermiones . . . . . . . . . . . . 97

5.2. Modelos de Quarks Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.1. Modelo Quark de NambuJona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.2.2. Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.3. Problematica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita . . . . 103

5.3.1. Tratamiento estandar a temperatura finita . . . . . . . . . . . . . . 103

5.3.2. Generacion de estados multi-quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3.3. Conflicto con Teoria Quiral de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . 105

5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales . . 105

5.4.1. Acoplamiento minimo del loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 106

5.4.2. Promedio sobre el grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

INDICE GENERAL

11

5.4.3. Solucion de la problematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5.1. Estructura del lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.5.2. LEC para el modelo de NambuJona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . 111 5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.6. Correcciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.1. Mas alla de un loop de quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.2. Correcciones gluonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov . . . . . . . . . . . . . . 119 5.6.4. Resultados mas alla de la aproximacion quenched . . . . . . . . . . 120 5.7. Implicaciones sobre la transicion de fase de QCD . . . . . . . . . . . . . . 122 5.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6. Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias131 6.1. Tensor Energia-Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.1. Formalismo de tetradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.2.2. Operador de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de Gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.1. Modelo de NambuJona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.4. Calculo de la accion efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.5. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.5.1. Eliminacion de los acoplamientos vector y axial . . . . . . . . . . . 142 6.5.2. Eliminacion de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.5.3. Ecuaciones de movimiento clasicas para pseudoescalares . . . . . . 144 6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.6.2. Modelo de NambuJona-Lasinio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.6.3. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7. Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

151

7.1. Accion Efectiva del Modelo Quark Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

7.2. Anomalias Quirales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2.1. Calculo de la anomalia quiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2.2. Termino de Wess-Zumino-Witten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.3. Desarrollo quiral de la accion efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial . . . . . . . . . . . . . 158

7.5. Limite de Nc grande y Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

12

INDICE GENERAL

8. Conclusiones

167

8.1. Resumen y Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.2. Anexo de articulos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A. Transformaciones Gauge

171

A.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A.2. Gauges estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

A.3. Particularizacion al grupo gauge SU(Nc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A.3.1. Simetria del centro del grupo gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

A.3.2. Rotura explicita de la simetria del centro . . . . . . . . . . . . . . . 174

B. Integrales en tiempo propio con regularizacion dimensional

177

C. Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

181

D. Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

Polyakov

185

D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

D.2. Trazas de sabor e identidades utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

D.3. Integrales en tiempo propio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

D.4. Ecuaciones clasicas de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

D.5. Lagrangiano Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Capitulo 1
Introduccion
La extension de la Teoria de Campos de temperatura cero a temperaturas y densidades finitas es un paso natural que se produjo hace medio siglo [1, 2, 3, 4]. La Teoria de Campos a Temperatura y Densidad Finitas (TCTDF) [5, 6, 7], se desarrollo a partir de la Teoria Relativista de Muchos Cuerpos, y constituye una amalgama de Teoria de Campos y Mecanica Estadistica. Es aplicable en aquellos problemas de la fisica teorica de particulas que tienen caracteristicas de muchos cuerpos. A nivel teorico se necesitan formulaciones apropiadas del problema termico, para el cual se disponen de varios formalismos. Dos ejemplos son el formalismo de Tiempo Imaginario y el de Tiempo Real [8]. A pesar de la larga experiencia acumulada en este campo, muchos de los problemas planteados inicialmente aun siguen abiertos.
Muchos son los logros de la TCTDF y se esperan muchos mas. Por una parte permite estudiar las teorias ya existentes mas alla del contexto en el que inicialmente fueron creadas. Esto significa explorar las propiedades de la materia en condiciones extremas, con altas temperaturas y densidades. Un ejemplo de esto es la teoria de QCD [9], que se creo como un intento de desarrollar una teoria fundamental de las interacciones fuertes. La TCTDF aplicada a QCD [10] predice que cuando la temperatura y las densidades aumentan, existe una transicion a una fase en la que los quarks y gluones estan deconfinados (fase de desconfinamiento del color). TCTDF predice, por tanto, la existencia de un plasma de quarks y gluones que, de hecho, deberia existir en los primeros instantes del universo, de acuerdo con los modelos cosmologicos actuales. Esto tiene importantes consecuencias en el campo de la astrofisica, ya que la transicion de fase podria haber jugado un papel muy importante en la formacion de materia oscura. Otro campo donde la TCTDF esta dando frutos importantes es en el contexto de las colisiones de iones pesados a muy alta energia. El hecho de que la transicion de fase de QCD ocurra a temperaturas no excesivamente altas Tc  200 MeV hace que estas condiciones se puedan estudiar en el laboratorio. Existen estudios importantes de esta nueva fase de la materia en laboratorios actuales [BNL Relativistic Heavy Ion Collider (RHIC)] [11] y es previsible que se continuen posteriormente en futuras instalaciones: Large Hadron Collider (LHC) en el CERN, y Schwerionen-Synchrotron (SIS 200) en el GSI. Finalmente, un tercer lugar donde pueden surgir tales condiciones extremas es en el interior de estrellas de neutrones, donde la densidad es superior a la densidad nuclear.
13

14

Capitulo 1: Introduccion

Existen distintas tecnicas para estudiar el comportamiento de QCD en funcion de la temperatura y la densidad. Estas tecnicas se pueden agrupar en tres categorias diferentes: los metodos perturbativos, los modelos efectivos de QCD en el reticulo y los metodos semiclasicos (instantones) [10].

1.1. Cromodinamica Cuantica

La Cromodinamica Cuantica (QCD, Quantum Chromodynamics) fue desarrollada al comienzo de los an~os setenta y responde al intento de mucha gente de crear una teoria fundamental que de cuenta de las interacciones fuertes [12, 13, 14]. Se trata de una teoria cuantica de campos renormalizable. Sus campos fundamentales son espinores de Dirac que describen particulas de espin 1/2, llamados quarks, y campos gauge correspondientes a particulas de espin 1, llamados gluones. Al contrario que QED (Quantum Electrodynamics) que es una teoria abeliana, QCD es una teoria gauge no abeliana basada en el grupo gauge de color SU(Nc), de modo que constituye una generalizacion de la teoria de QED para el electromagnetismo. Tanto los quarks como los gluones, que son las particulas intermediarias de la interaccion fuerte, llevan asociada una carga, llamada color. Como resultado los gluones pueden interaccionar consigo mismos y con los quarks. QCD viene descrita por el siguiente lagrangiano

L

=

-

1 2g2

tr(F2 )

+

Nf

qi(D + mi)qi ,

i=1

D =  + A , F = [D, D] ,

(1.1)

donde A = AaTa son los campos de los gluones, F = FaTa es el tensor Field Strength de SU(Nc), Ta son los generadores hermiticos de SU(Nc) y qi son campos de quarks de varios sabores. La teoria viene parametrizada por una unica constante de acoplamiento g y por los parametros mi correspondientes a la masa desnuda de los quarks. La evidencia experimental indica que hay tres grados de libertad de color (Nc = 3), llamados tradicionalmente rojo, verde y azul, y seis sabores de quarks (Nf = 6). Los quarks de tipo up, down y strange son relativamente ligeros, mientras que charm, bottom y top son pesados.
Gran parte del exito de la teoria reside en su habilidad para reproducir el comportamiento casi sin interaccion de los quarks a muy cortas distancias [15]. Esta propiedad de la teoria, que se conoce como libertad asintotica, explica el escalamiento aproximado que se observa en las colisiones profundamente inelasticas de leptones con hadrones [16, 17]. QCD tambien parece consistente con mucha de la fenomenologia existente sobre las interacciones fuertes, como la simetria quiral aproximada, la nocion de confinamiento de color o ciertos modelos de hadrones como el bag o el string.
La teoria de QCD presenta varias simetrias. En primer lugar es invariante bajo el grupo de simetria local SU(Nc), lo cual implica por ejemplo que la masa de los quarks es independiente de su color. Cuando la masa de los quarks es igual a cero, el lagrangiano de QCD (1.1) es invariante bajo el grupo de simetria global SU(Nf )LSU(Nf )R, el cual

1.2 Simetria del centro y transicion de fase de QCD

15

se suele designar como grupo de simetria quiral [18]. Ademas existe una simetria global U(1)B relacionada con la conservacion del numero barionico y una simetria global axial U(1)A.
Los generadores del algebra quiral son conservados y seria de esperar que las particulas formaran multipletes degenerados correspondientes a las representaciones irreducibles de este grupo. Pero no existe evidencia de que exista esta estructura de multipletes tan amplia, lo cual lleva a la idea de que la simetria SU(Nf )L  SU(Nf )R esta espontaneamente rota. A temperatura cero, o en general a baja temperatura, el estado fundamental de la teoria rompe espontaneamente esta simetria al grupo SU(Nf )V

SU(Nf )L  SU(Nf )R -R-ES SU(Nf )V .

(1.2)

De acuerdo con el teorema de Goldstone esta rotura de la simetria implica la existencia de Nf2 - 1 bosones de Goldstone pseudo-escalares sin masa. Para Nf = 2 estos son los tres piones +, - y 0, y para Nf = 3 tenemos, ademas de los anteriores, los cuatro kaones K+, K-, K0 y K 0, y el meson . La rotura de esta simetria conduce ademas a la aparicion de condensados de quarks de la forma qq = 0. Podemos pensar en qq como en un parametro de orden que caracteriza la rotura de la simetria quiral. Cuando la temperatura se incrementa por encima de un cierto valor Tc, la simetria se recupera y el condensado de quarks se hace cero.

1.2. Simetria del centro y transicion de fase de QCD

En gluodinamica pura, esto es en ausencia de fermiones, la teoria presenta una simetria

global extra asociada al centro Z(Nc) del grupo gauge de color SU(Nc). En el formalismo

de tiempo imaginario, la simetria Z(Nc) es generada por la accion de transformaciones

gauge locales que son periodicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario del

centro

U (1/T, x) = z U (0, x) , z = ei2n/Nc .

(1.3)

La transicion a la fase de desconfinamiento puede verse como la rotura espontanea de la
simetria del centro a temperaturas suficientemente altas. Un parametro de orden natural para la simetria Z(Nc) es el valor esperado del loop de Polyakov,1 que se define como

L(T ) := P(x, T ) =

1 Nc

trc

T

e-

1/T 0

dx0 A0 (x,x0 )

,

(1.4)

donde indica valor esperado en el vacio, trc es la traza en espacio de color (en representacion fundamental), y T indica ordenacion a lo largo del camino de integracion. A0 es la componente temporal del campo gluonico (en tiempo euclideo). Bajo una transformacion

1En esta memoria se hara uso en ocasiones de una terminologia anglosajosa para algunas palabras, y se evitara su traduccion con el fin de que el lector pueda identificar estos conceptos en la bibliografia. 'Loop de Polyakov' puede traducirse como 'bucle de Polyakov'.

16

Capitulo 1: Introduccion

gauge con simetria del centro, el loop de Polyakov transforma P  zP, de modo que en la fase en que la teoria presenta la simetria Z(Nc) (fase de confinamiento del color), el loop de Polyakov necesariamente vale cero. En la fase de desconfinamiento esta simetria estara espontaneamente rota, y eso vendra caracterizado por un valor no nulo para el loop de Polyakov. Calculos recientes muestran que en una teoria gluonica pura con Nc = 3 esta transicion ocurre a una temperatura critica Tc  270 MeV [19], y se trata de una transicion de primer orden.
Fisicamente el promedio termico del loop de Polyakov en la representacion fundamental determina la energia libre relativa al vacio de un unico quark,

e-Fq(x)/T = P(x, T ) ,

(1.5)

y la funcion de correlacion de dos loops de Polyakov conduce a la energia libre de un par

quark-antiquark,

e-Fqq(x-y)/T = P(x, T )P(y, T ) .

(1.6)

La renormalizacion del loop de Polyakov es un problema que hoy en dia esta abierto [20]. Recientemente se ha desarrollado un metodo para renormalizar el loop de Polyakov en el reticulo [21, 22], y consiste basicamente en el calculo de la energia libre a partir de la funcion de correlacion de dos loops de Polyakov, ec. (1.6). Los datos que se obtienen muestran un comportamiento que difiere claramente del predicho por teoria de perturbaciones [23] en la region cercana a la transicion de fase, de modo que los efectos no perturbativos parecen ser dominantes en esta zona de temperaturas.
Un punto importante es que efectos produce la inclusion de fermiones en una teoria gauge pura. En el caso de QCD, cuando se an~aden quarks en la representacion fundamental, la simetria del centro Z(Nc) se rompe explicitamente, y el loop de Polyakov no sirve, en principio, como parametro para caracterizar la transicion de desconfinamiento. Una de las consecuencias es la modificacion de las condiciones en que se produce la transicion de fase. En concreto, los quarks tienden a suavizar la transicion, de tal modo que en la teoria SU(3) se convierte en una transicion de fase de segundo orden [22].
En cuanto a la simetria quiral, esta se encuentra espontaneamente rota a baja temperatura, pero por encima de un cierto valor se recupera. El parametro de orden local en este caso es el condensado de quarks qq , que es diferente de cero a baja temperatura, donde la simetria quiral esta rota, y cero por encima de la transicion de fase quiral. Por tanto, desde un punto de vista teorico la transicion de fase de QCD consiste en realidad en dos transiciones de fase distintas, que podemos llamar transicion de desconfinamiento de color y transicion de restablecimiento de la simetria quiral. Las simulaciones de QCD en el reticulo sugieren que, cuando se consideran fermiones sin masa, las dos transiciones tienen lugar a la misma temperatura, al menos en el caso de potencial quimico cero [24]. En este caso la temperatura de restablecimiento de la simetria quiral es Tc  155 -205 MeV, donde el valor preciso depende del numero de sabores. Cuando se consideran masas fisicas para los quarks la situacion no esta completamente clara. Para valores moderados de la masa, la transicion quiral no tiene un parametro de orden bien definido, y no se produce una transicion de fase pura sino unicamente un cambio rapido (crossover).

1.3 Teorias quirales efectivas

17

Obviamente, es de esperar que todos estos fenomenos de QCD a temperatura finita sean consistentes con invariancia gauge. La invariancia Lorentz se rompe explicitamente en calculos a temperatura y densidad finitas, debido a que existe un sistema de referencia privilegiado, que es el ban~o termico, y que se supone en reposo; no obstante, la invariancia gauge permanece como una simetria exacta. En calculos concretos en teoria de perturbaciones, la conservacion de la invariancia gauge a temperatura cero se consigue con un numero finito de terminos, sin embargo a temperatura finita es necesario considerar un numero infinito de terminos, lo cual obligaria en un principio a hacer un tratamiento no perturbativo.

1.3. Teorias quirales efectivas
Actualmente los grados de libertad hadronicos se vienen tratando con teorias quirales efectivas en las cuales un ingrediente basico son los bosones de Goldstone generados en la rotura espontanea de la simetria quiral de QCD [25, 26]. La aproximacion por excelencia es la Teoria Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27]. Existen otras aproximaciones que se basan en la construccion de modelos de quarks quirales como el modelo sigma [28] o el modelo de NambuJona-Lasinio (NJL) [29, 30, 31].
La TQP se fundamenta en la construccion de un lagrangiano efectivo invariante quiral como desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos y de la masa de los quarks. Este lagrangiano debe satisfacer ciertos requisitos de simetria como invariancia gauge, invariancia Lorentz (a temperatura cero), paridad y conjugacion de carga, y se escribe en terminos de constantes de baja energia que se corresponden con funciones de Green de QCD. Los valores de estas constantes no pueden ser determinados a partir de argumentos de simetria exclusivamente.
Los modelos de quarks quirales aspiran, como TQP, a constituir una aproximacion de la dinamica de QCD no perturbativa a baja energia. Estos modelos hacen uso explicito de grados de libertad de quarks. El modelo de NambuJona-Lasinio ha sido muy utilizado en el pasado y aun se sigue utilizando. Las interacciones efectivas de cuatro fermiones del modelo NJL representan cierta aproximacion a QCD. Sin embargo, desde un punto de vista teorico aun no esta claro de que modo estas interacciones de cuatro quarks surgen de QCD. En el caso de dos sabores uno de los mecanismos podria ser las llamadas interacciones de 't Hooft, que consisten en la interaccion de quarks a traves de los modos cero de instantones [32].

1.4. Heat kernel y accion efectiva
La accion efectiva, una extension a teoria cuantica de campos del potencial termodinamico de mecanica estadistica, juega un papel teorico muy importante pues esta relacionada con cantidades de interes fisico. A un loop tiene la forma c Tr log(K), donde K es un operador diferencial que controla las fluctuaciones cuanticas cuadraticas sobre un fon-

18

Capitulo 1: Introduccion

do clasico. Esta magnitud sufre algunas patologias matematicas, tales como divergencias
ultravioletas y multivaluacion. Por ello resulta util expresar la accion efectiva mediante la representacion de tiempo propio de Schwinger2

- c Tr log(K) = c

 0

d 

Tr e-K

=

c

 d 0

dDx tr x|e-K|x .

(1.8)

Al contrario que la accion efectiva, el heat kernel (o mas concretamente su elemento de matriz) x|e-K|x es univaluado y finito en la region ultravioleta para valores positivos del parametro de tiempo propio  .
El heat kernel fue introducido por Schwinger [33] en teoria cuantica de campos como una herramienta para regularizar divergencias ultravioletas de un modo que preserve invariancia gauge. El heat kernel y su desarrollo han sido aplicados tambien en el estudio de densidades espectrales e indices de operadores de Dirac (D) [34, 35] en terminos de operadores de KleinGordon (DD), para el calculo de la funcion  [36, 37] y anomalias de estos operadores [38], para definir la accion efectiva de teorias gauge quirales [39], para el efecto Casimir [40], etc. El heat kernel se puede calcular perturbativamente haciendo un desarrollo en potencias del tiempo propio. En la presente memoria va a constituir una herramienta fundamental para el calculo de las diferentes teorias efectivas que vamos a considerar.

1.5. Estructura de la tesis

Esta tesis esta estructurada del siguiente modo:

En el capitulo 2 se considera el heat kernel a temperatura cero, y se construye su generalizacion a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario. Con objeto de conseguir un desarrollo que preserve la invariancia gauge orden por orden, haremos uso de una generalizacion a temperatura finita del metodo de los simbolos [41], que permite calcular de un modo sencillo el desarrollo de una funcion en terminos de operadores locales y covariantes gauge. Esto va a conducir a la definicion del loop de Polyakov (sin traza), que es un objeto covariante gauge, y que aparece de manera natural en el desarrollo. El calculo se hace para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios.
En el capitulo 3 se considera la teoria gauge SU(Nc) de QCD, y se calcula su accion efectiva a nivel de un loop en el regimen de temperaturas grandes, haciendo uso del resultado del heat kernel del capitulo 2. Se calculan por separado el sector gluonico y el
2La traza funcional de un operador A^ se define

TrA^  dDx tr x|A^|x ,

(1.7)

donde D es la dimension del espacio-tiempo y tr indica traza en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc). A lo largo de la tesis haremos uso de esta definicion.

1.5 Estructura de la tesis

19

sector de quarks, y se hace un estudio de como los quarks rompen explicitamente la simetria del centro Z(Nc). Esta rotura se va a manifestar en que algunos de los minimos absolutos degenerados que presenta el potencial efectivo de la teoria como funcion del loop de Polyakov van a dejar de serlo, y se van a convertir en puntos estacionarios (minimos o maximos locales). A temperaturas suficientemente grandes esta justificado considerar una teoria efectiva dimensionalmente reducida, pues lo modos de Matsubara no estaticos de los campos gauge se hacen muy pesados y desacoplan de la teoria. Dentro del problema de reduccion dimensional obtendremos la estructura del lagrangiano dimensionalmente reducido.
En el capitulo 4 se hace un estudio fundamentado de los datos del loop de Polyakov renormalizado en la fase de desconfinamiento de color, obtenidos en el reticulo. Se estudian las contribuciones no perturbativas existentes, en el marco de un modelo fenomenologico que las describe como generadas por condensados gluonicos invariantes BRST.
En el capitulo 5 se aborda la problematica que presenta el tratamiento estandar de los modelos de quarks quirales a temperatura finita. Discutimos el acoplamiento del loop de Polyakov de color con los quarks, y calculamos el lagrangiano quiral efectivo a bajas energias, con una prediccion para las constantes de baja energia. Se estudian asimismo las implicaciones que tiene este modelo, sobre la transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color.
El capitulo 6 esta dedicado a estudiar los efectos de curvatura sobre varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, Georgi-Manohar y NambuJona-Lasinio. En concreto, se estudia el acoplamiento de la gravedad en estos modelos de un modo que evite la introduccion de nuevos campos aparte de los del caso plano y la metrica. Se estudia el tensor energia-impulso a bajas energias que se obtiene, con valores concretos para las constantes de baja energia estandar y una prediccion para las constantes asociadas a terminos no metricos con contribucion de curvatura.
En el capitulo 7 se hace un estudio de la estructura de la accion efectiva del modelo quark espectral acoplado con gravedad. Por una parte se considera la contribucion anomala, y por otra la parte no-anomala, con una prediccion para las constantes de baja energia. Se estudian los resultados del modelo en el esquema de dominancia vectorial, y se compara con el calculo en el limite de Nc grande en la aproximacion de una unica resonancia.
Por ultimo, en el capitulo 8 se presentan las conclusiones de la memoria.

20

Capitulo 1: Introduccion

Capitulo 2
Desarrollo del Heat Kernel
El desarrollo del heat kernel1 [33, 39] se usa frecuentemente en el contexto de los metodos de integrales de caminos para integrar grados de libertad externos de un modo no perturbativo. El resultado es un desarrollo en los campos que corresponden a aquellos grados de libertad que no han sido integrados. Esto quiere decir que el desarrollo del heat kernel proporciona una teoria de campos efectiva. Los terminos del desarrollo se clasifican de acuerdo con su dimension.
Nuestro objetivo en este capitulo consiste en disen~ar un metodo que permita mantener la invariancia gauge a temperatura finita de forma manifiesta orden por orden en el desarrollo dimensional. Para ello aplicaremos una tecnica conocida como metodo de los simbolos, que fue desarrollado a temperatura cero [42] y extendido posteriormente a temperatura finita [41]. Hay que notar que el tratamiento es inevitablemente complejo pero necesario.
Como motivacion, estudiaremos el potencial macrocanonico de un gas de particulas libres relativistas, donde el loop de Polyakov se reduce a la fugacidad e, con  = 1/T la temperatura inversa y  el potencial quimico. La idea consiste en respetar la propiedad de periodicidad de la exponencial bajo cambios periodicos del potencial quimico   +i2T . Aunque este caso es trivial, ayudara a comprender mejor la idea subyacente del metodo de los simbolos.
Este capitulo esta basado en las referencias [43, 44].
2.1. Potencial macrocanonico de un gas de particulas libres relativistas
Como ilustracion y motivacion del heat kernel, consideraremos el caso de un gas de particulas libres relativistas. Por claridad estudiaremos el caso bosonico. La accion euclidea
1Heat kernel puede traducirse como 'Nucleo de la ecuacion del calor', pues constituye la solucion a esta conocida ecuacion.
21

22

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

para esta teoria se escribe

SE []

=

1 2

dDx (x)(-D2 + m2)(x) ,

(2.1)

donde D = d + 1 es la dimension del espacio-tiempo. Consideramos las siguientes derivadas

covariantes:

D0 = 0 - i , Di = i .

(2.2)

 es un potencial quimico, y el loop de Polyakov correspondiente es  = ei. La funcion de particion de esta teoria se calcula facilmente

Z = D e-SE[] = (det(-D2 + m2))-1 .

(2.3)

Usaremos aqui el convenio Z = e-, donde  es la accion efectiva. El potencial macrocanonico esta relacionado con la accion efectiva a traves de  =  mc. Asi pues, la accion efectiva se puede calcular a partir del heat kernel del siguiente modo

 = log det(-D2 + m2) = Tr log(-D2 + m2) = -Tr

 d 0

x|e- (-D2 +m2)|x

,

(2.4)

donde hemos hecho uso de la representacion de Schwinger de tiempo propio. (-D2 + m2) es un operador de tipo Klein-Gordon, que sera definido en ec. (2.16). Si hacemos uso de
ec. (2.45), con la definicion de la funcion 0 dada en ec. (2.46), sustraemos la parte de temperatura cero (que corresponde a considerar 0  1), y se realizan las integrales, finalmente llegamos al resultado estandar [6]

=N

ddxddk (2)d

log

1 - e-(k-)

+ log

1 - e-(k+)

.

(2.5)

 N es el numero de especies y k = k2 + m2. El efecto de introducir otros campos externos puede ser tenido en cuenta mediante los sucesivos ordenes del desarrollo del heat kernel (ec. (2.45) corresponde al primer orden).

2.2. Metodo de los Simbolos

Consideremos un operador generico

f = f (M, D) ,

(2.6)

construido con M y D en un sentido algebraico, esto es, es una combinacion lineal (o serie) de productos de M y D con coeficientes que son c-numeros. D es la derivada covariante

D =  + A(x) ,

(2.7)

2.2 Metodo de los Simbolos

23

A(x) es el campo gauge y M(x) denota una o varias funciones matriciales de x que representan otros campos externos diferentes de los campos gauge. El metodo de los simbo-

los [41, 42] permite calcular de un modo sistematico los elementos diagonales del ope-

rador (2.6).

Consideraremos la siguiente normalizacion para los estados con posicion y momento

bien definidos

x|p = eipx ,

p|p = (2)D(p - p) ,

(2.8)

y la relacion de completitud

1=

dDp (2)D

|p

p| .

(2.9)

D es la dimension del espacio-tiempo. Denotaremos por |0 el estado de momento cero, el

cual satisface

x|0 = 1 , p|0 = 0|p = 0 ,

0|0 = dDx .

(2.10)

En nuestra notacion p es real, dDp indica integracion estandar en RD y (p - p) es la funcion delta correspondiente. p2 significa pp. Si consideramos el elemento diagonal
x|f (M, D)|x , se tiene

x|f (M, D)|x = =

dDp (2)D

x|f (M, D)|p

p|x

dDp (2)D

p|x

x|eipxe-ipxf (M, D)eipxe-ipx|p .

(2.11)

En la primera igualdad hemos introducido la relacion de completitud (2.9). Teniendo en cuenta que el operador posicion x es el generador de las traslaciones en momentos, tenemos las siguientes transformaciones de semejanza

e-ipxD eipx = D + ip , e-ipxM (x) eipx = M (x) ,

(2.12)

o en general para f , construida en sentido algebraico con M y D,

e-ipxf (M, D) eipx = f (M, D + ip) .

(2.13)

Basta considerar x|eipx = eipx x| y e-ipx|p = |0 en (2.11) para obtener la formula del metodo de los simbolos

x|f (M, D)|x =

dDp (2)D

x|f (M, D + ip)|0

.

(2.14)

Al elemento x|f (M, D + ip)|0 se le denomina simbolo de f , y es en realidad una matriz, pues M y D son operadores en espacio interno (color, sabor, Dirac, etc ). El problema con (2.14) reside en que la covariancia gauge no se manifiesta de manera explicita cuando
se usa una base en momentos. En efecto, |0 (o mas generalmente |p ) no es covariante

24

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

bajo transformaciones gauge locales. Por otra parte, el miembro derecho de la igualdad en ec. (2.14) es explicitamente invariante bajo transformaciones de tipo boost

D  D + a ,

(2.15)

donde a son c-numeros constantes. Esto se debe a que el cambio en a puede ser compensado mediante un cambio similar en la variable de integracion p. Esta propiedad es la condicion necesaria y suficiente para que exista covariancia gauge, pues implica que en un
desarrollo de f en los operadores, D debe de aparecer solo en el interior de conmutadores.

2.3. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero

En esta seccion aplicaremos el metodo de los simbolos para el calculo del heat kernel. Consideramos el operador de Klein-Gordon2

K = M (x) - D2 .

(2.16)

El heat kernel se define como el operador e-K. Nosotros estamos interesados en el calculo del elemento de matriz con puntos coincidentes x|e-K|x . A  se le denomina parametro de tiempo propio. Este objeto resulta en general dificil de calcular, y en la practica interesa estudiar su comportamiento cuando  es pequen~o. El heat kernel admite un desarrollo (asintotico) en serie de potencias de  alrededor de  = 0. Usando la notacion estandar

x|e- K|x

=

1 (4 )D/2



an(x) n ,

n=0

(2.17)

donde los coeficientes an(x) son conocidos como coeficientes de Seeley-DeWitt [45, 46, 47], y son operadores locales construidos con una combinacion lineal de productos de M(x) y
D. Puesto que el heat kernel es covariante gauge, la expresion (2.17) debe ser covariante gauge orden por orden. El heat kernel e-K no tiene dimensiones si asignamos dimensiones
de masa -2, +1, +2 a  , D y M, respectivamente. Por tanto, el desarrollo en potencias de  es equivalente a un contaje de las dimensiones de masa de los operadores locales.
La aplicacion de (2.14) conduce a

x|e-(M-D2 )|x = =

dDp (2)D

x|e- (M -(D+ip)2)|0

dDp (2)D

e-

p2

x|e- (M -D2 -2ipD)|0

.

(2.18)

Notar que p es un c-numero, de modo que conmuta con todos los operadores. En este punto consideramos el desarrollo de la exponencial. Hasta O(4) en dimensiones de masa
2En este capitulo haremos uso de una metrica euclidea.

2.3 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura cero

25

de los operadores locales se tiene3

x|e-(M-D2 )|x =

dDp (2)D

e-

p2

x|0

+ 1

+ 2

+ 3 + 4

+    |0

,

(2.19)

donde

0 = 1 ,

1 = 2i pD ,

2 = - (M - D2) - 2 2ppDD ,

3

=

-i 2p {D, M } - {D, D2}

-

i

4 3



3pp

p

DD

D

,

4

=

2 2

M 2 - {D2, M } + D4

-

3 3

pp

{M, DD} + DM D - {D2 , DD} - DD2 D

+

2 3



4pp ppDD

DD

.

(2.20)

Se ha usado la notacion estandar para el anticonmutador: {A, B} = AB + BA. En general, las integrales que aparecen son del tipo

dDp (2)D

e- p2

pi1







pi2n



1 (4 )D/2

1 (2 )n

i1 i2 i2n-1 i2n

(2.21)

=

1 (4 )D/2

1 (2 )n

(i1i2





 i2n-1i2n

+

(permutaciones))

,

donde i1i2i2n es el producto sin normalizar y completamente simetrico de 2n deltas de Kronecker (es decir, (2n - 1)!! terminos). La integral en ec. (2.21) con un numero impar de p's vale cero. Tras integrar en momentos, unicamente sobreviven los terminos con dimension de masa par

x|e- (M-D2 )|x

=

1 (4 )D/2

x 1 - M

+ 2

1 2

M

2

-

2 3

{D2 ,

M}

-

1 6

D

M

D

+

D4

+

1 6

(DD

)2

+

1 3

D D2 D

+O(6) 0 .

(2.22)

Notar que el termino 2 2ppDD ha cancelado el termino  D2 en ec. (2.20), despues de integrar en momentos. Notar que cada orden del desarrollo esta formado por un numero finito de terminos. La invariancia del heat kernel bajo la transformacion (2.15) implica que
3Como se vera mas adelante, el contaje en  es equivalente al contaje en dimensiones de masa unicamente despues de integrar en momentos.

26

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

en ec. (2.22) solamente podran aparecer terminos con derivadas D dentro de conmutadores. En efecto, el cambio D  D + a no tiene efecto cuando D esta dentro de un conmutador, pero da cuenta de las contribucion procedente de terminos con D fuera de conmutadores. Esto significa que los unicos terminos que sobreviven son los multiplicativos en el espacio de posiciones.4 Como ejemplo, se puede comprobar que

{D2, M } = [D, [D, M ]] + 2[D, M ]D + 2M D2 .

(2.24)

Los terminos 2[D, M]D y 2MD2 no contribuiran en el desarrollo. El resultado final que se obtiene hasta O(4) en dimensiones de masa es

x|e- (M-D2 )|x

=

1 (4 )D/2

1 - M + 2

1 2

M

2

-

1 6

M

+

1 12

F2

+ O( 3)

. (2.25)

Al pasar de ec. (2.22) a (2.25) hemos quitado x| |0 por la propiedad (2.23). En lo sucesivo utilizaremos la siguiente notacion. El tensor de fuerza se define como F = [D, D], y del
mismo modo el campo electrico es Ei = F0i. Ademas, la notacion D significa la operacion [D, ]. Por ultimo decir que usaremos una notacion con subindices del tipo X, lo que significa DDDX = [D, [D, [D, X]]]. Por ejemplo, M00 = D02M , F = DF .
Los coeficientes de Seeley-DeWitt estan calculados en la literatura. Las expresiones explicitas para los coeficientes an(x) del desarrollo (2.17) hasta orden n = 3 son [39, 48]

a0 = 1 ,

a1 = -M ,

a2

=

1 2

M

2

-

1 6

M

+

1 12

F2

,

a3

=

-

1 6

M

3

+

1 12

{M,

M}

+

1 12

M2

-

1 60

M

-

1 60

[F

,

M ]

-

1 30

{M,

F2 }

-

1 60

F

M

F

+

1 45

F2

-

1 30

F

FF

+

1 180

F2

+

1 60

{F

,

F

}

.

(2.26)

El desarrollo del heat kernel se usa frecuentemente para el calculo de la accion efectiva, y en este caso resulta necesario calcular la traza del heat kernel Tr e-(M-D2 ). A temperatura
cero los coeficientes con traza bn(x) se definen simplemente como

Tr e- (M -D2 )

=

1 (4 )D/2



n=0

dDx tr (bn(x))  n .

(2.27)

4M (x) y [D, D] son operadores multiplicativos, mientras que D2 no lo es. Si h es un operador multiplicativo en espacio de posiciones, h^|x = h(x)|x , se tiene

x|h^|0 = h(x) .

(2.23)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

27

Una propiedad importante es que el coeficiente an se puede obtener a partir de una variacion en primer orden de bn+1. En efecto, por la propia definicion del heat kernel se tiene que

x|e-(M-D2 )|x = - 1  Tr e-(M-D2 ) .  M(x)

(2.28)

Si hacemos uso del desarrollo en ambos miembros de la igualdad, a temperatura cero

encontramos

an(x)

=

-

 M (x)

tr

bn+1(x)

.

(2.29)

Hay cierta libertad en la eleccion de los coeficientes bn. Por supuesto, con tomar bn = an seria suficiente. No obstante, es conveniente explotar la propiedad ciclica de la traza y la integracion por partes con el fin de obtener expresiones mas compactas. Haciendo uso de estas dos propiedades, a temperatura cero se encuentra la siguiente forma canonica para los coeficientes

b0 = 1 ,

b1 = -M ,

b2

=

1 2

M

2

+

1 12

F2

,

b3

=

-

1 6

M

3

-

1 12

M2

-

1 12

F

M

F

-

1 60

F2

+

1 90

F

F



F

.

(2.30)

2.4. Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

Es posible extender el metodo de los simbolos con objeto de realizar calculos a temperatura finita [41].
En el formalismo de tiempo imaginario la coordenada temporal esta compactificada a un circulo, de modo que el espacio-tiempo de D = d + 1 dimensiones tiene topologia Md+1 = S1  Md. Las funciones de onda para bosones son periodicas en la direccion temporal con periodo , la inversa de la temperatura, y antiperiodicas para fermiones. Con objeto de que M y D sean operadores bien definidos en el espacio de Hilbert de las funciones de onda con grados de libertad espacio-temporales e internos, M(x) y A(x) deben ser funciones periodicas en x0.
En este formalismo usaremos la siguiente normalizacion

x|p = eipx , La relacion de completitud es

p|p = p0p0(2)d(p - p ) .

(2.31)

1

=

1 

p0

ddp (2)d

|p

p| .

(2.32)

28

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

La

frecuencia

toma

los

valores

de

Matsubara

p0

=

2n/

para

bosones

y

p0

=

2(n +

1 2

)/

para fermiones. El metodo de los simbolos se escribe en este formalismo5

x|f (M, D)|x

=

1 

p0

ddp (2)d

x|f (M, D + ip)|0

.

(2.33)

Notar que |0 es periodico en la direccion temporal, de modo que la informacion de si estamos trabajando con bosones o fermiones se encuentra ahora contenida en los valores que toma p0.

2.4.1. Desarrollo del Heat Kernel: un caso simple
La aplicacion practica del metodo de los simbolos a temperatura finita resulta bastante mas complicada que a temperatura cero. Con objeto de introducir los conceptos de manera gradual, vamos a considerar el heat kernel, y estudiaremos su desarrollo en un caso simple. Trataremos el caso en el que no exista potencial vector, el potencial escalar sea indenpendiente de x, y el termino de masa sea un c-numero constante:

A(x) = 0 , A0 = A0(x0) , M (x) = m2 , [m2, ] = 0 .

(2.34)

El resultado sera el termino de orden cero de un desarrollo en conmutadores [D, ] y [M, ] del caso general. La aplicacion del metodo de los simbolos (2.33) conduce a

x|e- K |x

=

1 

p0

ddp (2)d

x|e- (m2+p 2-(D0+ip0)2)|0

=

e- m2 1 (4 )d/2 

x|e (D0+ip0)2 |0 .

p0

(2.35)

Notar que despues de la transformacion Dj  j + ipj, el operador Dj = j puede hacerse

cero pues actuara sobre |0 .

La

suma

sobre

frecuencias

de

Matsubara

implica

que

el

operador

1 

e (D0+ip0)2
p0

es

una funcion periodica de D0 con periodo i2/, y por tanto es una funcion univaluada de

e-D0. En efecto, si hacemos uso de la formula de Poisson para la sumatoria,6 se tiene

1 

e (D0+ip0)2

=

1 (4 )1/2

()ke-kD0 e-k22/4

p0

kZ

(2.37)

5La demostracion de (2.33) es similar a la realizada en la sec. 2.2 para el caso de temperatura cero. 6La formula de Poisson para la sumatoria es:





F (n) =

n=-

m=-


dxF (x)ei2xm .
-

(2.36)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

29

( para bosones y fermiones, respectivamente). En este momento estamos en condiciones de hacer uso de la siguiente identidad operatorial [41]

e0 e-D0 = (x) ,

(2.38)

donde (x) es la linea de Wilson termica o loop de Polyakov sin traza:

x0+

(x) = T exp -

A0(x0, x) dx0

x0

(2.39)

[T indica ordenacion temporal.] Si bien es esta seccion estamos tratando el caso simple de
ec. (2.34), la definicion (2.39) es valida para un potencial escalar general A0(x). El loop de Polyakov surge aqui como la diferencia de fase entre traslaciones temporales covariantes
y no covariantes gauge alrededor del tiempo euclideo compactificado. Fisicamente, el loop
de Polyakov se puede interpretar como el propagador de particulas pesadas en el fondo
del campo gauge. La identidad (2.38) es trivial si uno elije un gauge en el cual A0 es independiente del tiempo (este gauge siempre existe), pues en este caso los operadores  = e-A0, D0, A0 y 0 conmutan entre si. Esta identidad es covariante gauge y es valida en cualquier gauge.7
Un punto importante es que el operador de traslacion en tiempo euclideo, e0, no tiene
otro efecto que producir el cambio x0  x0 +  y esta operacion es la identidad en el espacio de funciones periodicas en que estamos trabajando

e0 = 1 ,

(2.40)

(incluso en el caso fermionico, ya que despues de aplicar el metodo de los simbolos las derivadas actuan sobre los campos externos y no sobre las funciones de onda de las particulas). Llegamos asi al resultado importante de que en este espacio

e-D0 = (x) ,

(2.41)

esto es, siempre y cuando el operador diferencial D0 aparezca de manera periodica (con periodo 2i/), puede ser reemplazado por el operador multiplicativo -(1/) log[(x)].
La multivaluacion del logaritmo no es efectiva debido a la dependencia periodica. Otro punto importante es que D0 (o cualquier funcion de D0) actua como un operador
covariante gauge sobre los campos externos F (x0, x), y por tanto transforma de acuerdo al grupo de transformaciones gauge locales en el punto (x0, x). En particular, el loop de Polyakov ec. (2.39), que es tambien covariante gauge, comienza en el instante x0 y no en cero. Esta diferencia seria irrelevante para el loop de Polyakov con traza, pero no en el contexto de ahora.
El uso de la regla (2.41) en ec. (2.37) conduce a

1 

e (D0+ip0)2

=

1 (4 )1/2

()kke-k22/4 .

p0

kZ

(2.42)

7En el apendice A se hace un estudio detallado de las transformaciones gauge a temperatura finita.

30

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

En general se tiene

f (ip0 + D0) =

f (ip0

-

1 

log())

,

p0

p0

(2.43)

siempre y cuando la sumatoria sea absolutamente convergente, de modo que la suma es

una funcion periodica de D0. Por futura conveniencia introduciremos el operador Q, que

se define como

Q

=

ip0

+

D0

=

ip0

-

1 

log()

.

(2.44)

Hay que mencionar que la segunda igualdad se aplica en expresiones de la forma de ec. (2.43). Las dos definiciones de Q no son equivalentes en otros contextos (por ejemplo, en p0 f1(Q)Xf2(Q), a menos que [D0, X] = 0.)
El heat kernel en ec. (2.35) se puede escribir como

x|e- K |x

=

(4

1  )d/2

e-

m2

1 

e Q2

=

(4



1 )(d+1)/2

e-

m2

0

()

.

p0

(2.45)

En la primera igualdad se ha hecho uso de que (x) es un operador multiplicativo, de modo que es aplicable la ec. (2.23). En la segunda igualdad se ha aplicado la definicion de las funciones n(), que apareceran con frecuencia en lo sucesivo:

n(;

 /2)

=

(4 )1/2

1 

 n/2Qne Q2 ,

Q

=

ip0

-

1 

log()

.

p0

(2.46)

Notar que para cada funcion existe una version bosonica y otra fermionica, y las dos versiones estan relacionadas por el cambio   -. Como se ha indicado, estas funciones dependen solo de la combinacion  /2 y son funciones univaluadas de . En el limite de temperatura cero la suma sobre p0 se transforma en una integral gaussiana

1

---   dp0 ,

 p0

- (2)

(2.47)

y se tiene

n(; 0) =

(-

1 2

)n/2

(n

-

1)!!

(n par) ,

0

(n impar) .

(2.48)

Como se puede ver en la expresion (2.42), para un valor finito de  las correcciones de  pequen~o son de orden e-2/4 o menor, y por tanto estan exponencialmente suprimidas. La misma supresion exponencial existe para las correcciones de temperatura pequen~a cuando se considera un valor finito de  . Ya sea en el limite de temperatura cero o de tiempo propio cero, unicamente queda el modo k = 0.
Como motivacion del heat kernel, en la seccion 2.1 se calculo el potencial macrocanonico de un gas de particulas libres relativistas, que constituye una aplicacion simple de los resultados obtenidos en esta seccion. En vista de ecs. (2.2) y (2.5), es importante subrayar la relacion entre el potencial quimico  y el loop de Polyakov. El potencial quimico se

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

31

acopla al potencial escalar A0(x) como una constante aditiva. Puesto que es constante,  no contribuye a los operadores locales, ya que A0(x) solo aparece a traves de la derivada
covariante D0. Notar que si el loop de Polyakov no existiera en las formulas,  no apareceria en la funcion de particion, lo cual obviamente constituye un resultado incorrecto. Asimismo hay que destacar que la dependencia periodica del heat kernel en log  conduce al hecho bien conocido de que la funcion de particion es periodica en  con periodo 2i (condicion de consistencia debido a su acoplamiento con el operador de carga cuantizado). El loop de Polyakov aparece pues, como una generalizacion del factor e para campos gauge no abelianos y no constantes.

2.4.2. Coeficientes del desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

En esta seccion consideraremos el desarrollo del heat kernel a temperatura finita en el caso totalmente general de campos gauge no abelianos A(x) y terminos de masa no triviales M(x).
En primer lugar es necesario especificar el contaje del desarrollo. Como vimos en sec. 2.3, a temperatura cero el desarrollo se define en potencias de  [despues de extraer el factor geometrico (4 )(d+1)/2]. Este contaje en  es equivalente a un contaje en las dimensiones de masa de los operadores locales.
A temperatura finita existe una magnitud dimensional adicional, , de modo que los dos contajes no van a ser equivalentes y es necesario especificar un desarrollo concreto. Como veremos mas adelante un desarrollo estricto del heat kernel en potencias de  conduciria al mismo desarrollo asintotico que a temperatura cero. Con objeto de extraer correcciones de temperatura finita no triviales ordenaremos nuestro desarrollo de acuerdo con las dimensiones de masa de los operadores locales. Asignaremos dimensiones de masa 0, +1, +2 a , D y M, respectivamente. Consideraremos ademas un desarrollo en el cual el loop de Polyakov (x) aparezca a la izquierda en todos los terminos, lo cual es una cuestion de eleccion (de manera equivalente, se podria definir un desarrollo con (x) a la derecha). Esto es necesario pues el conmutador de  con otros operadores genera conmutadores [D0, ] que tienen dimension 1 en nuestro contaje. Estas especificaciones son suficientes para definir de manera univoca el desarrollo del heat kernel para un grupo gauge generico, de tal modo que la invariancia gauge sea manifiesta orden por orden.
El desarrollo asi definido, en el cual cada termino contiene funciones arbitrarias del loop de Polyakov pero solo un numero finito de derivadas covariantes (incluyendo derivadas temporales), constituye una extension natural del desarrollo estandar en derivadas covariantes a temperatura cero. Los terminos estaran ordenados en potencias de  pero con coeficientes que dependen de  /2 y :

x|e- (M-D2 )|x

=

1 (4 )(d+1)/2

aTn (x) n .

n

(2.49)

De la definicion se deduce directamente que para una configuracion general el termino de

32

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

orden cero es precisamente

aT0 (x) = 0((x);  /2) ,

(2.50)

que fue calculado en la subseccion 2.4.1. Esto es debido a que cuando el caso particu-

lar (2.34) es introducido en el desarrollo general, todos los terminos de orden mayor, con una o mas [D, ] o m2, se anulan.
El metodo que vamos a proponer para el calculo del desarrollo del heat kernel a tem-

peratura finita hace uso de los coeficientes de Seeley-DeWitt a temperatura cero. La idea

consiste en aplicar la formula del metodo de los simbolos (2.33) en la dimension temporal

unicamente, lo cual conduce a

x|e-(M-D2 )|x = 1 

x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x ,

p0

Q = ip0 + D0 .

(2.51)

Se puede definir el operador de Klein-Gordon efectivo

K = Y - Di2 , Y = M - Q2 ,

(2.52)

donde Y juega el papel de un termino de masa no abeliano. Podemos hacer uso del desa-

rrollo del heat kernel a temperatura cero en d dimensiones (espaciales) con ese operador

efectivo ya que el termino de masa Y, a pesar de contener derivadas temporales (en Q),

no contiene derivadas espaciales, de manera que actua como un operador multiplicativo

en el espacio de Hilbert espacial. La aplicacion directa de este argumento daria lugar al

desarrollo

x0, x|e-(Y-Di2)|0, x

=

1 (4 )d/2



an(Di, Y) n ,

n=0

(2.53)

donde los coeficientes an(Di, Y) son polinomios de dimension 2n construidos a partir de Y
y Di = [Di, ]. Los ordenes mas bajos corresponden a la ec. (2.26), pero considerando la sustitucion del termino de masa M por el nuevo termino de masa efectivo Y, y los indices
solo corren en la dimension espacial. Notamos que para reproducir el primer orden en ec. (2.49), aT0 (x) = 0((x))  eQ2,
seria necesario obtener el desarrollo a todos los ordenes en ec. (2.53), pues eQ2 no es un polinomio en Q. Esta es la razon por la cual ec. (2.53) introducida en ec. (2.51) no resulta util. La manera correcta de proceder sera extraer desde el principio la contribucion eQ2,
lo cual nos llevara a definir un nuevo conjunto de coeficientes polinomicos a~n

x0, x|e-(M-Q2-Di2)|0, x

=

1 (4 )d/2



eQ2a~n(Q2, M, Di) n .

n=0

(2.54)

Consideremos la sustitucion de Q2 por Q2 +  donde  un c-numero constante. Es claro que los coeficientes a~n no deben cambiar, y por tanto en a~n el operador Q2 debe aparecer solo dentro de conmutadores de la forma [Q2, ]. Para calcular los coeficientes a~n debemos
tener en cuenta la relacion





an(Di, Y) n = eQ2 a~n(Q2, M, Di) n .

n=0

n=0

(2.55)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

33

El metodo consiste en partir del desarrollo de la izquierda de la ecuacion (2.55) e ir movien-

do los operadores Q2 hacia la izquierda haciendo uso de conmutadores [Q2, ] (por ejemplo

MQ2 = Q2M - [Q2, M]). Al final se llega a una situacion en la que existen dos clases de

terminos: (i) terminos en que todos los operadores Q2 estan dentro de conmutadores y (ii)

terminos con factores Q2 no saturados a la izquierda (esto es, con Q2 fuera de conmutado-

res). Los terminos del tipo (i) se corresponden con el desarrollo

 n=0

a~n n.

Los

del

tipo

(ii)

se pueden identificar con el miembro derecho de la ecuacion cuando se realiza un desarrollo

de la exponencial eQ2 y se consideran ordenes mayores que el primero. Siguiendo esta

tecnica, hasta a~2 se tiene

a~0 = 1 ,

a~1 = -M ,

a~2

=

1 2

M

2

-

1 6

Mii

+

1 12

Fi2j

+

1 2

[Q2,

M]

+

1 6

(Q2)ii

.

(2.56)

Una vez que hemos construido por este procedimiento los coeficientes a~n, el siguiente paso consiste en redefinir ec. (2.54) como un desarrollo en potencias de M, Di y D0. Para ello debemos expresar [Q2, ] que aparece en el desarrollo, en terminos de [Q, ] = [D0, ] = D0. Se usa la siguiente propiedad:

[Q2, X] = Q[Q, X] + [Q, X]Q = 2Q[Q, X] - [Q, [Q, X]] = 2QX0 - X00 .

(2.57)

Se trata de mover todos los Q's hacia la izquierda, de modo que apareceran operadores D0. Al final los operadores Q fuera de conmutadores quedaran todos a la izquierda. Para a~2 se tiene:

a~2

=

1 2

M

2

-

1 6

Mii

+

1 12

Fi2j

-

1 2

M00

+

1 3

Ei2

+

1 6

E0ii

+

Q

M0

-

1 3

Eii

.

(2.58)

Notar que en a~2 existen dos tipos de contribuciones: aquellos terminos con una Q a la izquierda, y aquellos que no la tienen. En nuestro contaje, estos dos tipos pertenecen a ordenes diferentes: dimension de masa tres y cuatro, respectivamente. Cuando a~2 es introducido en ec. (2.54) (queda multiplicado por el factor eQ2) y despues en ec. (2.51) (suma sobre frecuencias de Matsubara), se obtienen las siguientes contribuciones

a~2  0()

1 2

M

2

-

1 6

Mii

+

1 12

Fi2j

-

1 2

M00

+

1 3

Ei2

+

1 6

E0ii

 2+1()

M0

-

1 3

Eii

 3/2 ,

(2.59)

donde se ha hecho uso de la definicion de n(), ec. (2.46).
Como vemos cada coeficiente de heat kernel a temperatura cero ak en ec. (2.53) con
dimension de masa 2k permite obtener un coeficiente correspondiente a~k. Este coeficiente va a dar contribucion, en general, a varios coeficientes de heat kernel aTn (con dimension de masa 2n). Las diferentes contribuciones se deben a que pueden existir ciertos factores de Q

a la izquierda de cada termino que no actuan como D0, de modo que son adimensionales. Por tanto para un valor de k dado, los valores de n permitidos deben satisfacer n  k, y la

34

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

igualdad corresponde a terminos que tienen todos los Q's dentro de conmutadores. Podemos encontrar una cota inferior para n si vemos que el numero maximo de [Q2, ]'s en a~k(k  0)
es k - 1, y por tanto este va a ser el numero maximo de Q's fuera de conmutadores que
queden a la izquierda. Esto conduce a la condicion k  2n - 1. Ademas notemos que un factor Q va a dar lugar a un coeficiente () en aTn . En suma, para el calculo de los coeficientes de heat kernel termicos vamos a tener el siguiente esquema

a0  a~0  0aT0 a1  a~1  0aT1 a2  a~2  0aT2 + 1aT3/2 a3  a~3  0aT3 + 1aT5/2 + 2aT2 a4  a~4  0aT4 + 1aT7/2 + 2aT3 + 3aT5/2 a5  a~5  0aT5 + 1aT9/2 + 2aT4 + 3aT7/2 + 4aT3
         ak  a~k  0aTk + 1aT(2k-1)/2 +    + k-1aT(k+1)/2

(2.60)

Esta mezcla de terminos no ocurre a temperatura cero, no obstante no puede ser evitada
a temperatura finita. Vemos que a Q no se le podria asignar dimension de masa 1 ya que
la suma sobre las frecuencias de Matsubara p0 no converge para un polinomio en Q. Si p0 se cuenta con dimension cero pero D0 siempre con dimension 1 la invariancia gauge se perderia. En suma, el hecho de considerar  adimensional y D0 con dimension 1 es un pequen~o precio que hay que pagar para tener un desarrollo covariante gauge orden por
orden.
Del esquema anterior se deduce que para calcular los coeficientes de heat kernel termicos completos hasta aT3 debemos buscar contribuciones hasta a5. Como regla general, para aTn van a existir contribuciones de ak, n  k  2n - 1, excepto para aT0 el cual solo recibe la contribucion trivial de a0. En particular aT3 , aparte de la contribucion que reciba de a3, solo requiere terminos Yn, con n = 2, 3, 4 en a4(Di, Y) y n = 4, 5 en a5(Di, Y).
Haciendo uso de este metodo se han calculado los coeficientes de heat kernel termicos
hasta dimension de masa 6. Los resultados son los siguientes:

aT0 = 0 , aT1/2 = 0 ,

aT1 = -0M ,

aT3/2 = 1

M0

-

1 3

Eii

,

aT2

=

0

aT2 =0

+

1 6

2(Ei2

+

E0ii

-

2M00)

,

aT5/2

=

1 3

(21

+

3)

M000

+

1 6

1M0ii

-

1 3

1

(2M0M

+

M M0)

+

1 6

1

({Mi,

Ei}

+

{M,

Eii})

-

1 3

1

+

1 5

3

E00ii

-

1 30

1Eiijj

(2.61)

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

35

-

5 6

1

+

2 5

3

E0iEi -

1 2

1

+

4 15

3

EiE0i

+

1 30

1[Ej

,

Fiij ]

-1

1 10

F0ij

Fij

+

1 15

Fij

F0ij

,

aT3

= 0 aT3 =0 -

1 4

2

-

1 10

4

M0000

-

1 60

2

3M00ii - 15M00M - 5M M00 - 15M02

+4{M, Ei2} + 2EiM Ei + 4M E0ii + 6E0iiM + 4MiE0i + 6E0iMi

+7M0Eii + 3EiiM0 + 6M0iEi + 4EiM0i

+

3 20

2

-

1 15

4

E000ii

+

1 60

2E0iijj

+

1 2

2

-

1 5

4

E00iEi

+

7 30

2

-

1 10

4

EiE00i +

19 30

2

-

4 15

4

E02i

+

1 180

2

2{Ei, Ejji} + 4{Ei, Eijj} + 5Ei2i + 4Ei2j + 4F0iij Ej - 2Ej F0iij - 2E0ij Fij

-[Eij , F0ij] - 4E0iFjji + 2FjjiE0i + 2EiFijEj + 2{EiEj , Fij} + 7F00ij Fij

+3Fij F00ij + 8F02ij .

En estas formulas aTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aperecen en ec. (2.26). Por conveniencia hemos introducido las funciones auxiliares

2 = 0 + 22 ,

4

=

0

-

4 3

4

,

......

,

2n

=

0

-

(-2)n (2n - 1)!!

2n

,

(2.62)

que se anulan en el limite  /2 = 0. Con nuestro criterio para calcular el desarrollo del heat
kernel a temperatura finita conseguimos ordenar las derivadas de manera que las espaciales
son las que actuan primero y las temporales son las mas externas. Esta eleccion es optima de cara a calcular la traza de los coeficientes Tr aTn (x), pues por la propiedad D0 = 0, los terminos de la forma nX0 no contribuyen en la traza, como puede verse despues de integrar por partes.

2.4.3. Traza de los coeficientes de Heat Kernel

En ec. (2.27) se definieron los coeficientes de heat kernel con traza a temperatura cero. A temperatura finita podemos definir de manera similar los coeficientes con traza bTn (x)

Tr

e- (M -D2 )

=

1 (4 )(d+1)/2



n=0


dx0
0

ddx tr(bTn (x)) n ,

(2.63)

donde bTn presenta una estructura mas simple que aTn . Vamos a elegir una forma canonica para estos coeficientes en la cual las funciones de  esten situadas a la izquierda de los
operadores locales covariantes gauge. Ademas de la integracion por partes y propiedad

36

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

ciclica de la traza, deberemos trabajar con conmutadores del tipo [X, f ()] (en particular
Df () ). Veamos cuales son las reglas de conmutacion. Consideremos dos operadores cualesquiera
X e Y , y f una funcion generica. Entonces el conmutador [X, f (Y )] admite el siguiente desarrollo en conmutadores

[X, f (Y )]

=

-f (Y

)[Y,

X]

+

1 2

f

(Y

)[Y,

[Y,

X ]]

-

1 3!

f

(3)(Y

)[Y,

[Y,

[Y,

X ]]]

+







=

 n=1

(-1)n n!

f (n)(Y

)DYn

(X )

,

(2.64)

donde DY = [Y, ]. Para probar esto es suficiente con probar que se cumple para funciones del tipo f (Y ) = eY , donde  es un c-numero, ya que el caso general se obtiene por
descomposicion de Fourier. En este caso, el miembro derecho de (2.64) es



(-1)n n!

neY

DYn

(X

)

=

eY

e-DY - 1 X = eY

e-Y XeY - X

= [X, eY ] , (2.65)

n=1

que coincide con el miembro izquierdo. En esta demostracion hemos hecho uso de la identidad eDY X = eY Xe-Y , que es bien conocida.
Particularicemos al caso en que f sea una funcion de  (por ejemplo n()). Con f (n) vamos a denotar su derivada n-esima con respecto a la variable - log()/. Entonces de
estas formulas se obtiene

[X,

f]

=

-f X0

+

1 2

f

X00

-

1 3!

f

(3)X000

+







.

En el caso de operadores X = D tendremos

(2.66)

D0f = 0 ,

Dif

=

-f Ei

+

1 2

f



E0i

-

1 3!

f

(3)E00i

+







.

(2.67) (2.68)

La propiedad (2.67) se podria deducir directamente de D0 = [D0, ] = 0. Estas formulas implican que a temperatura finita, al contrario que a temperatura cero, la propiedad ciclica
de la traza mezcla terminos de ordenes diferentes. Esto es debido a que D0 tiene dimensiones de masa, mientras que  es adimensional. Asi, por ejemplo 0() es de dimension cero
y Di es de dimension uno, mientras que Di0() contiene terminos de todos los ordenes, comenzando con dimension 2. Para aplicar estas reglas de conmutacion a aTn vamos a necesitar ademas la relacion

n

=

  (nn-1

+

2n+1)

,

(2.69)

que se deduce facilmente a partir de la definicion de n en ec. (2.46).

2.4 Desarrollo del Heat Kernel a temperatura finita

37

La integracion por partes, la propiedad ciclica de la traza y estas reglas de conmutacion
nos van a permitir escribir expresiones mas compactas para los coeficientes aTn , validas bajo traza. Hasta dimension de masa 6 obtenemos

bT0 = bT1/2 =
bT1 = bT3/2 =
bT2 =
bT5/2 =
bT3 =

0 , 0,

-0M ,

0,

0bT2 =0

-

1 6

2

Ei2

,

-

1 6

1{Mi

,

Ei}

,

0bT3 =0

+

1 6

2

1 2

M02

+

EiM Ei

+

1 10

Ei2i

+

1 10

F02ij

-

1 5

EiFij

Ej

-

1 6

2

-

1 10

4

E02i .

(2.70)

Escritos de esta forma, se ve explicitamente que en el limite de temperatura cero se recupera la simetria Lorentz. En estas formulas bTn=0 indican los coeficientes a temperatura cero que aparecen en ec. (2.30). El heat kernel es simetrico frente a la transposicion de operadores ABC        CBA, y los bTn han sido elegidos de manera que esta simetria se manifieste en cada orden.
Como hemos dicho, la integracion por partes y la propiedad ciclica de la traza hace que
exista cierta ambiguedad en la expresion de los coeficientes bn tanto a temperatura cero como a temperatura finita. No obstante a temperatura finita la ambiguedad es mayor ya
que estas dos propiedades mezclan ordenes diferentes. El desarrollo a temperatura finita lo
podemos expresar en la forma

Tr

e- (M -D2 )

=

1 (4 )(d+1)/2


BnT  n ,

n=0

BnT = Tr bTn (x) .

(2.71)

A temperatura cero el desarrollo se define como un desarrollo en potencias del parametro  , de modo que BnT =0 no es ambiguo, la ambiguedad solo existe en bTn=0(x). Sin embargo a temperatura finita el desarrollo no esta sujeto a un parametro, sino que lo hemos definido como un desarrollo en conmutadores, de modo que existe ambiguedad no solo en bTn (x) sino tambien en BnT . En general la eleccion concreta de bTn va a afectar la forma de los ordenes superiores bTn+1/2, bTn+1, . . . . Por supuesto, la ambiguedad en BnT no afecta la suma de la serie, sino que unicamente se trata de una reorganizacion de esta. Como ejemplo, consideremos que en bT2 =0 an~adimos el termino M. Nada cambia a temperatura cero, pues ese termino es un conmutador puro. No obstante, a temperatura finita ese termino
conduciria a la contribucion 0M que no es un conmutador puro, y por tanto va a modificar el funcional B2T . De hecho 0M, que es formalmente de dimension 4, se puede

38

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

expresar como una suma de terminos de dimension 5 y mayores, si hacemos uso de la
integracion por partes y de las reglas de conmutacion (2.66)-(2.68).
El criterio basico que hemos seguido para elegir los coeficientes bTn ha consistido en llevarlos de manera recursiva a una forma compacta, comenzando por los de orden inferior. Por ejemplo, bajo traza aT3/2 se puede llevar a una suma de terminos de dimension 4 o mayor, despues de integrar por partes y aplicar las reglas de conmutacion. Haciendo esto conseguimos bT3/2 = 0. El siguiente paso consistira en llevar aT2 (modificado con la contribucion que recibe de Tr aT3/2) a la forma mas compacta posible, lo cual en principio produciria contribuciones a aT5/2, y asi sucesivamente. Por supuesto, esta no es la unica posibilidad ya que llevar bTn a la forma mas simple posible va a implicar en general una mayor complicacion en los ordenes superiores. Por ejemplo, se puede ver que es posible ordenar el desarrollo de modo que todos los coeficientes bTn de orden semi-impar se anulen. Asi, podriamos eliminar bT5/2 con el coste de complicar bT2 .
El analogo de ec. (2.29) a temperatura finita va a verse modificado por el hecho de que la variacion de bTk contribuye no solo a aTk-1, sino en general a todos los ordenes superiores, debido a la propiedad de conmutacion (2.66). Por tanto podemos escribir

aTn

(x)



-

 M (x)

BkT  k-n-1 ,

1kn+1

(2.72)

donde el simbolo  indica que unicamente debemos considerar los terminos de dimension 2n en el miembro derecho de la ecuacion. Notar que k puede tomar valores tanto enteros como semi-impares. Hemos comprobado nuestros resultados verificando que esta relacion se cumple para todos los coeficientes.

2.5. Conclusiones
En este capitulo hemos construido el desarrollo del heat kernel en el contexto de teoria cuantica de campos a temperatura finita para espacio-tiempo plano. El desarrollo se ha hecho para un gauge general y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estacionarios. Se ha puesto un enfasis especial en el papel que juega el loop de Polyakov sin traza (o linea de Wilson termica) para mantener la invariancia gauge explicita. Esto constituye un problema altamente no trivial, ya que para preservar la invariancia gauge a temperatura finita orden por orden se necesitan infinitos ordenes en teoria de perturbaciones.
Cuando se elige que el ban~o termico este en reposo, el loop de Polyakov es generado por la componente temporal del campo gauge, y este se puede considerar como una generalizacion del potencial quimico para campos gauge no constantes y no abelianos, mediante el factor e. De hecho, hemos aportado argumentos que apoyan esta interpretacion: si el loop de Polyakov no fuera tenido en cuenta, el numero de particulas no podria ser fijado, lo cual esta en contradiccion con lo que se espera de los requisitos de la termodinamica.

2.5 Conclusiones

39

En espacios tiempos curvos, ademas del loop de Polyakov de la conexion gauge A, existe un loop de Polyakov asociado con la conexion de transporte paralelo , con importantes repercusiones en teoria de campos en presencia de campos gravitatorios.
Un ingrediente importante de nuestra tecnica de calculo es que, con objeto de garantizar la invariancia gauge explicita, una cierta combinacion del loop de Polyakov y la temperatura debe tratarse como variable independiente, - log()/. Esto puede hacerse sin necesidad de fijar el gauge.

40

Capitulo 2: Desarrollo del Heat Kernel

Capitulo 3
Accion efectiva de QCD a temperatura alta

En este capitulo nos proponemos encontrar un lagrangiano efectivo de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la region de altas temperaturas. En el calculo de los determinantes funcionales haremos uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita que hemos obtenido en el capitulo 2. Esto nos permitira calcular el lagrangiano efectivo como un desarrollo en operadores, y aqui obtendremos los ordenes mas bajos en este desarrollo.
Existen en la literatura otros metodos equivalentes como el calculo de diagramas de Feynman a un loop con un numero arbitrario de patas externas [49]. No obstante suelen ser tecnicamente mas complicados y no dan cuenta automaticamente de invariancia gauge con respecto al campo externo.
Comenzaremos este capitulo repasando algunos elementos basicos de la teoria de YangMills a temperatura finita, para posteriormente entrar de lleno en el calculo detallado de la accion de QCD a temperatura alta manteniendo la invariancia gauge de manera explicita. El capitulo esta basado en la referencia [44].

3.1. Fundamentos de la Teoria de Yang-Mills a Temperatura Finita

En esta seccion vamos a explicar los fundamentos de la teoria de Yang-Mills a temperatura finita. Partiremos del hamiltoniano cuantico del sistema y deduciremos la funcion de particion.
En una teoria de Yang-Mills el hamiltoniano cuantico es

H

=

-

1 g2

d3x tr (0Ai)2 + Bi2 ,

(3.1)

donde

Bi

es

el

campo

magnetico,

Bi

=

1 2

ijk

Fjk

.

El

espacio

de

Hilbert

esta

formado

por

los estados {|Ai(x) }. Podemos escribir e-H como limN e-H N ,   /N , y haciendo

41

42

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

uso de la relacion de completitud repetidamente se llega a

Ai(x)|e-H |Ai(x) =

DAi(x0, x) exp

1 g2


dx0
0

d3x tr[(0Ai)2 + Bi2] ,

(3.2)

donde la integral funcional se toma sobre trayectorias en las que las configuraciones inicial
y final estan fijas: Ai(, x) = Ai(x) y Ai(0, x) = Ai(x). La traza de e-H en el espacio de Hilbert completo es

ZYM = Tr e-H = DAi(x) Ai(x)|e-H |Ai(x)

(3.3)

=

DA(i0)(x)

Ai(,x)=A(i0)
DAi(x0, x) exp
Ai (0,x)=A(i0)

1 g2


dx0
0

d3x tr (0Ai)2 + Bi2

.

Se trata de una integral funcional sobre campos gauge periodicos Ai(0, x) = Ai(, x). No obstante, en una teoria gauge hay que sumar, no sobre todos los estados posibles, sino sobre los estados fisicos solamente, esto es, los que satisfacen la ley de Gauss

D  E(x)|fis = 0  x ,

(3.4)

donde Ei(x) = 0Ai(x). Esta relacion expresa la conservacion del flujo electrico. Para satisfacer (3.4) basta con que se verifique

exp d3x tr[D(x)  E(x)] |fis = |fis ,

(3.5)

para todo (x) con soporte compacto. (U) = exp( D  E) es un operador unitario que da lugar a las transformaciones gauge independientes del tiempo U = e. Esto significa
que imponer la ley de Gauss es equivalente a exigir que los estados fisicos sean invariantes
frente a transformaciones gauge cuyos generadores se anulen en el infinito. Estos estados pueden ser seleccionados introduciendo el proyector P = ()=0 D (e) dentro de la integral funcional

ZYM = Tr P e-H =

D(x)DAi(x) AUi (x)|e-H|Ai(x)

()=0

=

D(x)

DAi(x0, x) exp

()=0

Ai(,x)=AUi (0,x)

1 g2


dx0
0

(3.6) d3x tr (0Ai)2 + Bi2 ,

donde hemos considerado Ai|(U) = AUi |. Se trata de una integral funcional sobre campos periodicos salvo transformacion gauge. Con objeto de derivar una expresion que sea
estrictamente periodica introducimos el proyector P mas de una vez, lo cual es factible ya
que P y H conmutan

ZYM

=

lim Tr P e-H N
N 

=

D(x0, x)DAi(x0, x) exp

1 g2


dx0
0

(3.7) d3x tr (0Ai - Di)2 + Bi2 .

3.2 Sector fermionico

43

Definiendo el campo A0(x0, x) = (x0, x), que se anula en x infinito, llegamos a

ZYM =

DA(x0, x) exp
A(,x)=A(0,x)

1 2g2


dx0
0

d3x tr F2

=:

La ecuacion de movimiento e identidades de Bianchi vienen dadas por

DA(x)e-SYEM . (3.8)

DF = 0 , DF + DF + D F = 0 .

(3.9)

En las integrales funcionales existe una condicion de periodicidad temporal en el intervalo [0, ] para los campos gauge, que son bosonicos. Ademas es necesario integrar sobre todos los valores en los extremos del intervalo. Si se consideran quarks en la teoria, estos deberan satisfacer condiciones de antiperiodicidad, por ser campos fermionicos. La funcion de particion euclidea de QCD sin renormalizar se escribe

ZQCD =

DA(x0, x)

A ( ,x)=A (0,x)

donde la accion euclidea es

Nf
Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SE) ,
q(,x)=-q(0,x) =1
(3.10)

SE

=

-

1 2g

2


dx0
0


d3x tr(F2 ) + dx0 0

Nf
d3x q(D/ +m)q .
=1

(3.11)

D =  + A es la derivada covariante y A es una matriz antihermitica de dimension Nc, en la representacion fundamental del algebra de Lie del grupo gauge SU(Nc). Nf es el numero de sabores diferentes de quarks, y m es la masa desnuda de los quarks.
En el tratamiento que haremos para calcular la accion efectiva a un loop, las fluctuaciones cuanticas de los campos gauge no van a modificar el sector de los quarks. La contribucion de este sector constituira una correccion a la funcion de particion de YangMills, de modo que podremos hacer uso de la siguiente factorizacion

ZQCD = ZqZYM ,

(3.12)

donde Zq y ZYM corresponden a la funcion de particion del sector fermionico y gluonico respectivamente. Esto se justificara en la seccion 3.3. Calcularemos cada una de estas contribuciones por separado.

3.2. Sector fermionico
La contribucion de los quarks es mas simple que la gluonica, de modo que la trataremos en primer lugar para asi conseguir una mayor claridad en el desarrollo. Los resultados de esta seccion seran validos para cualquier grupo gauge. En la seccion 3.3 se particularizaran las formulas para grupos gauge concretos. Consideraremos el caso particular de quarks sin masa (m = 0).

44

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

La funcion de particion sin renormalizar es

Nf

Zq[A] =

Dq(x0, x)Dq(x0, x) exp(-SqE) ,

q(,x)=-q(0,x) =1

con la accion euclidea


SqE = dx0 0

Nf
d3x q D/ q .
=1

La integral funcional de los campos de los quarks conduce a

(3.13) (3.14)

Zq[A] = Det(D/ )Nf ,

(3.15)

y la accion efectiva euclidea es1

dqesn[A] = -Nf log Det(D/ ) = -Nf Tr log(D/ ) .

(3.16)

Esta expresion es formal debido a la presencia de divergencias ultravioletas. U nicamente despues de regularizar y renormalizar estas divergencias se obtiene una accion efectiva finita y bien definida. Existe un gran numero de metodos diferentes para obtener una version renormalizada, pero un resultado estandar de teoria cuantica de campos perturbativa es que diferentes definiciones de  pueden diferir a lo sumo en terminos que son polinomios locales de dimension canonica d + 1 (donde d + 1 es la dimension del espacio-tiempo), construidos con los campos externos y sus derivadas [18, 50]. Esto es debido a que todos los diagramas de Feynman son convergentes mas alla de d + 1 derivadas en los campos o en los momentos externos [51]. En la practica vamos a tener que cualquier metodo consistente con la expresion formal de la accion efectiva puede ser usado, puesto que todos ellos van a dar la misma contribucion finita ultravioleta.

3.2.1. Accion efectiva con representacion de Schwinger

De acuerdo con el tratamiento usual, elevaremos al cuadrado el operador de Dirac con objeto de obtener un operador de Klein-Gordon. Haciendo uso de la representacion de Schwinger de tiempo propio podemos escribir la contribucion del sector fermionico a la accion efectiva de QCD a un loop como

q [A]

=

-

Nf 2

Tr

log(D/2)

=

Nf 2

 0

d 

Tre D/2

=:


dx0
0

d3x Lq(x) ,

(3.17)

Lq (x)

=

Nf 2

 d 2 0  (4 )D/2

 ntr(bTn,q(x)) .
n

(3.18)

Usamos regularizacion dimensional para regular las divergencias ultravioletas en  = 0, con el convenio D = 4 - 2. El factor 2 restablece la dimension 4 en masa del lagrangiano

1Nuestro convenio para la accion efectiva es Z = e-.

3.2 Sector fermionico

45

efectivo. La traza de Dirac esta incluida en bTn,q y tr se refiere a traza en el espacio de color. Para aplicar nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita al calculo de la accion
efectiva unicamente debemos identificar el operador de Klein-Gordon correspondiente. Usa-
remos el siguiente convenio para las matrices :

 =  , {, } = 2 , trDirac(1) = 4 .

(3.19)

Se puede escribir

-

D/2=

-D2

-

1 2



F

,

(3.20)

donde se ha usado  =  + . El operador de ec. (3.20) es de tipo Klein-Gordon, y

podemos

identificar

el

termino

de

masa

como

M (x)

=

-

1 2



F

.

3.2.2. Traza en espacio de Dirac
El siguiente paso es hacer uso de los coeficientes de heat kernel (2.70) y calcular la traza en el espacio de Dirac. La traza en este espacio muestra que bT1 y bT5/2 no van a contribuir, lo cual es extensible a todos los terminos del heat kernel con una unica M. Usamos las siguientes propiedades

trDirac(1 2     ) 2n+1 = 0 , trDirac() = 4 , trDirac() = 4(  -  +  ) .

(3.21)

Existe otra propiedad que permite invertir el orden de las matrices  dentro de la traza

trDirac(    ) = trDirac(   ) .

(3.22)

Hasta dimension de masa 6 tenemos

bT0,q = 40 ,

bT2,q

=

-

2 3

0F2 + 2Ei2

,

(3.23)

bT3,q

= 0

32 45

F

F

F

+

1 6

F2

-

1 15

F2

+ 2

1 15

Ei2i

-

1 10

F02ij

-

2 15

EiFij

Ej

+

2 5

4

-

2

E02i .

Las funciones n corresponden a su version fermionica, esto es, la suma es sobre las fre-

cuencias

de

Matsubara

p0

=

2(n

+

1 2

)/

.

Los

terminos

que

rompen

simetria

Lorentz

se

han separado explicitamente.

46

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

3.2.3. Integrales en tiempo propio

Como hemos indicado, vamos a hacer uso de la regularizacion dimensional en la integral sobre  , ec. (3.18). Las integrales van a ser del tipo

I,n() :=

 0

d 

(42 ) n ()

,

|| = 1 ,

(3.24)

donde n se refiere a la version bosonica o fermionica, respectivamente. En el sector fermionico  es el loop de Polyakov en la representacion fundamental. A nivel practico  en realidad va a indicar cada uno de los autovalores del loop de Polyakov. En el apendice B se calculan estas integrales y se discuten algunas de sus propiedades. Para el sector de los quarks nos va a interesar la version fermionica de las integrales, y hasta dimension 6 en masa necesitamos solo valores pares de n:

I-,2n(ei2) = (-1)n(4)

 2

2



2

(

+

n

+



+

1 2

)

2

(

1 2

)



 (1

+

2

+

2,

1 2

+

)

+

 (1

+

2

+

2,

1 2

-

)

,

-

1 2

<



<

1 2

,

(3.25)

donde hemos hecho uso de la notacion  = ei2. (z) es la funcion Gamma de Euler y
(z, q) la funcion de Riemann generalizada [52]. En general las integrales I,n() van a ser funciones univaluadas en , esto es, periodicas en  con periodo 1. La formula (3.25) se

ha de

escrito de manera este intervalo debe

que sea directamente aplicable en el considerarse una extension periodica

intervalo

-

1 2

de la funcion.

A<dem<as12I.-,F2nu(era)

son funciones pares en .

Calculemos a continuacion la contribucion al lagrangiano efectivo. El orden cero requiere

I--2,0. Obtenemos

I--2,0

=

-

2 3

2 

4

B4(

1 2

+

)

+

O()

,

(3.26)

donde hemos hecho uso de la relacion (1 - n, q) = -Bn(q)/n, n = 1, 2, . . . , y Bn(q) es el polinomio de Bernoulli de orden n. Por tanto, tenemos que el potencial efectivo va a ser

L0,q (x)

=

2Nf 4

2Nc 45

-

1 12

tr

(1 - 42)2

,

(x) = ei2 ,

-

1 2

<



<

1 2

,

(3.27)

donde Nc = tr(1) indica el numero de colores. tr es la traza en la representacion fundamental del grupo gauge de color, y  es la matriz log()/(2i) en esta representacion y con valores propios en la rama || < 1/2.
Notar que z = 1 es el unico punto singular de la funcion (z, q) (se trata de un polo simple). U nicamente las integrales I0-,2n tienen el polo estandar 1/, con lo cual este solo

3.3 Sector gluonico

47

va a aparecer en los terminos con dimension de masa 4, esto es bT2,q. Para estos terminos necesitamos

I0-,0

=

1 

+

log(4)

-

E

+

2

log(/4)

-



1 2

+



-

1 2

-



+ O() ,

I0-,2 := I0-,0 + 2I0-,2 = -2 + O() .

(3.28)

Las integrales I,2n se definen de forma analoga a I,2n pero usando 2n en lugar de 2n. (q) es la funcion digamma, y aqui hemos hecho uso de la relacion

 (1

+

z,

q)

=

1 z

-

(q)

+

O(z)

.

(3.29)

Notar que las funciones 2n se definieron de manera que se anulasen en el limite  /2 = 0, de modo que las integrales correspondientes van a estar libres de divergencias ultravioletas. Los terminos 1/ + log(4) - E que aparecen en I0-,0 son eliminados si adoptamos el esquema de regularizacion MS. Despues de renormalizar, punto que explicaremos
en la seccion 3.4, tendremos

L2,q (x)

=

-

1 3

1 (4)2

Nf

tr

2 log(/4) - 

1 2

+



-

1 2

-



F2 - 2Ei2 .

(3.30)

Para los terminos con dimension de masa 6 vamos a necesitar las integrales

I1-,0

=-

 4

2



1 2

+



+ 

1 2

-



+ O() ,

I1-,2 = -2I1-,0 + O() , I1-,4 = -4I1-,0 + O() ,

(3.31)

donde hemos hecho uso de la relacion (n)(q) = (-1)n+1n!(n + 1, q) . Esto conduce a

L3,q(x)

=

-

2 (4)4

Nf



2tr



1 2

+



+ 

1 2

-



(3.32)



8 45

F

F

F

+

1 24

F2

-

1 60

F2

+

1 20

F02

-

1 30

Ei2i

+

1 15

EiFij

Ej

.

Notar que cada orden del heat kernel esta asociado a una potencia en temperatura, L0  T 4, L2  T 0, L3  T -2, lo cual quiere decir que el desarrollo del heat kernel a temperatura finita es esencialmente un desarrollo en potencias de k2/T 2, donde k es el momento gluonico tipico. Los terminos de orden T 2 estan prohibidos ya que no existen
operadores invariantes gauge de dimension 2 disponibles.

3.3. Sector gluonico
A continuacion nos vamos a centrar en el termino de Yang-Mills, para el cual consideraremos especificamente el grupo SU(Nc) (matrices unitarias, una unica constante de acoplamiento y matrices del algebra de Lie con traza cero en cualquier representacion).

48

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

La funcion de particion sin renormalizar es

Zg =

DA(x0, x) exp(-SYEM)

A ( ,x)=A (0,x)

con la accion euclidea

SYEM

=

-

1 2g2


dx0
0

d3x tr(F2 ) .

Se trata de una integral funcional entre configuraciones periodicas.

(3.33) (3.34)

3.3.1. Metodo del Campo de Fondo

Para el calculo de la accion efectiva haremos uso del Metodo del Campo de Fondo [53, 54]
que consiste en separar el campo gluonico, que por claridad denotaremos aqui como A, en un campo clasico A mas una fluctuacion cuantica a en la accion (3.34). La fluctuacion es presumiblemente pequen~a.

A(x) = A(x) + a(x) .

(3.35)

Esto va a inducir una separacion en el tensor F

F [A] = F [A] + Da - Da + [a, a] .

(3.36)

En ec. (3.36) la derivada covariante es la asociada al campo clasico, esto es D =  + A.
En nuestra notacion D = [D, ]. Notar que los campos de los quarks se eligen como una fluctuacion pura, de modo que a no modifica el sector fermionico a un loop. Esto justifica la factorizacion de ec. (3.12)
Una transformacion gauge infinitesimal de A con parametro  puede ser distribuida de muchas maneras sobre los campos A y a, pero las elecciones mas convenientes van a ser la transformacion cuantica

A = 0 , a = D + [a, ] y la transformacion del campo de fondo

(3.37)

A = D , a = [a, ] .

(3.38)

La clave consiste ahora en an~adir a la accion clasica un termino que fije el gauge (gaugefixing term) el cual va a romper la invariancia gauge cuantica, pero respetara la invariancia gauge del campo clasico de fondo

Sfix

=

1 


dx0
0

d3x tr(G2) ,

(3.39)

donde la funcion G transforma de modo covariante bajo (3.38). El termino de Faddeev-

Popov asociado es


SFP = 2 dx0
0

d3x tr

C



G 

C

,

(3.40)

3.3 Sector gluonico

49

donde G/ indica la variacion de G bajo una transformacion gauge cuantica. C y C
son los campos ghost y antighost respectivamente, que son objetos que anticonmutan (si
bien son periodicos en tiempo euclideo) y son matrices en la representacion fundamental de su(Nc). La accion total Stot = SYEM + Sfix + SFP aparece en el funcional generador de todas las funciones de Green

Zg[A, J, , ] = N DaDCDC exp (-Stot + J  a +   C + C  ) ,

(3.41)

donde J,  y  son fuentes y el factor de normalizacion N se elige de modo que se verifique Zg[A, 0, 0, 0] = 1. Notar que el campo clasico de fondo no esta acoplado con la fuente J. El funcional generador para los diagramas conexos viene dado por

Wg[A, J, , ] = log Zg[A, J, , ] .

(3.42)

Los valores esperados de todos los campos se definen como

a~

=

Wg J

,

C~

=

Wg 

,

C~ 

=

Wg 

,

(3.43)

y a partir de ellos, la accion efectiva se define

g[A, a~, C~, C~] = J  a~ +   C~ + C~   - Wg[A, J, , ] .

(3.44)

Los funcionales Zg y Wg seran invariantes bajo transformaciones gauge del campo de fondo, ec. (3.38), si todas las fuentes y campos ghost transforman igual que a. Lo mismo se puede decir de la accion efectiva g si uno exige que a~, C~ y C~ transformen igual que a. Una buena eleccion es el gauge de Gervais-Neveu generalizado

G = Da + a2 ,

(3.45)

pero aqui nos vamos a restringir al gauge de Feynman covariante  = 1,  = 0, con un termino de Faddeev-Popov asociado


SFP = 2 dx0
0

d3x tr CD(DC + [a, C]) .

Descompongamos la corriente J en

(3.46)

J = J + j

(3.47)

donde definimos

j

=

Stot[A, a] a

.
a=0

Podemos escribir la accion total como

Stot[A, a] - J  a

=

SYEM[A]

+

1 2


dx0
0

d3x tr (a [A]a)



- dx0 d3x tr (C[A]C) - Sint[A, a] - J  a ,

0

(3.48) (3.49)

50

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

con las siguientes definiciones

 [A] = -  D2 + 2F , [A] = -D2 ,


Sint[A, a] = dx0
0

d3x tr

(Da )[a,

a ]

+

1 4

[a

,

a ]2

+

C  D[a ,

C]

,(3.50)

donde D = [D, ] y F = [F, ]. Notar que la constante de acoplamiento g puede ser absorbida en la normalizacion de los campos. De este modo obtenemos el nuevo funcional generador

Zg[A, J , , ]

=

DaDCDC exp

-

SYEM[A]

-

1 2


dx0
0


d3x a a + dx0
0

d3x CC

-Sint[A, a] + J  a +   C + C   ,

(3.51)

que depende de la nueva corriente J . Notar que el unico termino lineal en el campo gauge a que aparece en el exponente es el que esta acoplado con la corriente J .
Si imponemos ahora las condiciones a~ = C~ = C~ = 0, la accion efectiva se puede escribir como

g[A, 0, 0, 0] = -Wg[A, J , , ] Wg/J =Wg/=Wg/=0

(3.52)

y es todavia invariante respecto a la transformacion gauge del campo de fondo dada en (3.38). El desarrollo perturbativo de esta accion efectiva solamente contiene diagramas de vacio, que son 1PI.
El desarrollo de la accion efectiva de Yang-Mills en terminos de viene dado por

g[A,

0,

0,

0]

=

SYEM[A]

+

1 2

Tr

log(- D2

-

2F )

-

Tr

log(-D2 )

+

O(

2) .

(3.53)

El termino SYEM[A] es la contribucion clasica, y los terminos segundo y tercero son las contribuciones cuanticas a O( ). En (3.53) se puede ver que el operador de Klein-Gordon sobre los campos cuanticos a (segundo termino del miembro derecho de la igualdad)
actua sobre un espacio interno de dimension D  Nc, donde en regularizacion dimensional D = 4 - 2, que es el numero de polarizaciones del gluon (fisicas o no).2 D se corresponde
con el indice de Lorentz . Los operadores D y F actuan en la representacion adjunta. Notar que la derivada covariante en este operador de Klein-Gordon es la identidad en el espacio de Lorentz, mientras que el termino de masa es una matriz en dicho espacio, esto es (M) = -2F. Por otra parte, el operador de Klein-Gordon de los campos ghost (tercer termino del miembro derecho de la igualdad) actua sobre un espacio interno de dimension
Nc. La derivada covariante es D en la representacion adjunta y el termino de masa es cero.

2Nc es el numero de generadores del grupo gauge (Nc2 - 1 en SU(Nc)) y se corresponde con la dimension de la representacion adjunta del grupo.

3.3 Sector gluonico

51

3.3.2. Accion efectiva a un loop

La accion efectiva total de QCD quiral hasta nivel de un loop queda

[A]

=

-

-2 2g02

d4x tr(F2 ) + q[A] + g[A] ,

(3.54)

donde el primer termino es la accion de la teoria de Yang-Mills a nivel arbol teniendo en cuenta la renormalizacion (g0 es una constante adimensional). El segundo termino es la contribucion de los quarks, que ha sido calculada en la seccion 3.2. El tercer termino corresponde a las contribuciones que surgen despues de integrar los ghosts y las fluctuaciones cuanticas de los campos gauge

g[A]

=

1 2

Tr

log(-

D2

-

2F )

-

Tr log(-D2)

=:


dx0
0

Haciendo uso del desarrollo del heat kernel podemos escribir

d3x Lg(x) .

(3.55)

Lg(x)

=

-

1 2

 d 2 0  (4 )D/2

n

 n tr(bTn,g(x)) .

(3.56)

La traza sobre el espacio de Lorentz para los gluones esta incluida en los coeficientes bTn,g. En esta formula tr se refiere a traza en el espacio de color en la representacion adjunta. Se puede comprobar explicitamente en el calculo que el efecto de los ghosts es quitar dos grados de polarizacion del gluon, esto es D  D -2. Debido a la traza de Lorentz todos los terminos con una unica M se van a anular, en particular bT1,g y bT5/2,g no van a contribuir. Hasta dimension de masa 6 tenemos

bT0,g = (D - 2)0() ,

bT2,g =

-2

+

D- 12

2

0()F2

-

D

- 6

2 2()Ei2

,

bT3,g = 0()

4 3

+

D- 90

2

F FF

+

1 3

F2

-

D- 60

2 F2

+

1 6

2()

-2F02

+

D- 10

2

Ei2i + F02ij - 2EiFij Ej

+ (D - 2)

1 10

4()

-

1 6

2

()

E02i .

(3.57)

En estas formulas las funciones n corresponden a su version bosonica, esto es, la suma es sobre las frecuencias de Matsubara p0 = 2n/. A diferencia del sector fermionico, el argumento de estas funciones, , y las derivadas covariantes estan en la representacion adjunta. Notar que los terminos con D - 2 proceden de terminos del heat kernel que no tienen masa. Los terminos que rompen simetria Lorentz se han separado explicitamente.
Para calcular el lagrangiano efectivo deberemos introducir los coeficientes (3.57) en (3.56). Las integrales en  que aparecen son del tipo (3.24). Como sabemos, las versiones

52

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

bosonica y fermionica de las funciones n estan relacionadas por el cambio   - , esto

es +n () = -n (-) . De aqui tenemos que las integrales I+,2n van a ser las mismas que

I-,2n

de

(3.25)

excepto

por

el

cambio







-

1 2

I+,2n(ei2) = (-1)n(4)

 2

2

 2

2

(

+

n

+



+

1 2

)

(

1 2

)

 (1 + 2 + 2, ) + (1 + 2 + 2, 1 - ) ,

0 < < 1,

(3.58)

donde hemos hecho uso de la notacion  = ei2. Esta formula se ha escrito para que sea
valida en el intervalo 0 <  < 1. Fuera de este intervalo debe considerarse la extension periodica de la funcion. Las integrales I+,2n(ei2) son pares bajo el cambio   1 -  .
El orden cero requiere

I-+2,0

=

-

1 3

2 

4
(B4() + B4(1 - )) + O() .

(3.59)

El potencial efectivo va a ser

L0,g (x)

=

2 34

tr(B4(

)

+

B4

(1

-



))

=

-

2 45

4

Nc

+

22 34

tr

[2(1

-

 )2 ]

,

(x) = ei2 ,

0 <  <1,

(3.60)

donde Nc := tr(1) = Nc2 - 1 es el numero de generadores del grupo gauge.  es la matriz log()/(2i) con valores propios en la rama 0 <  < 1. Si se considera  = 0 en ec. (3.60) se obtiene la presion de un gas ideal de gluones.
Para los terminos con dimension de masa 4 vamos a necesitar

I0+,0

=

1 

+

log(4)

-

E

+

2

log(/4)

-

()

-

(1

-

)

+

O()

,

I0+,2 := I0+,0 + 2I0+,2 = -2 + O() .

(3.61)

I0+,0 es divergente ultravioleta e I0+,2 es finito. Notar que en las D's que aparecen en nuestras expresiones tras hacer la traza de Lorentz tambien existen 's que hay que tener en cuenta. La parte finita del lagrangiano efectivo, en el esquema MS, es

L2,g(x)

=

1 (4

)2

tr

11 12

2

log(/4)

+

1 11

-

()

-

(1

-

)

F2

-

1 3

Ei2

.

(3.62)

En esta formula no hemos considerado las contribuciones divergentes. Estas seran tratadas en la seccion 3.4, donde abordaremos el problema de la renormalizacion.

3.4 Renormalizacion

53

Para los terminos con dimension de masa 6 necesitamos las integrales

I1+,0

=

-

 4

2
 () +  (1 - )

+ O() ,

I1+,2 = -2I1+,0 + O() , I1+,4 = -4I1+,0 + O() .

(3.63) (3.64)

Esto conduce a

L3,g(x) =

1 2

2 (4)4

tr

() + (1 - )

(3.65)



61 45

F

FF

+

1 3

F2

-

1 30

F2

+

3 5

F02

-

1 15

Ei2i

+

2 15

Ei

Fij

Ej

.

3.4. Renormalizacion

Para la renormalizacion deberemos considerar todas las contribuciones divergentes que hemos obtenido, tanto del sector de quarks como del sector gluonico. El lagrangiano a nivel arbol junto con estas divergencias conduce a

Larbol(x) + Ldqiv(x) + Ldgiv(x) =

=

-

1 2g02

tr(F2

)

+

1 (4)2

=

-

2g

1 2()

tr(F2

)

.

1 

+

log(4)

-

E

Hacemos uso de la siguiente identidad

11 12

tr(F2

)

-

Nf 3

tr(F2 )

(3.66)

tr F2 = 2tr(1)tr F2 - 2 (tr (F))2 = 2Nctr F2 ,

(3.67)

donde se ha considerado que el grupo gauge es SU(Nc). De aqui obtenemos en el esquema MS

1 g2()

=

1 g02

-

0

1 

+

log(4)

-

E

,

0

=

1 (4)2

11 3

Nc

-

2 3

Nf

,

(3.68)

lo cual garantiza la independencia en escala de ec. (3.66). Notar que nos hemos limitado
a renormalizar la constante de acoplamiento. Por invariancia gauge, los campos clasicos
A no necesitan ser renormalizados, si bien para el problema de la reduccion dimensional, en general esta funciona mejor si los campos se renormalizan de tal modo que todas las contribuciones a Ei2 y Bi2, que proceden de loops no estaticos, son canceladas mediante contraterminos [55].

54

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

Si consideramos todos los terminos con dimension de masa 4, (ecs. (3.30), (3.62) y (3.66)), para ellos el lagrangiano renormalizado de QCD quiral hasta un loop es

L2,QCD(x) =

-

1 2g2()

+

0

log(/4)

+

1 6

1 (4

)2

Nc

tr(F2 )

-

11 12

1 (4)2

tr

() + (1 - ) F2

+

1 3

1 (4)2

Nf

tr

(

1 2

+

)

+

(

1 2

-

)

F2

-

2 3

(Nc

-

Nf

)

1 (4)2

tr

Ei2

,

-

1 2

<



<

1 2

,

0 <  < 1 . (3.69)

Otra posibilidad es usar el metodo de Pauli-Villars para regular las divergencias ultra-
violetas [56]. La regularizacion de Pauli-Villars consiste basicamente en la introduccion, en el funcional generador, de nuevos campos a y C que transforman como a y C, pero tienen una masa M que posteriormente se considerara en el limite M  . Por con-
veniencia consideramos que los dos campos tienen la misma masa. La aplicacion de este
procedimiento conduce a la siguiente funcion de particion regulada

Z [A]|reg

=

Z [A] Z[A, M 2]

.

(3.70)

Z[A, M2] tiene la misma forma que Z[A] excepto que los terminos de masa estan incluidos.

Para un operador generico K, la expresion regulada para el determinante funcional es

Det(K)|reg

=

Det(K) Det(K + M 2)

=

exp

-

 d 0

1 - e-M2

Tr e-K

,

(3.71)

donde hemos hecho uso de la representacion de tiempo propio de Schwinger. Por tanto la regularizacion de Pauli-Villars corresponde a insertar el factor (1-e-M2) en la integracion
en  . Todas las integrales convergentes (incluidas I0,2 ) quedan igual que en regularizacion dimensional (en el limite M  ), y las integrales que divergen son

I0+,0,PV = 2 log(M/) + 2 log(/4) - () - (1 - ) + O(M -1) , 0 <  < 1 , (3.72)

I0-,0,PV

=

2

log(M/)

+

2

log(/4)

-

(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

+

O(M -1)

,

-

1 2

<



<

1 2

.

El lagrangiano a nivel arbol tiene la siguiente constante de acoplamiento desnuda (para

cutoff M),

1 g02(M )

=

2 (4)2

11 3

Nc

-

2 3

Nf

log

M 

.

(3.73)

El lagrangiano a nivel arbol junto con todas las contribuciones divergentes del sector

gluonico y del sector fermionico conduce a (en este esquema de regularizacion)

Larbol(x) + Ldqiv(x) + Ldgiv(x)

=

-

1 2g02(M

)

tr(F2

)

+

1 (4)2

log(M )

11 3

Nc

-

2 3

Nf

tr(F2 )

=

-

1 2g2()

tr(F2

)

,

(3.74)

3.5 Divergencias infrarrojas

55

donde hemos hecho uso de la identidad (3.67), valida en SU(Nc). Notar que el termino divergente ultravioleta log(M) es cancelado por la constante de acoplamiento desnuda, de
modo que al final el cutoff M es reemplazado por el parametro finito . Si, como es usual, el parametro  en cada esquema es definido como la escala  =  para la cual 1/g2() se
anula, encontramos que los dos esquemas MS y PV dan identicos resultados cuando

log

2PV/M2 S

=

1

11

-

2Nf Nc

.

(3.75)

Si se hace uso de otro esquema de regularizacion, la escala debera modificarse en consecuencia [57, 58].

3.5. Divergencias infrarrojas

En el calculo del sector gluonico de la accion efectiva existe un problema de divergencias
infrarrojas relacionadas con el modo estatico de Matsubara. En la representacion adjunta,
Nc - 1 valores propios de  son necesariamente la unidad, de modo que el valor  = 0 va a aparecer siempre al tomar la traza adjunta. Notar que para integrales I+,n con n = 0, el modo estatico no va a contribuir. Sin embargo en I+,0 este modo puede producir divergencias infrarrojas y ultravioletas. En concreto la singularidad de I+,n(ei2) para valores de  enteros procede de la divergencia infrarroja del modo estatico. En regularizacion dimensional la integral I+,0(1)|p0=0 se define como cero ya que no tiene una escala natural [59]. Tal y como se explica en el apendice B, las integrales I+,2n sin el modo estatico vienen dadas por las mismas expresiones que (3.58) despues de la sustitucion   1 +  en la
primera . En consecuencia, la prescripcion va a ser usar las formulas de L2,g y L3,g con las sustituciones

() + (1 - ) =0  (1 + ) + (1 - ) =0 = -2E , () + (1 - ) =0  (1 + ) + (1 - ) =0 = -4(3) ,

(3.76)

realizadas unicamente en el subespacio  = 1. Esta prescripcion preserva la periodicidad

de la accion efectiva como funcion de log(), de modo que es consistente con la invariancia

gauge.

Un modo alternativo de tratar las divergencias infrarrojas es regulandolas an~adiendo en las integrales en  una funcion cutoff e-m2 . Los modos que son finitos en el regimen

infrarrojo no se ven afectados en el limite m  0. El modo estatico en 0 da lugar a divergencias que deberan ser an~adidas al resultado obtenido previamente en regularizacion

dimensional. Esto produce la contribucion



I+,0(1)|p0=0 =

4(

1 2

+

 m2+1

)

.

(3.77)

Puesto que las divergencias infrarrojas proceden exclusivamente del modo estatico de 0, las relaciones de escala del tipo (3.64) para I+,2n no seran validas. Los terminos divergentes

56

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

infrarrojos que obtenemos son:

L2,IR

=

1 48

T m

tr

11F2 + 2Ei2

,

L3,IR

=

1 240

T m3

tr

-

61 3

F



F



F

+

EiFij Ej

+

EiFij

Ej

-5F2

+

1 2

F2



+

9 2

F02



+

3E02i

-

1 2

Ei2i

.

(3.78)

En nuestra notacion, F indica la parte de F que conmuta con , y F el resto. Si bien son contribuciones gluonicas, se han expresado en la representacion fundamental,
que suele ser preferible. En concreto, en el gauge en que  es diagonal, F es la parte diagonal de F. U nicamente terminos con al menos una componente perpendicular pueden ser divergentes infrarrojos.

3.6. Teoria efectiva dimensionalmente reducida

Desde mediados de la decada de los noventa la mayor parte del esfuerzo que se ha dedicado en QCD perturbativa a temperatura alta ha sido en calcular la presion, y solo recientemente se ha obtenido el orden perturbativo mas alto posible [60], mediante el uso de ideas de reduccion dimensional [61, 62, 63, 64, 65]. Estas ideas se basan en el hecho de que a temperatura suficientemente alta el comportamiento de la teoria puede ser descrito, en principio, por una teoria efectiva en tres dimensiones.
Como sabemos, a temperatura finita los campos periodicos se pueden descomponer en modos de Fourier



A(x0, x) =

A(n, x)einx0 ,

n=-

n

=

2n 

.

(3.79)

Cada modo lleva asociado un propagador de la forma [p 2 + n2]-1. Para valores de n diferentes de cero, n juega el papel de una masa. En el limite T   todas las frecuencias de Matsubara no nulas son infinitamente grandes. Puesto que las particulas infinitamente pesadas se desacoplan en una teoria de campos a temperatura cero, se puede esperar que ocurra lo mismo para los modos no estaticos n = 0 en teorias de campos a temperatura alta, de modo que una teoria efectiva en tres dimensiones seria suficiente para explicar el comportamiento.
En la seccion 3.3 hemos obtenido la accion efectiva haciendo una separacion del campo gluonico en un background clasico mas una fluctuacion cuantica, e integrando esta ultima a un loop. Se puede adaptar esta tecnica para calcular la accion de la teoria dimensionalmente reducida (que denotaremos en lo sucesivo como L(x)), haciendo lo siguiente:

considerar un background estacionario;

considerar fluctuaciones puramente no estacionarias.

3.6 Teoria efectiva dimensionalmente reducida

57

La integracion de los modos fermionicos y los modos gluonicos no estacionarios va a dar lugar a una teoria efectiva para los restantes modos estacionarios (independientes del tiempo), que consiste en una teoria gauge SU(Nc) en tres dimensiones acoplada con un campo escalar A0. A esto se le llama reduccion dimensional

d4x LQCD(x) - d3x L(x) .

(3.80)

La segunda condicion implica eliminar los modos estaticos n = 0 en todas las sumas de Matsubara. Hay que mencionar que L(x) no es la accion efectiva de la teoria dimen-
sionalmente reducida, sino que es la accion verdadera (en la aproximacion de un loop), en el sentido de que la integral funcional sobre las configuraciones estacionarias con L(x) da
lugar a la funcion de particion.

3.6.1. Eliminacion de los modos estaticos

La eliminacion del modo estatico solo afecta al sector gluonico, y resulta irrelevante
en el sector de quarks, de modo que Lq(x) = Lq(x).3 El sector gluonico a nivel arbol tampoco se ve afectado, de modo que para el nivel arbol renormalizado se tiene

Larbol(x) = Larbol(x) .

(3.81)

La eliminacion del modo estatico en el sector gluonico (para || < 1) corresponde a la

sustitucion    + 1 en la primera  de (3.58). Esto conduce trivialmente a las siguientes

formulas:

L0,g(x)

=

22 3

T

3

tr

2(1 + 2)

,

 = log()/(2i) ,

-1    1 .

L2,g(x)

=

1 (4)2T

tr

11 12

2

log(/4T )

+

1 11

-

()

-

(-)

F2

-

1 3

Ei2

,

(3.82) (3.83)

L3,g(x)

=

1 2

1 (4

)4

1 T3

tr

() + (-)

(3.84)



61 45

F

FF

+

1 3

F2

-

1 30

F2

+

3 5

F02

-

1 15

Ei2i

+

2 15

Ei

Fij

Ej

.

En el potencial efectivo se ha desechado un termino que es independiente de A0. Para los terminos con dimension de masa cuatro y seis se ha hecho uso de la identidad (1 + ) +
(1-) = ()+(-). En estas formulas, F0 indica [A0, F]. Notar que la eliminacion del modo estatico permite que L(x) este libre de divergencias infrarrojas.

3.6.2. Desarrollo en A0 pequen~o
Ademas de tomar A estacionario, consideraremos que A0 es pequen~o (en particular || < 1). Esto es valido a temperatura alta, pues en este regimen el potencial efectivo produce una supresion en las configuraciones de (x) que estan lejos de la unidad. En ausencia
3Notar que existe un factor  extra en L(x).

58

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

de quarks, esto se puede ver como que (x) vive cerca de un elemento del centro del grupo gauge (la rotura espontanea de la simetria del centro indica la fase de desconfinamiento).
Siempre va a ser posible hacer una transformacion gauge para llevar una configuracion a la region || < 1. El considerar esta configuracion es importante, pues unicamente cuando A0 es pequen~o (|| < 1) las fluctuaciones no estaticas son las mas pesadas. Si A0 es pequen~o, podremos desarrollar L(x) en potencias de A0. Notar que en el contaje en dimensiones de masa, el A0 procedente de  tiene dimension 1 ( no tiene dimensiones de masa). Este nuevo contaje no es compatible con invariancia gauge explicita bajo transformaciones grandes, aunque si bajo transformaciones estacionarias topologicamente pequen~as (proximas a la identidad).
El potencial efectivo es un polinomio en A0. De ec. (3.27) y (3.82), se obtiene

L0(x) = -

Nc 3

+

Nf 6

T

A20

+

1 42T

A20

2+

1 122T

(Nc

- Nf )

A40

.

(3.85)

En el resto de esta seccion usaremos la notacion X := tr(X), para la traza en la repre-

sentacion fundamental.

El resultado que se obtiene para los terminos con dimension de masa cuatro se puede

escribir como4

L(4)(x)

=

-

T

1 gE2 (T

)

Ei2

-

1 T gM2 (T )

Bi2

,

(3.88)

con las siguientes constantes de acoplamiento cromoelectricas y cromomagneticas

1 gE2 (T )

=

1 g2()

-

20(log(/4T

)

+

E )

+

1 3(4)2

Nc + 8Nf

log

2

-

1 4

1 gM2 (T )

=

1 g2()

-

20(log(/4T

)

+

E )

+

1 3(4)2

(-Nc

+

8Nf

log

2)

.

, (3.89)

El valor de gM2 (T ) coincide con [65] para Nc = 3. Tambien coincide con [55] (con Nf = 0) si se considera un factor adecuado dependiente de Nc entre la escala  usada en este articulo y nuestra .
Podemos introducir los parametros termicos  electricos y magneticos como [66]

1 gE2 ,M (T )

=

20

log(T /TE,M ) .

(3.90)

4Mediante un reescalamiento de la constante de acoplamiento g y de los campos gauge con factores de renormalizacion convenientemente elegidos, se puede conseguir que L(4)(x) presente el mismo aspecto que el nivel arbol renormalizado a temperatura cero (ec. (3.66)). Es necesario considerar factores diferentes para la componente espacial y temporal de los campos: g  Zg-1/2g, Ai  ZM1/2Ai y A0  ZE1/2A0.

ZM

=

Zg

=

1

+

2g20(log(/4T )

+

E )

-

g2 3(4)2

(-Nc

+

8Nf

log 2)

,

ZE

=

ZM

-

2g2 3(4)2

(Nc

-

Nf )

.

(3.86) (3.87)

3.7 Resultados en SU(2)

59

Estos parametros fijan la escala de ambas constantes de acoplamiento a temperatura alta. De ec. (3.89) se tiene

log(TE /MS)

=

E

-

log(4)

-

Nc

+ 8Nf (log 2 - 22Nc - 4Nf

1/4)

,

log(TM /MS)

=

E

-

log(4)

+

Nc - 8Nf log 22Nc - 4Nf

2

.

(3.91)

Los terminos con dimension de masa seis proceden de L2(x) (desarrollando la funcion digamma hasta orden dos en ) y de L3(x) (a orden cero). Se obtiene5

L(6)(x)

=

-

2 15

 (3) (4)4T

3

2 3

Nc

-

14 3

Nf

F FF + (19Nc - 28Nf ) F2

+(18Nc - 21Nf ) F02 + (110Nc - 140Nf ) A20F2 - (2Nc - 14Nf ) Ei2i

+(4Nc - 28Nf ) EiFijEj + 110 A20 F2 + 220 A0F 2 .

(3.94)

Este resultado coincide con el obtenido en [55], calculado en el sector gluonico y con Nc arbitrario. El lagrangiano de dimension seis ha sido calculado asimismo en [49] para el
sector de quarks y en SU(3), en ausencia de campo cromomagnetico (Ai = 0) y eliminando terminos con mas de dos derivadas espaciales (por ejemplo Ei2i). Nuestro calculo reproduce tambien este resultado. En esta misma referencia se hace el calculo para el sector gluonico,
y tanto nuestro resultado como el de [55] se muestran en desacuerdo con el.

3.7. Resultados en SU(2)

En las secciones precedentes hemos encontrado resultados generales, validos para cualquier grupo gauge en el sector fermionico (seccion 3.2), y para SU(Nc) en el sector gluonico (seccion 3.3). Para el calculo de las trazas en espacio de color es necesario particularizar nuestras formulas a un grupo gauge concreto. Consideraremos aqui especificamente el grupo SU(2).
En esta seccion solo mostraremos los ordenes L0(x) y L2(x). Los resultados completos L0,2,3(x) en ambos sectores aparecen en el apendice C.

5Se ha hecho uso de las identidades siguientes:

tr X2 = 2Nc X2 , X  su(Nc) ,

(3.92)

tr X2Y 2 = 2Nc X2Y 2 + 2 X2 Y 2 + 4 XY 2 , X, Y  su(Nc) .

(3.93)

60

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

3.7.1. Traza en espacio de color

Usaremos como base de su(2) las matrices t = /2i, donde  son las matrices de Pauli.

A0

=

Aa0 ta

=

-

i 2





A0

,

F

=

Fa ta

=

-

i 2





F

,

...

(3.95)

En esta base

[ta, tb] = abctc ,

tr(tatb)

=

-

1 2

ab

.

(3.96)

En el gauge de Polyakov A0 es independiente del tiempo y diagonal en la representacion

fundamental, de modo que resulta especialmente conveniente para nuestro calculo. Para

SU(2), en este gauge tenemos

A0

=

-

i 2

3

,

=

Aa0Aa0 ,

(3.97)

de modo que los valores propios del loop de Polyakov en la representacion fundamental  = exp(-A0) , son exp(i/2) . En la representacion adjunta

A0 = Aa0 Ta , (T a)bc = fbac = -abc

(3.98)

y de aqui se tiene que los valores propios del loop de Polyakov en la representacion adjunta  = exp(-A0), son exp(i) y 1.
Para el sector fermionico, tras calcular la traza en el espacio de color, obtenemos

L0,q(x) =

22 3

T

4Nf

2 - 1 (1 - 42)2 15 4

,

L2,q(x) =

Nf 482

2 log

 4T

-



(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

-

1

Ei2

+

Nf 482

2 log

 4T

-

(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

Bi2 ,

donde

=

 4

+

1 2

(mod

1)

-

1 2

.

En el sector gluonico se obtiene

(3.99) (3.100) (3.101)

L0,g(x) =

2 3

T

4

-

1 5

+

42(1

-

 )2

,

(3.102)

L2,g(x)

=

-

11 482

2 log

 4T

-

1 11

-

()

-

(1

-

)

Ei2

-

11 482

12 T 11 m

+

2 log

 4T

-

1 11

+

E

-

1 2

(

)

-

1 2

(1

-

)

Ei2

-

11 482

2 log

 4T

+

1 11

-

()

-

(1

-

)

Bi2

(3.103)

-

11 482

T m

+ 2 log

 4T

+

1 11

+

E

-

1 2

(

)

-

1 2

(1

-

)

Bi2 ,

3.7 Resultados en SU(2)

61

4

3

2

1

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 3.1: Potencial efectivo a un loop para SU(2) como funcion de /2, en ausencia de
fermiones (linea continua), con un fermion sin masa (rayada) y con dos fermiones (puntos y rayas). Se ha graficado 124L0/2 y se ha eliminado el termino constante.

donde



=

 2

(mod

1) .

(3.104)

Hemos hecho uso del esquema MS, y hemos considerado explicitamente un cutoff in-

frarrojo (ver sec. 3.5). Nuestros resultados son periodicos en . En estas expresiones se

ha hecho

la separacion de los sectores

electrico

y magnetico. Bi

=

1 2

ijk

Fj

k

es el campo

magnetico, y

Ei = Ei + Ei , Bi = Bi + Bi ,

(3.105)

es la descomposicion de los campos electrico y magnetico en la direccion paralela y perpendicular a A0. Esta descomposicion es invariante gauge, siempre y cuando se considere que, en un gauge general, la direccion paralela es aquella que venga indicada por el loop de Polyakov (esto es, aquella que conmuta con el loop de Polyakov), y la perpendicular el resto. En la expresion de L2,g(x) vemos que las componentes paralelas de los campos estan libres de divergencias infrarrojas. Solamente las componentes perpendiculares pueden presentar este tipo de divergencias.
En la figura 3.1 se muestra el comportamiento del potencial efectivo (orden cero del lagrangiano). Observamos que las periodicidades del sector fermionico y del sector gluonico se diferencian en un factor 2.
Los lagrangianos efectivos L2,q(x) y L2,g(x) presentan la siguiente estructura

L2,q(x) = -f1,q()Ei2 - f2,q()Ei2 - h1,q()Bi2 - h2,q()Bi2 , L2,g(x) = -f1,g()Ei2 - f2,g()Ei2 - h1,g()Bi2 - h2,g()Bi2 .

(3.106) (3.107)

Para el sector de quarks se tiene f1,q = f2,q  fq, h1,q = h2,q  hq.

62

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

500 400 300 200 100

-1

-0.5

-100

-200

0.5

1

Figura 3.2: Grafico de 962(f1,q + f1,g) como funcion de /2, en ausencia de fermiones (linea continua), con dos fermiones sin masa (rayada) y con cuatro y ocho fermiones en orden sucesivo (puntos y rayas). Se han eliminado los terminos constantes.

En la figura 3.2 aparece graficada la funcion f1,q() + f1,g(). Notar que f1,g() es singular en  = 0 lo cual es debido a la contribucion del modo cero. El resto de funciones: f2,q() + f2,g() , h1,q() + h1,g() y h2,q() + h2,g(); presentan un comportamiento similar.

3.7.2. Invariancia gauge del resultado

Despues de fijar el gauge de Polyakov (A0 diagonal e independiente del tiempo), aun queda una simetria abeliana residual que consiste en rotaciones gauge arbitrarias independientes del tiempo sobre los generadores de Cartan (3 en el caso de SU(2)), y de una rotacion gauge dependiente del tiempo (tambien sobre los ejes de Cartan) que va a ser discreta para ser compatible con la periodicidad de Ai(x0, x) (ver apendice A). Para una teoria gauge pura SU(2) esta simetria residual corresponde a la siguiente transformacion

A  U -1U + U -1AU ,

U (x0, x) = exp

-i

3 2

((x)

+

x02n/)

,

(3.108)

donde n es un entero. Notar que no podemos hacer rotaciones sobre un eje que no sea
el eje diagonal, ya que esto haria que A0 fuera no diagonal. La dependencia en el tiempo debe ser lineal, ya que en caso contrario se generaria una dependencia temporal en A0. La transformacion gauge (3.108) verifica U(x0 + , x) = (-1)nU(x0, x). La fase (-1)n se debe a la simetria del centro del grupo gauge, que es Z(2). En componentes esta transformacion
es

A03(x) = A30(x) + 2n/ , Ai1(x0, x) = A1i cos  + A2i sin  , Ai2(x0, x) = -A1i sin  + A2i cos  , Ai3(x0, x) = A3i + i(x) ,

(3.109)

3.7 Resultados en SU(2)

63

donde (x0, x) = (x)+x02n/. Notar que la primera ecuacion es equivalente a  = +n. En la figura 3.1 vemos que cuando no hay fermiones los minimos absolutos del potencial
efectivo ocurren para valores enteros de /2, y todos ellos son transformaciones gauge de A0 = 0.
Se puede comprobar que las combinaciones de campos Ei2 , Ei2, Bi2 , y Bi2 quedan invariantes bajo la transformacion (3.109). Por tanto el sector gluonico de la accion efectiva es invariante gauge.
Al introducir fermiones en la teoria la situacion se modifica ligeramente. En general hay mas transformaciones residuales permitidas en una teoria gauge pura SU(Nc) que en una teoria SU(Nc) con fermiones. Los fermiones rompen la simetria del centro del grupo gauge, y la forma mas general de la transformacion U en este caso es

U (x0, x) = exp

-i

3 2

((x)

+

x04

n/

)

,

(3.110)

que es un subgrupo de la anterior. Esta transformacion produce  =  + n, lo cual respeta la periodicidad de todas las funciones (notar que (3.108) no respeta la periodicidad de las funciones L0,q(), fq() y hq()). Como funcion de x0, la transformacion gauge (3.110) es estrictamente periodica en [0, ].
En la figura 3.1 se observa como la inclusion de fermiones da lugar a la rotura de la simetria Z(2). Esta rotura se manifiesta en que los puntos /2 = 2n + 1 dejan de ser minimos absolutos del potencial efectivo y pasan a ser puntos estacionarios. Los minimos absolutos /2 = 2n son transformaciones gauge (3.110) de A0 = 0.

3.7.3. Comparacion con otros resultados
Podemos comparar nuestros resultados en SU(2) en el sector gluonico con los que aparecen en [67], donde se calcula la accion efectiva de una teoria de Yang-Mills SU(2) a altas temperaturas haciendo un desarrollo en derivadas covariantes. Este desarrollo es para configuraciones gauge estacionarias, es a todos los ordenes en A0 y se calculan algunos terminos con hasta cuatro derivadas espaciales. Aqui hemos calculado unicamente los ordenes mas bajos en D0, pues asi es como esta construido el desarrollo del heat kernel, y nuestras configuraciones son generales (no necesariamente estaticas).
El resultado de ref. [67] presenta la estructura de L2,g en (3.107). Puesto que el nuestro no es estrictamente un desarrollo en A0 (el loop de Polyakov no se ha desarrollado, con objeto de preservar invariancia gauge), no es posible hacer una comparacion directa con [67]. Sin embargo en nuestro tratamiento vemos que si la teoria fuera estacionaria, todos los terminos de la forma (D0nF) , n  1, serian cero, pues A0 es diagonal. Esto quiere decir que nuestras funciones f2,g y h2,g no reciben ninguna contribucion adicional mas alla de L2,g. Estas funciones coinciden con las correspondientes de [67]. Por supuesto, el potencial efectivo es correcto a todos los ordenes en A0.
Por otra parte nuestras funciones f1,g y h1,g contienen divergencias infrarrojas, mientras que en el calculo de [67] solo h1,g es divergente.

64

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

3.8. Resultados en SU(3)
En esta seccion consideraremos especificamente el grupo gauge SU(3). Calcularemos el lagrangiano efectivo hasta terminos con dimension de masa 4.

3.8.1. Traza en espacio de color

Usaremos como base de su(3) las matrices ta = a/2i, donde a, a = 1,    , 8, son las matrices de Gell-Mann

A0

=

Aa0 ta

=

-

i 2

aAa0

,

F

=

Fa ta

=

-

i 2

a

Fa

,

...

(3.111)

En esta base

[ta, tb] = fabctc ,

tr(tatb)

=

-

1 2

ab

.

(3.112)

Al igual que en la seccion 3.7, elegimos el gauge de Polyakov, de modo que A0 va a ser

diagonal en la representacion fundamental,



A0

=

-i

3 2

3

-

i

3 2

88

.

(3.113)

Los valores propios del loop de Polyakov en esta representacion son

1 = exp

i

 2

(3

+

8)

,

2 = exp

i

 2

(-3

+

8)

,

3 = exp (-i8) ,

(3.114)

y si definimos las magnitudes A mediante A = exp(i2A), A = 1, 2, 3, vamos a poder expresar el sector fermionico del lagrangiano efectivo en terminos de

1

=

 4

(3

+

8) ,

2

=

 4

(-3

+

8) ,

3

=

-

 2

8

.

Tras calcular la traza en el espacio de color, obtenemos

(3.115)

L0,q(x)

=

-

2T 4Nf 12

-

8 5

+

(1

-

4 21 )2

+

(1

-

4 22 )2

+

(1

-

4 23 )2

,

(3.116)

L2,q (x)

=

Nf 242

log

 4T

-

1 2

Ei2

+

Nf 242

log

 4T

Bi2

-

Nf 12(4)2

f -(1) + f -(2)

(F1 )2 + (F2 )2 + (F3 )2

-

Nf 12(4)2

f -(1) + f -(3)

(F4 )2 + (F5 )2

-

Nf 12(4)2

f -(2) + f -(3)

(F6 )2 + (F7 )2

-

Nf 36(4)2

f -(1) + f -(2) + 4f -(3)

(F8 )2

- Nf 6 3(4)2

f -(1) - f -(2)

F3 F8 ,

(3.117)

3.8 Resultados en SU(3)

65

donde

f -()

=

(

1 2

+

)

+

(

1 2

-

)

,

=



+

1 2

(mod

1)

-

1 2

.

(3.118)

Para el sector gluonico debemos calcular la traza en la representacion adjunta. En esta

representacion

 (A0)ab = (Ac0Tc)ab = -fabcAc0 = -fab33 - fab8 38 ,

(3.119)

donde hemos hecho uso de (T c)ab = facb = -fabc. De aqui se tiene que los valores propios del loop de Polyakov en la representacion adjunta  = exp(-A0) son

1,

1,

exp (i3) ,

exp

i

 2

(3

+

38)

,

exp

i

 2

(3

-

38)

.

(3.120)

El sector gluonico del lagrangiano efectivo se va a poder expresar en terminos de los inva-

riantes

12

=

 2

3

,

31

=

 4

(3

+

38) ,

23

=

 4

(3

-

38) .

(3.121)

Una vez que se calcula la traza en el espacio de color, se obtiene

L0,g(x) =

4 3

2T

4

-

2 15

+

122(1

-

12)2

+

321(1

-

31)2

+

223(1

-

23)2

, (3.122)

L2,g (x)

=

-

1 (4)2

11 log

 4T

-

1 2

Ei2

-

1 (4)2

11 log

 4T

+

1 2

Bi2

-

T 4m

Ei2

+

11 12

Bi2

+

1 (4)2

11 12

f +(0)

+

f +(12)

+

1 2

f

+(31

)

+

1 2

f

+(23

)

(F1 )2 + (F2 )2

+

1 (4)2

11 12

f +(0)

+

1 2

f

+

(12)

+

f +(31)

+

1 2

f

+(23

)

(F4 )2 + (F5 )2

+

1 (4)2

11 12

f +(0)

+

1 2

f

+

(12)

+

1 2

f

+(31)

+

f +(23)

(F6 )2 + (F7 )2

+

1 (4)2

11 12

2f +(12)

+

1 2

f

+

(31)

+

1 2

f

+(23)

(F3 )2

+

1 (4)2

11 8

f +(31) + f +(23)

(F8 )2

+

1 (4)2

11 43

f +(31) - f +(23)

F3 F8 ,

(3.123)

donde

f +() = () + (1 - ) (  Z) ,  =  (mod 1) , f +(0) = -2E .

(3.124)

66

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

6 5 4 3 2 1

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura 3.3: Potencial efectivo a un loop para SU(3) como funcion de . Se considera  = 0 y
se muestra el caso en que no hay fermiones (linea continua), dos fermiones sin masa (puntos y rayas), y fermiones solamente (rayada). Se ha graficado 124L0/2 y se ha eliminado el termino constante.

Al igual que hicimos en SU(2), podemos considerar la descomposicon de los campos en la direccion paralela y perpendicular a A0. La direccion paralela F da cuenta de las componentes 3 y 8. La direccion perpendiculal F da cuenta de las componentes 1, 2, 4, 5, 6 y 7. Notar que el subespacio paralelo esta libre de divergencias infrarrojas.
El nivel arbol renormalizado es

Larbol(x)

=

1 4g2()

F2

.

(3.125)

En las formulas hasta orden 4 en masa las componentes 1 y 2 juegan el mismo papel. Lo mismo ocurre con las componentes 4 y 5, y con las componentes 6 y 7. Hasta este orden, la estructura que encontramos es de cuatro planos bien definidos: el plano paralelo a A0, y tres planos transversales; esto es

L2,q(x) + L2,g(x) =

f12(3, 8)((Ei1)2 + (Ei2)2) + f45(3, 8)((Ei4)2 + (Ei5)2)

+ f67(3, 8)((Ei6)2 + (Ei7)2) + f33(3, 8)(Ei3)2 + f88(3, 8)(Ei8)2

+ f38(3, 8)(Ei3Ei8)

+ (misma estructura para BiBi) .

(3.126)

Se puede comprobar que, eligiendo los generadores del algebra del grupo de manera conveniente, la estructura general que se obtiene para SU(Nc) en nuestro desarrollo hasta orden 4 es de un plano paralelo con Nc-1 componentes, y Nc(Nc-1)/2 planos transversales, cada uno de ellos formado por dos componentes. Las divergencias infrarrojas solamente van a afectar a estos ultimos.

3.8 Resultados en SU(3)

67

6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

Figura 3.4: Potencial efectivo a un loop para SU(3) como en fig. 3.3, pero en la direccion de 3. Se ha graficado como funcion de  y se considera  = 0.

3.8.2. Invariancia gauge del resultado

Con el fin de graficar las funciones definimos las magnitudes  y  como



=

 2

3

,



=

 2

8

.

(3.127)

En la figura 3.3 se muestra el potencial efectivo en la direccion de 8. Cuando no hay fermiones los unicos minimos del potencial en esta direccion ocurren en los puntos  = 2n/3 que son justamente transformaciones gauge de  = 0. En la figura 3.4 aparece el potencial efectivo en la direccion de 3. Los minimos absolutos son nuevamente transformaciones gauge de  = 0, pero aparecen ademas minimos locales en  = 2n + 1. En una grafica del potencial efectivo en dos dimensiones (figura 3.5) se puede observar que estos minimos locales en realidad son crateres que caen hacia minimos absolutos en (, ) = (2n + 1, 1/3). En todos estos minimos la matriz  = exp(-A0) tiene los mismos valores propios, de modo que todos ellos son transformaciones gauge de  = 1.
Como se comenta en el apendice A la introduccion de fermiones rompe la simetria del centro del grupo gauge. La rotura de esta simetria se manifiesta en la aparicion de minimos locales. En la figura 3.3 podemos observar que el minimo absoluto en  = 2/3 para la teoria sin fermiones se transforma, con la inclusion de estos, en un minimo local. Esto es asi ya que el minimo absoluto de la parte gauge del potencial efectivo coincide con el maximo de la parte fermionica. En general, como podemos observar en las figuras 3.5 y 3.6, cada minimo local de la teoria gauge con fermiones se corresponde exactamente con un minimo absoluto de la teoria gauge pura. Con el fin de ilustrar el comportamiento de las funciones que aparecen en L2, en la figura 3.7 se muestra la funcion f45 en la direccion de 8. La parte bosonica de la funcion presenta singularidades en  = 2n/3 lo cual es debido a la contribucion del modo cero. El comportamiento en la direccion de 3 es parecido al de la figura 3.2.

68

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

Figura 3.5: Grafico de contorno del potencial efectivo a un loop para SU(3) como funcion de  (eje horizontal) y  (eje vertical) para una teoria gauge pura.
3.8.3. Comparacion con otros resultados
En [68], al igual que en [55], se calcula la accion efectiva a un loop de una teoria de YangMills SU(Nc) haciendo un desarrollo en derivadas covariantes. El resultado no es covariante gauge pues se considera un desarrollo en potencias de A0(x). Como consecuencia de ello el potencial efectivo que se obtiene no es periodico y solo se aproxima al exacto cuando A0  0. De todas formas en [68] se considera el potencial efectivo exacto, que es conocido y ha sido calculado por nosotros, y se hace un estudio en el caso especifico de una teoria gauge SU(3) incluyendo fermiones. Hemos comprobado que sus resultados coinciden con los nuestros.

3.9. Conclusiones
En este capitulo se ha hecho un estudio de la accion efectiva de QCD a un loop a temperatura finita en la region de interes fenomenologico correspondiente a la fase de plasma de quarks y gluones. Para tal fin hemos usado la tecnica del heat kernel del capitulo 2, que nos ha permitido calcular el determinante fermionico y el determinante bosonico correspondiente a fluctuaciones gluonicas cuanticas en torno a un background clasico (es el conocido como Metodo del Campo de Fondo).
El desarrollo del heat kernel se corresponde en este caso con un desarrollo en derivadas, organizado de un modo muy eficiente. Hemos conseguido reproducir resultados parciales

3.9 Conclusiones

69

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

Figura 3.6: Igual que fig. 3.5, pero con dos fermiones sin masa.

1000 750 500 250

-1

-0.5

-250

-500

-750

-1000

0.5

1

Figura 3.7: Grafico de -962f45 como funcion de . Se considera  = 0 y se muestra el caso en que no hay fermiones (linea continua), un fermion sin masa (rayada), y ocho fermiones (puntos y rayas). Se han eliminado los terminos constantes y ciertas divergencias que surgen al tomar  = 0.

70

Capitulo 3: Accion efectiva de QCD a temperatura alta

previos, y extenderlos hasta orden T -2 incluyendo los efectos del loop de Polyakov, para un grupo gauge general SU(Nc). Se ha calculado la accion de la teoria efectiva dimensionalmente reducida hasta ese mismo orden. Finalmente se han particularizado las formulas para los grupos gauge SU(2) y SU(3), lo cual ha permitido comparar con trabajos previos.
Un punto de especial relevancia es la invariancia gauge de nuestros resultados. Hemos estudiado la invariancia frente a la simetria del centro Z(Nc) del grupo gauge SU(Nc) en la teoria sin fermiones, y se ha estudiado explicitamente el mecanismo por el cual los fermiones rompen esta simetria del centro.

Capitulo 4
Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase
4.1. Introduccion
El loop de Polyakov juega un papel teorico muy importante en QCD a temperatura finita. Representa el propagador de un quark estatico test y por tanto es crucial para entender el mecanismo de la transicion confinamiento-desconfinamiento. En [69, 70] se encuentra su relacion con la energia libre de un quark pesado, de tal modo que un valor esperado nulo del loop de Polyakov en quenched QCD indica la fase de confinamiento. La simetria global Z(Nc) se encuentra espontaneamente rota en la fase de desconfinamiento [71]. El loop de Polyakov constituye un parametro de orden natural para esa transicion de fase; bajo transformaciones de gauge periodicas L es un objeto invariante, pero bajo una transformacion de 't Hooft adquiere un factor, que es un elemento del centro del grupo gauge. Diversas teorias efectivas para el loop de Polyakov han sido propuestas en [72]. (Para un analisis detallado ver, por ejemplo, [20]).
Al comienzo de los an~os ochenta, el calculo perturbativo del loop de Polyakov hasta segundo orden (NLO) fue hecho por Gava y Jengo [23]. Estos resultados muestran que a temperaturas suficientemente grandes el loop de Polyakov renormalizado se aproxima a uno por encima.1 No se han hecho muchos progresos desde este primer resultado. Actualmente no existen calculos perturbativos del loop de Polyakov mas alla de NLO. Tal y como se menciona en [23], un calculo directo conduciria a la aparicion de un gran numero de diagramas de Feynman debido a las divergencias infrarrojas [73]. En este capitulo discutiremos una aproximacion diferente, relacionada con la tecnica de reduccion dimensional.
Desde el punto de vista no perturbativo, el loop de Polyakov desnudo ha sido frecuentemente estudiado en calculos numericos de teorias gauge en el reticulo. No obstante, solo recientemente se ha conseguido una definicion conveniente del loop de Polyakov renormalizado. El metodo introducido en ref. [21] para QCD quenched permite calcular el loop de Polyakov a partir del potencial quark-antiquark a temperatura finita, obtenido de la fun-
1El valor esperado del loop de Polyakov desnudo se anula en el limite al continuo en cualquier fase.
71

72

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

cion de correlacion de dos loops de Polyakov separados. La comparacion con el potencial a temperatura cero para separaciones pequen~as permite una determinacion muy precisa de la autoenergia del quark, que debe ser extraida.
Las temperaturas grandes estan relacionadas con regiones cinematicas donde se manifiesta la rotura de la simetria Lorentz, y se corresponden con momentos euclideos grandes para una teoria cuantica de campos a temperatura cero. En regularizacion dimensional en el esquema MS se encuentra que a una temperatura dada T le corresponde una escala euclidea   4T [66], de modo que para Tc = 270 MeV se tiene  = 3 GeV. En este regimen es de esperar que las ideas del desarrollo en producto de operadores (en ingles Operator Product Expansion, OPE) se puedan aplicar, y mas especificamente a temperaturas no tan grandes los condensados y las correcciones en potencias de la temperatura deberian de jugar un papel importante. En realidad, siguiendo algunas sugerencias antiguas [74], requisitos fenomenologicos [75], estudios teoricos [76] y analisis en el reticulo [77, 78, 79] hay actualmente una evidencia creciente de que el condensado invariante BRST de orden mas bajo es de dimension 2. Este condensado es en general no local, pero en el gauge de Landau se convierte en un operador local A2,a , donde A,a es el campo del gluon. El condensado A20,a tambien aparece como un parametro en el calculo de la presion a temperatura finita [80].
El loop de Polyakov esta estrechamente relacionado con el valor esperado de A20,a (como veremos, el resultado perturbativo a NLO se puede obtener de esta manera), de modo que las contribuciones del condensado a esta magnitud tendran un impacto inmediato sobre el loop de Polyakov. En este capitulo estudiaremos la existencia de contribuciones no perturbativas a este condensado gluonico. La situacion es similar a lo que ocurre con el potencial quark-antiquark en QCD a temperatura cero, como funcion de la separacion del quark y el antiquark. En esta caso, la teoria de perturbaciones describe bien la region de cortas distancias, donde la teoria es debilmente interactuante y el intercambio de un gluon produce un potencial tipo Coulomb. A distancias grandes surge el confinamiento y los datos del reticulo sugieren un potencial de tipo lineal [81].
En la seccion 4.4 se analizaran los datos en el reticulo del loop de Polyakov en base a estas ideas.
Este capitulo esta basado en las referencias [82, 83].

4.2. Loop de Polyakov perturbativo
Con objeto de incluir posteriormente posibles contribuciones provenientes de condensados, trataremos de reproducir en esta seccion el resultado perturbativo a orden mas bajo para el loop de Polyakov mendiante la tecnica de reduccion dimensional. Ademas, esto nos permitira discutir algunas propiedades de las contribuciones perturbativas de orden superior.

4.2 Loop de Polyakov perturbativo

73

4.2.1. Resultados perturbativos

El (valor esperado del) loop de Polyakov se define como

L(T ) =

1 Nc

trc

T

eig

1/T 0

dx0 A0 (x,x0 )

,

(4.1)

donde indica valor esperado en el vacio, trc es la traza de color (en representacion fundamental), y T indica ordenacion a lo largo del camino de integracion. A0 es la componente temporal del campo gluonico (en tiempo euclideo). El campo gauge A0(x) es un elemento del algebra de Lie de SU(Nc), y puede ser representado como A0 = a TaA0,a, donde Ta son los generadores hermiticos del algebra de Lie de SU(Nc) en la representacion fundamental. En lo sucesivo consideraremos la normalizacion estandar tr(TaTb) = ab/2.
Al ser un operador compuesto, el loop de Polyakov es subceptible de ser renormalizado.
En refs. [84, 85, 86, 87] se estudia la renormalizabilidad del loop de Polyakov en el contexto
de teoria de perturbaciones, donde se muestra el hecho de que se puede renormalizar
perturbativamente, sin mezcla con otros operadores. El calculo perturbativo de L(T ) en
gluodinamica pura a temperaturas altas fue realizado a comienzos de los an~os ochenta
por Gava y Jengo [23]. Tras incluir efectos de polarizacion de vacio a temperatura finita
a traves de la insercion de la masa de Debye, el termino de orden mas bajo resulta ser el O(g3), en lugar del que en un principio cabria esperar O(g2). Este calculo se hizo en el gauge de Landau hasta NLO (O(g4)). El resulado es

L(T )

=

1

+

1 16

Nc2 - Nc

1

g

2

mD T

+

Nc2 - 322

1

g4

log

mD 2T

+

3 4

+ O(g5) .

(4.2)

Este resultado es muy antiguo, y hoy en dia no se dispone de calculos a ordenes superiores. La masa de Debye mD controla el apantallamiento de los modos cromoelectricos en el plasma, y a un loop se escribe [63]

mD = gT (Nc/3 + Nf /6)1/2 .

(4.3)

La dependencia en temperatura de la constante de acoplamiento g se obtiene del analisis estandar del grupo de renormalizacion, y es de esperar que (4.2) constituya una buena aproximacion a temperatura suficientemente alta. Notemos que L(T ) se hace mayor que 1, lo cual implica que el loop de Polyakov renormalizado no es una matriz unimodular.

4.2.2. Reduccion dimensional

En la seccion 3.6 se obtuvo la accion de la teoria efectiva dimensionalmente reducida
de QCD a un loop y en el gauge de Landau. Esta teoria queda descrita por la accion tridimensional d3xL3(x) [44, 55, 65, 66], donde

T L3(x)

=

m2D tr(A20 )

+

g4() 42

(tr(A20

))2

+

g4() 122

(Nc

-

Nf )tr(A40)

+

g2() gE2 (T )

tr([Di,

A0]2)

+

g2() gM2 (T )

1 2

tr(Fi2j

)

+

T L3

.

(4.4)

74

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

g() es la constante de acoplamiento de QCD en el esquema MS (usada tambien en la formula del loop de Polyakov (4.2) y en la masa de Debye (4.3))

1 g2()

=

20 log(/MS) ,

0 = (11Nc/3 - 2Nf /3)/(4)2

(4.5)

y las constantes de acoplamiento cromoelectricas y cromomagneticas vienen dadas por

ec. (3.89). El termino restante L3 es no renormalizable y contiene operadores de dimension 6 o mayores (ver ec. (3.94)). Ademas existen terminos que contribuyen mas alla de

un loop y terminos constantes (indenpendientes de los campos) que son relevantes para el

calculo de la presion.

Para obtener el loop de Polyakov a orden mas bajo necesitaremos unicamente los termi-

nos de masa y de energia cinetica del campo A0 (terminos primero y cuarto respectivamente en ec. (4.4)). Para simplificar la notacion, en el resto del capitulo trabajaremos con un cam-

po A0 reescalado

A0(x)

=

g() gE(T )

AM0 S

(x)

,

(4.6)

donde AM0 S es el campo gluonico que aparece en formulas previas. A todos los efectos, el uso de la masa de Debye y la formula del loop de Polyakov ec. (4.1) que depende del producto
de gA0, es equivalente al uso del nuevo campo A0 junto con gE(T ) como constante de acoplamiento. A partir de ahora denotaremos esta constante como g(T ) o simplemente g,

L3(x)

=

m2D T

tr(A20)

+

1 T

tr([Di,

A0]2)

+







,

1 g2(T )

=

20 log(T /E) ,

(4.7)

con

E

=

MS 4

exp

E

-

Nc

+ 8Nf (log 2 - 22Nc - 4Nf

1/4)

.

(4.8)

En el calculo de la presion de QCD se puede fijar el gauge de cualquier forma para integrar los modos no estacionarios. Por esta razon se suelen utilizar los gauges covariantes, pues los calculos resultan mas faciles en estos gauges. Para el loop de Polyakov la situacion es diferente, pues los gauges estaticos resultan mas convenientes [63]. Tal y como se muestra en el apendice A, un gauge estatico es aquel en el que 0A0 = 0, y no implica perdida de generalidad ya que este gauge siempre existe. En el gauge estatico la ec. (4.1) se escribe

L(T ) = 1 tr eigA0(x)/T . Nc

(4.9)

Notar que L unicamente depende de los modos estacionarios de A0, de modo que si integramos los modos no estacionarios no existira perdida de informacion en el loop de Polyakov.
El modo estacionario A0(x) coincide con el logaritmo de loop de Polyakov unicamente en el gauge estatico. Por desgracia, el resultado perturbativo de L3(x), ec. (4.7), solo se conoce

4.2 Loop de Polyakov perturbativo

75

en los gauges covariantes. Por tanto, en un gauge covariante la accion efectiva de los modos estacionarios resulta insuficiente para obtener los valores esperados del loop de Polyakov. El uso del modo estacionario en (4.9) equivale a eliminar el operador de ordenacion a lo largo del camino de integracion T en la definicion del loop de Polyakov (4.1), dando lugar a una dependencia en el gauge. No obstante, como mostraremos en la subseccion siguiente, la dependencia en el gauge unicamente afectara mas alla de NLO, y seremos capaces de reproducir los dos terminos de (4.2) mediante el uso de las formulas de [60] para la densidad de energia de vacio.
Si hacemos un desarrollo en serie de L(T ) en ec. (4.9), se obtiene

L(T )

=

1

-

g2 2T 2

1 Nc

tr(A20)

+

g4 24T 4

1 Nc

tr(A40)

+ .

(4.10)

En esta formula hemos usado que tr(A0) es cero. Es de esperar que el resto de ordenes impares en el campo gluonico se anulen debido a la simetria de conjugacion de QCD, A(x)  -AT (x). La contribucion de orden mas bajo tr(A20) tiene dimensiones de masa al cuadrado, de modo que esta contribucion no existiria en un calculo a temperatura cero. A temperatura finita debe de escalar como T 2 (modulo correcciones radiativas con una debil
dependencia en T , que incluyen el running de la constante de acoplamiento y dimensiones
anomalas).
Sea D00(k)ab la componente temporal del propagador en espacio de momentos para los campos gauge normalizados canonicamente T -1/2A0,a(x). Integrando el propagador obtenemos el valor esperado de los campos

A20,a = (Nc2 - 1)T

d3k (2)3

D00

(k)

.

(4.11)

A orden mas bajo en teoria de perturbaciones, el propagador se escribe

D0P0ert(k)

=

k2

1 + m2D

.

(4.12)

Si introducimos (4.12) en (4.11) obtenemos la contribucion perturbativa de orden mas bajo

para el condensado gluonico de dimension dos (hacemos uso de las reglas de regularizacion

dimensional)

A20,a

Pert

=

-(Nc2

-

1)

T mD 4

.

(4.13)

Este resultado introducido en ec. (4.10) (y usando que tr(A20) = A20,a/2) reproduce el valor perturbativo de L(T ) hasta orden O(g3).

En la figura 4.1 se compara el valor perturbativo de L(T ) en ec. (4.2) con datos del

reticulo obtenidos recientemente en gluodinamica pura y Nc = 3 [21]. Podemos observar

que en la region de temperatura alta, T proximo a 6Tc, los valores del reticulo para L(T ) son mayores que 1, tal y como predice el calculo perturbativo. Ademas el valor numerico

en esta region es consistente con teoria de perturbaciones. Este acuerdo desaparece rapi-

damente a medida que nos aproximamos a la temperatura critica: los datos del reticulo

76

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

L(T)

1.4

LO

NLO

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

NNff==00,,NN==48,,

Ref.[21] Ref.[21]

0

1

2

3

4

5

6

7

T/Tc

Figura 4.1: Dependencia en temperatura del loop de Polyakov renormalizado en gluodinamica (Nc = 3). Los datos en el reticulo son de ref. [21]. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO de ec. (4.2). La curva es un ajuste del parametro b en ec. (4.32) con los datos del reticulo.

decrecen hasta producir una transicion de fase (en este caso de primer orden), mientras que la curva perturbativa crece ligeramente. Como es de esperar, el resultado perturbativo es lentamente variable con la temperatura, pues esta variacion procede de correcciones radiativas logaritmicas.

4.2.3. Resultados perturbativos a ordenes superiores

En la seccion (4.2.2) discutimos la tecnica de reduccion dimensional y llegamos a obtener el valor perturbativo de L(T ) a orden mas bajo en teoria de perturbaciones O(g3). En este apartado vamos a hacer una discusion de las contribuciones de ordenes superiores al loop de Polyakov.
El lagrangiano renormalizable tridimensional tiene la siguiente estructura

Lr3en(x)

=

1 2

tr(Fi2j

)

+

tr([Di,

A0]2)

+

m23tr(A20)

+

1(tr(A20))2

+

2tr(A40)

,

Di = i - ig3Ai .

(4.14)

con A  T -1/2A, m3  gT , g3  T 1/2g, y 1  2  g4T . Para Nc = 2 y Nc = 3 el termino 2 es redundante y podemos considerar 2 = 0.
La densidad de energia de vacio de esta teoria, (g3, m3, 1), ha sido calculada hasta cuatro loops en [60], con g3, m3 y 1 como parametros independientes. Esto permite calcular los condensados A20 y A40 tomando derivadas de  con respecto a m23 y 1 respectivamente, lo cual va a permitir obtener sucesivos ordenes perturbativos del loop de Polyakov mediante
ec. (4.10).

4.2 Loop de Polyakov perturbativo

77

La estructura general de la densidad de energia de vacio es [60]

-1

(g3, m3, 1) =

fk m43-g32k1-k-1 ,

1 k=0

(4.15)

donde  indica el numero de loops y los coeficientes fk dependen logaritmicamente de m3. Para las magnitudes que aparecen en (4.10) se tiene

g2 T2

tr(A20)

g4 T4

tr(A40)



g2 (g3, m3, 1)

T

m23



1

3
gn ,
n=+2



g4 T2

(g3, m3, 1) 1



2

3
gn .
n=+4

(4.16)

Teniendo en cuenta que en ref. [60] se calcula la densidad de energia de vacio hasta 4 loops, la primera contribucion a L(T ) que no se tendria en cuenta seria O(g7), correspondiente a  = 5 en el termino tr(A20) . La contribucion de orden mas bajo de tr(A40) a 5 loops es O(g9), y la primera contribucion de tr(A60) , no disponible en el calculo, comenzaria en O(g9) a 3 loops. Esto quiere decir que en principio, con el resultado de [60] se podria extender el resultado perturbativo de L(T ) hasta O(g6). Desafortunadamente las relaciones
que conectan los parametros de la teoria dimensionalmente reducida m3, g3 y 1 con los correspondientes de QCD en cuatro dimensiones solamente se conocen en gauges covarian-
tes, para los cuales la relacion (4.9) no se cumple. En particular, la razon g()/gE(T ) tiene una dependencia en el gauge que comienza en O(g2) para las contribuciones de dos loops, lo cual daria lugar a una dependencia en el gauge a O(g5) en L(T ).
Deberiamos estudiar asimismo la contribucion de los terminos no renormalizables L3. Los terminos de orden mas bajo de ese tipo son [44, 55]

L3

=

g T

2 2

tr([Di

,

F

]2)

+

g3 T 3/2

tr(F3

)

+

g4 T

tr(A20

F2

)

.

(4.17)

Si tenemos en cuenta la relacion efectiva Di  gT , el primer termino corresponde a una correccion O(g4) en la energia cinetica, de modo que comenzara a contribuir a O(g7) como

una correccion del LO en L(T ). Los otros terminos son de orden superior.

Teniendo en cuenta las relaciones (4.16) y la ecuacion (4.10), reproducimos el termino de orden O(g4) que aparece en el resultado de Gava y Jengo, ec. (4.2). Encontramos asimismo la siguiente contribucion de orden O(g5) en L(T )

O(g5)

=

(Nc2 - 1)g4T mD 3843

-

m2D (gT )2

(9Q

+

3cm

+

4Nf

+

2Nc(6

-

7))

+ Nc2 (89 + 42 - 44 log 2) , 4

(4.18)

donde

Q

=

22 3

Nc

log

 T

-

4 3

Nf

log

4 T

,

cm

=

10Nc2

+ 2Nf2 6Nc +

+ 9Nf /Nc 3Nf

,

(4.19)

78

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

y T = 4e-E T es la escala termica estandar que surge en la reduccion dimensional perturbativa en el esquema MS. mD viene dada por ec. (4.3).  es un parametro que depende del gauge.
Si bien los terminos O(g5) + O(g6) tienen una dependencia en el gauge, numericamente se observa que no producen una contribucion sustancial a L(T ), pues son cualitativamente y cuantitativamente similares a los obtenidos en [23]. Nuevamente la naturaleza radiativa de estos terminos perturbativos produce una dependencia logaritmica en temperatura que es muy plana.
Encontramos que teoria de perturbaciones resulta ser incapaz de explicar el comportamiento que se observa en el reticulo del loop de Polyakov en el regimen Tc < T < 6Tc (ver figura 4.1), y este hecho refuerza la necesidad de incluir en el calculo efectos no perturbativos.

4.2.4. Ansatz gaussiano

Con objeto de simplificar el tratamiento, consideraremos que en la fase de desconfi-
namiento el campo A0(x) se encuentra suficientemente bien descrito por una distribucion gaussiana. En este caso, todos los valores esperados conexos de A0 mas alla de A20 se anulan, y haciendo uso del desarrollo estandar en cumulantes, se encuentra

L = exp

-

g2 A20,a 4NcT 2

(4.20)

de modo que2

A20,a

Pert

=

-

Nc2 - 4

1

mD

T

-

Nc

(Nc2 8

-
2

1)

g

2

T

2

log

mD 2T

+

3 4

+ O(g3) .

(4.21)

De (4.16) se observa que la contribucion a L(T ) proveniente de A40 comienza en O(g6), de modo que el ansatz gaussiano sera valido hasta orden O(g5) a temperatura suficientemente alta, donde la teoria se convierte en debilmente interactuante debido a la propiedad de libertad asintotica. Es exacto en el limite de Nc grande ya que los valores esperados conexos de ordenes mayores se encuentran suprimidos por potencias de 1/Nc. A20,a escala como Nc2 - 1, de modo que L tiene un limite bien definido para Nc  , con la prescripcion estandar de mantener fijo g2Nc.
Los calculos en el reticulo muestran una distribucion gaussiana para el loop de Polyakov [88]. El ansatz gaussiano es equivalente a desarrollar la exponencial en ec. (4.9), promediar sobre grados de libertad de color y finalmente hacer uso de la hipotesis de saturacion de vacio ( A20k = (2k - 1)!! A20 k), usada habitualmente en las reglas de suma de QCD a temperatura cero. En este contexto el loop de Wilson fue discutido en ref. [89] mediante el uso del condensado gluonico estandar de dimension 4, dando como resultado un termino
2Esta formula es valida tambien para la teoria unquenched, puesto que hasta este orden Nf unicamente aparece a traves de la masa de Debye.

4.3 Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov

79

proporcional al cuadrado del area del contorno para contornos pequen~os. El problema fue discutido nuevamente en ref. [90] en el contexto de condensados de dimension 2, dando lugar a una ley proporcional al area. Esto se muestra de acuerdo con la observacion de ref. [75] de que los condensados de dimension 2 podrian considerarse de manera efectiva como masas gluonicas taquionicas, lo cual proporciona el comportamiento a cortas distancias de las fuerzas que son confinantes a distancias grandes.

4.3. Contribuciones no perturbativas en el loop de Polyakov

En la seccion 4.2 de este capitulo hemos hecho un estudio de las contribuciones pertur-
bativas para el loop de Polyakov, y encontramos que teoria de perturbaciones reproduce
unicamente los datos del reticulo a temperaturas suficientemente altas (T  6Tc). Este hecho aparece ilustrado en la figura 4.1.
Nuestra motivacion para dar cuenta de las contribuciones no perturbativas puede en-
tenderse bien si se muestra la analogia que existe con el potencial quark-antiquark a tem-
peratura cero en QCD quenched. Este potencial se puede obtener a partir de la funcion
de correlacion de dos lineas de Wilson. El regimen perturbativo del potencial Vqq(r) es el correspondiente a separaciones pequen~as, donde el potencial es aproximadamente coulom-
biano. Para separaciones del orden de 1/QCD (no existe otra escala en gluodinamica) surge un termino lineal confinante que comienza a ser dominante [81]. Estas dos contribuciones
del potencial evolucionan bajo el grupo de renormalizacion siguiendo una ley logaritmica.
Por tanto, modulo correcciones radiativas, rVqq(r) esta formado por una parte perturbativa que es constante y por un termino del tipo QCD r2 que es no perturbativo. De manera analoga, a temperaturas grandes podemos considerar el comportamiento de la magnitud adimensional tr(A20) /T 2, que tambien esta directamente relacionada con la funcion de correlacion de dos lineas de Wilson termicas. El analogo de la escala r en el caso anterior es aqui la escala 1/T , y por suspuesto para T grande la magnitud tr(A20) /T 2 es perturbativa y plana (modulo una dependencia logaritmica). A temperaturas no tan grandes habria
que considerar la posibilidad de que surjan terminos no perturbativos en potencias del tipo 2QCD/T 2.
Con objeto de dar cuenta de contribuciones no perturbativas provenientes de conden-
sados gluonicos, consideraremos en el propagador D00(k) nuevos terminos fenomenologicos con parametros dimensionales positivos. En concreto

D00(k) = D0P0ert(k) + D0N0o Pert(k) ,

(4.22)

con el termino no perturbativo

D0N0o

Pert(k)

=

(k2

m2G + m2D)2

.

(4.23)

Este ansatz es equivalente al que se realiza a temperatura cero en presencia de condensados

[74, 75]. Si introducimos ec. (4.23) en ec. (4.11), podemos ver que este termino nuevo genera

80

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

una contribucion no perturbativa para el condensado:

A20,a

No Pert

=

(Nc2 - 1)T m2G 8mD

.

(4.24)

Si suponemos que el parametro mG es independiente de la temperatura (salvo correcciones radiativas), el condensado sera asimismo T-independiente (modulo esas mismas correccio-

nes radiativas). En terminos del condensado, la contribucion no perturbativa al propagador

se escribe

D0N0o Pert(k)

=

8 mD Nc2 - 1 T

A20,a No Pert (k2 + m2D)2

.

(4.25)

Notar que un condensado positivo A20,a No Pert indica lo que seria una masa gluonica taquionica -m2G, al igual que en ref. [75].
Si hacemos uso del ansatz gaussiano, ec. (4.20), y sumamos las contribuciones perturbativa y no perturbativa de A20,a , se obtiene

- 2 log L =

g2 A20,a Pert 2NcT 2

+

g2

A20,a No Pert 2NcT 2

.

(4.26)

El hecho de que A20,a Pert escale como T 2 mientras que A20,a No Pert sea independiente de la temperatura (modulo correcciones radiativas), sugiere que la formula anterior se pueda
reescribir de la siguiente forma

- 2 log L = a + b

Tc T

2
,

(4.27)

donde se espera que los parametros a y b tengan una dependencia debil en temperatura. Esta formula muestra que la contribucion no perturbativa da lugar a una dependencia en temperatura que sigue una ley de potencia, la cual no esta presente en los calculos perturbativos.

4.4. Comparacion con datos del reticulo

Recientemente se han desarrollado diferentes metodos para renormalizar el loop de Polyakov en el reticulo. Por supuesto, estos calculos son completamente no perturbativos. Uno de los procedimientos de renormalizacion se basa en el calculo de funciones de correlacion singlete y octete a temperatura finita de una pareja de quark y antiquark pesados [21, 22]

e-F1(x,T )/T +C(T )

=

1 Nc

Tr desn(x) desn(0)

,

(4.28)

e-F8(x,T )/T +C(T )

=

1 Nc2 - 1

Tr desn(x) Tr desn(0)

-

1 Nc(Nc2

-

1)

Tr desn(x) desn(0)

.

4.4 Comparacion con datos del reticulo

81

-2log(L)

2

1.5

Nf=0, Nf=0,

NN==48,,

Ref.[21] Ref.[21]

N=4

1

a + b(Tc/T)2

N=8

0.5

0

LO

NLO

-0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Tc/T)2

Figura 4.2: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinamica (Nc = 3) frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transicion de fase. Los datos del reticulo son de ref. [21]. En los ajustes se usa ec. (4.27) con a y b como parametros libres, y datos del reticulo por encima de 1,03 Tc para N = 4 y N = 8. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO para Nf = 0.

En estas formulas desn(x) indica el operador loop de Polyakov desnudo (sin renormalizar) localizado en el punto x. Los dos loops de Polyakov se renormalizan mediante la extraccion de la autoenergia del quark (que es dependiente de T , pero independiente de la separacion), de tal modo que se reproduzca a pequen~as distancias el potencial quark-antiquark estandar a temperatura cero. El valor esperado del loop de Polyakov se obtiene considerando en las formulas anteriores el limite de separacion grande. Si R(x) denota el loop de Polyakov renormalizado en el punto x,

1 Nc

Tr R(x) R(0)

= 1 e-C(T ) Tr desn(x) desn(0) Nc

= e-F1(r,T )/T - L2(T ) . r

(4.29)

Tal y como muestran los autores de [21], existe una ambiguedad en su procedimiento, que corresponde a an~adir una constante al potencial quark-antiquark a temperatura cero. Esta ambiguedad se traduce en una ambiguedad aditiva en F1(r, T ) en ec. (4.29), lo cual conduciria a un termino del tipo 1/T en log(L(T )). Para eliminar esta ambiguedad los autores han adoptado la prescripcion de Cornell, que consiste en elegir v1 = 0 en Vqq(r)  v0/r + v1 + v2r.

4.4.1. Resultados en gluodinamica
En ref. [21] se hace un estudio del loop de Polyakov renormalizado, siguiendo el metodo sen~alado anteriormente, para gluodinamica pura y Nc = 3. Motivado por el resultado de nuestro modelo, ec. (4.27), en la figura 4.2 mostramos los datos en el reticulo de -2 log L(T )

82

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

frente a (Tc/T )2. Se observa que los datos presentan un comportamiento practicamente lineal. Este patron es claramente diferente del que predice teoria de perturbaciones, que es mucho mas plano, y muestra de manera inequivoca la existencia de la correccion en potencias de temperatura tipica de un condensado de dimension 2.
Si identificamos (4.27) con (4.26) obtenemos las siguientes relaciones:

a

=

-

1 8

Nc2 - Nc

1

g2

mD T

-

Nc2 - 162

1

g4

g2 A20,a No Pert = 2NcTc2b .

log

mD 2T

+

3 4

+ O(g5) , (4.30) (4.31)

Haremos un primer ajuste de los datos del reticulo considerando para a el valor que predice teoria de perturbaciones a NLO (4.30), y dejando b como parametro libre

- 2 log L = aNLO + b

Tc T

2
.

(4.32)

El resultado se muestra en la tabla 4.1.

N

b

g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF

4 2.20(6)

(0,98(2))2

0.75

8 2.14(4)

(0,97(1))2

1.43

Cuadro 4.1: Resultado del ajuste con ec. (4.32) de los datos en el reticulo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinamica [21]. Se han incluido datos por encima de 1,03 Tc. El valor del condensado se ha obtenido a partir de b y la ecuacion (4.31).

En el ajuste hemos incluido datos del reticulo para temperaturas por encima de 1,03 Tc. Hacemos uso de Tc/MS = 1,14(4) [81, 91], y Tc = 270(2) MeV [91]. En el resto de esta seccion usaremos la constante de acoplamiento que se obtiene de la funcion beta hasta tres
loops y E de ec. (4.8) como parametro de escala. Si suponemos que la diferencia entre los dos resultados del reticulo (N = 4 y N = 8) es debida unicamente a efectos de cutoff finito, y consideramos que el efecto principal va como 1/N , encontramos como estimacion para g2 A20,a No Pert en el limite del continuo (0,95(4) GeV)2.
Hemos considerado tambien un segundo ajuste de los datos del reticulo considerando a
y b parametros libres. El resultado se muestra en la tabla 4.2.

N

a

b

g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF

4 -0.27(5) 1.81(13)

(0,89(3))2

1.07

8 -0.23(1) 1.72(5)

(0,87(2))2

0.45

Cuadro 4.2: Igual que tabla 4.1, con a y b como parametros libres.

4.4 Comparacion con datos del reticulo

83

Los valores de 2/DOF son ligeramente mejores que los correspondientes al ajuste con aNLO, y los valores del condensado son un poco mas pequen~os que antes. La correspondiente estimacion del limite del continuo es g2 A20,a No Pert = (0,84(6) GeV)2.
La identificacion de a con el resultado perturbativo debe de funcionar mejor a tempera-
turas grandes. De ec. (4.30) se obtiene para la temperatura mas alta 6 Tc

aNLO = -0,22(1) (T = 6 Tc) ,

(4.33)

lo cual muestra un acuerdo razonable con los valores ajustados. Notar que las correcciones no perturbativas en potencias de T contribuyen poco a esta temperatura ( 20 %). Se puede concluir que el resultado perturbativo NLO evoluciona a temperaturas pequen~as mas rapidamente de lo que sugiere el ajuste. Seria interesante tener en cuenta correcciones logaritmicas al valor del condensado y quizas ciertas correcciones de dimension anomala para este. Sin embargo, los datos actuales del reticulo no permiten una extraccion limpia de esos detalles.
En un intento por determinar una posible correccion de tipo 1/T 4, hemos considerado en ec. (4.27) el termino extra c(Tc/T )4. El resultado del ajuste de los datos del reticulo para N = 8 se muestra en la tabla 4.3.

N

a

b

c

2/DOF

8 aNLO 2.18(20) -0.040.24 1.89

8 -0.22(2) 1.61(24) 0.130.28 0.42

Cuadro 4.3: Resultado del ajuste de los datos del reticulo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinamica [21], con ec. (4.27) y un termino extra c(Tc/T )4. En la primera fila se han tomado b y c como parametros libres, y se considera para a el valor perturbativo a NLO, ec. (4.30). En la segunda fila se toman a, b y c como parametros libres.
El valor de c es compatible con cero en los dos casos, y los errores se superponen con los valores centrales de a y b (N = 8), en tab. 4.1 y tab. 4.2 respectivamente. Es necesario disponer de datos mas precisos con objeto de identificar posibles contribuciones de condensados de dimension 4.
Un ajuste de los datos excluye por completo la existencia de un termino del tipo 1/T en log(L(T )). Este termino no tiene base teorica, pues no existe un condensado de dimension uno. La ausencia de este termino en los datos se debe a que los autores han adoptado la prescripcion de Cornell para el potencial quark-antiquark.
4.4.2. Resultados unquenched
El loop de Polyakov renormalizado ha sido calculado tambien en ref. [22] en el caso unquenched para QCD con dos sabores, siguiendo el metodo explicado al comienzo de la seccion 4.4. En la figura 4.3 mostramos estos datos para N = 4. En este caso, los datos siguen un comportamiento practicamente lineal para temperaturas por encima de

84

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

-2log(L)

2.5 Nf=2, N=4, Ref.[22]
2

1.5 a + b(Tc/T)2
1

0.5

0
LO NLO
-0.5

-1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Tc/T)2

Figura 4.3: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en QCD unquenched con dos sabores frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transicion de fase. Los datos del reticulo son de ref. [22]. En los ajustes se usa ec. (4.27) con a y b como parametros libres, y datos del reticulo por encima de 1,15 Tc para N = 4. Para comparar, se muestran los resultados perturbativos LO y NLO para Nf = 2.

1,15 Tc. Cerca de la temperatura de transicion los datos comienzan a salirse del patron de la ec. (4.27), lo cual es sen~al de que se hace necesaria una descripcion mas rica a medida que nos aproximamos a la transicion de fase.
En la tabla 4.4 se muestran los resultados del ajuste de los datos del reticulo para T > 1,15 Tc.

N

a

b

g2 A20,a No Pert (GeV)2 2/DOF

4 aNLO 2.99(12)

(0,86(2))2

1.87

4 -0.31(6) 2.19(13)

(0,73(3))2

0.25

Cuadro 4.4: Resultado del ajuste con ec. (4.27) de los datos en el reticulo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22]. Se han incluido datos por encima de 1,15 Tc. En la primera fila se ha tomado b como parametro libre, y se considera para a el valor perturbativo a NLO, ec. (4.30). En la segunda fila se toman a y b como parametros libres.
Hemos usado Tc/MS = 0,77(9), con Tc = 202(4) MeV [92] y MS = 261(31) MeV [93]. En el ajuste hemos considerado el mismo peso para todos los puntos, y el valor de 2 corresponde a un error representativo de 0,05 en 2 log(L(T )) (similar al caso quenched).
Al igual que en el caso quenched, el valor de a es consistente con el valor perturbativo

4.4 Comparacion con datos del reticulo

85

a temperatura grande

aNLO = -0,35(2) (T = 6 Tc) .

(4.34)

La perdida del patron lineal para temperaturas por debajo de 1,15 Tc no se explica convenientemente si consideramos nuevos condensados de dimension mayor. En efecto,
hemos sido incapaces de extraer de los datos un condensado de dimension 4. En la tabla 4.5
se muestra el resultado del ajuste para T > 1,0 Tc al considerar en ec. (4.32) el termino extra c(Tc/T )4.

N a

b

c

2/DOF

4 aNLO 2.44(21) 1.07(19) 12.8

Cuadro 4.5: Ajuste de los datos en el reticulo del loop de Polyakov renormalizado en QCD con dos sabores [22], con ec. (4.27) y un termino extra c(Tc/T )4. Se han incluido datos por encima de 1,0 Tc.
El ajuste no es bueno, y la gran correlacion que encontramos entre b y c hace que no se pueda extraer informacion fiable de este nuevo parametro.

4.4.3. Otros resultados quenched

Recientemente ha aparecido en la literatura un metodo alternativo para renormalizar
el loop de Polyakov en el reticulo. En ref. [94] los autores consideran loops de Polyakov
aislados en gluodinamica pura, y hacen una renormalizacion multiplicativa mediante la
extraccion de la autoenergia del quark. Si PR(x) denota el loop de Polyakov renormalizado en una representacion irreducible arbitraria R en el punto x, se tiene3

PR(x)

=1 ZR

P desn (x)

,

ZR = exp

- mdRiv T

,

(4.35)

donde se ha dividido por una constante de renormalizacion apropiada ZR. Pden(x) indica el operador loop de Polyakov desnudo. Este es un tipo estandar de renormalizacion de masa,

si bien aqui se debe tener en cuenta que, puesto que la linea de Wilson es un operador

no local, la constante de renormalizacion dependera de la longitud del camino: en general,

para un camino de longitud  se tiene ZR = exp(-mdRiv). El problema principal reside en como determinar las masas divergentes de un modo

no perturbativo. En un espacio-tiempo de cuatro dimensiones la masa divergente para un

quark test mdRiv es lineal con el cutoff ultravioleta, el cual es proporcional al inverso del

espaciado del reticulo, a, esto es:

mdRiv



1 a

.

(4.36)

3En

nuestra

notacion

PR(x)

=

1 Nc

Tr

R

(x)

.

86

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

-2log(L)

2.5

2

Nf=0, Nf=0,

NRe=f.8[9, 3R]ef.[21]

1.5

1

0.5

0

a + b(Tc/T)2

-0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(Tc/T)2

Figura 4.4: Logaritmo de loop de Polyakov renormalizado en gluodinamica (Nc = 3) frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la temperatura de transicion de fase. Los datos del reticulo son de refs. [21] y [94]. Los ajustes usan ec. (4.27) con a y b como parametros libres para [21], y ec. (4.39) con a como parametro libre para [94].

Los autores consideran diferentes reticulos, todos a la misma temperatura fisica T , pero con diferentes valores del espaciado a. Puesto que el numero de puntos en la direccion temporal N = 1/(aT ) es diferente en estos reticulos, obtienen la masa divergente amdRiv mediante comparacion de los valores del loop de Polyakov desnudo en los diversos reticulos.
Siguiendo este metodo, los autores de [94] calculan el loop de Polyakov renormalizado en varias representaciones de SU(3). Nuestro interes se centra en la representacion fundamental, y cuando comparamos con los datos de [21] encontramos que ambos resultados difieren cualitativamente, principalmente para temperaturas por encima de 1,3 Tc. En la figura 4.4 se muestran los dos conjuntos de datos.
El origen de la discrepancia entre ambos resultados no esta del todo claro, aunque los autores de [94] no excluyen la posibilidad de que se deba a efectos del espaciado finito del reticulo, que no hayan sido tenidos en cuenta de manera conveniente.
Existen varias razones para pensar que los resultados de [21] son mas fiables. Por una parte este metodo resulta tecnicamente mas simple y susceptible de ser comprobado. Los autores pueden comprobar que a cortas distancias los dos loops de Polyakov reproducen de una manera muy precisa el potencial quark-antiquark a temperatura cero como funcion de r para todas las temperaturas. El contacto entre el potencial a temperatura cero y el correspondiente a temperatura finita es casi total hasta una separacion r(T ), relacionada con la masa de Debye, lo cual permite una determinacion muy precisa del contratermino C(T ) de ec. (4.29). Ademas, el calculo esta hecho para dos taman~os diferentes del reticulo, N = 4 y N = 8 (tambien N = 16 en [95]), y los resultados muestran una dependencia muy pequen~a en el cutoff, lo cual significa que el limite del continuo ha sido alcanzado.
El metodo de ref. [94] es tecnicamente mas complicado, pues necesita comparar taman~os

4.4 Comparacion con datos del reticulo

87

diferentes del reticulo a la misma temperatura fisica T . La extraccion del contratermino es asimismo mas compleja, pues el analogo de C(T ) en ec. (4.29) se escribe como una serie en potencias de T con coeficientes que deben de ser ajustados con los datos del loop de Polyakov desnudo. Por otra parte, desde el punto de vista del modelo que proponemos en nuestro trabajo, esperamos que las correcciones no perturbativas sean despreciables a las temperaturas mas altas de los dos datos del reticulo, pero unicamente [21] parece ser consistente con teoria de perturbaciones [23] a esas temperaturas.
El metodo de [94] renormaliza el logaritmo del loop de Polyakov siguiendo este esquema4

- log Ldesn(T ) = f divN + f ren + f latN-1 ,

(4.37)

donde

Ldesn(T )

=

1 Nc

Tr desn(x)

,

L(T )

=

1 Nc

Tr R(x)

= e-fren .

(4.38)

Podemos especular con esta formula suponiendo que los terminos que dependen del cutoff no han sido extraidos completamente en los datos, o bien que despues de haber sido extraidos permanezcan terminos del mismo tipo a los extraidos. En concreto, consideraremos el siguiente patron de ajuste

- 2 log L = a + b

Tc T

2

+

a-1

Tc T

+

a

+

a1

T Tc

.

(4.39)

En la tabla 4.6 se muestran los resultados del ajuste de los datos del reticulo (figura 8 de ref. [94]) para el loop de Polyakov en la representacion fundamental, en el regimen 1,3 Tc < T < 3,5 Tc.

a

a

a + a

b

a-1

a1

2/DOF

aNLO 1.8  1.8

-

1.4  2.6 -1.03.8 -0.290.26 0.0349

-

-

1.6  1.8 1.3  2.6 -1.4  3.8 -0.28  0.26 0.0350

Cuadro 4.6: Resultado del ajuste con ec. (4.39) de los datos en el reticulo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinamica [94]. En la primera fila se ha tomado para a el valor aNLO de ec. (4.30), y en la segunda se ha considerado a como parametro libre.
Un hecho alentador es que el valor del condensado parece ser compatible con el obtenido en la seccion 4.4.1 a partir de los datos de ref. [21]. No obstante, esta especulacion no es totalmente concluyente y seria deseable un acuerdo entre los resultados de ambos grupos antes de sacar nuevas consecuencias.
4Nos vamos a limitar a analizar los datos correspondientes al loop de Polyakov en representacion fundamental. En sec. 5.7 se discute el comportamiento del loop de Polyakov adjunto obtenido en el contexto de modelos de quarks quirales a temperatura finita.

88

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

4.4.4. Relacion con otras determinaciones del condensado
Si bien nuestra determinacion del condensado se ha hecho en el gauge estatico y a temperatura finita, resulta tentador comparar con condensados a temperatura cero g2 A2,a , calculados en la literatura en quenched QCD y en el gauge de Landau. En la tabla 4.7 se muestran algunos valores de este condensado obtenidos recientemente por diferentes procedimientos. El acuerdo entre ellos es aceptable.

Referencia Del propagador del gluon [77] Del vertice simetrico de tres gluones [77] De la cola del propagador del quark [78] De la cola del propagador del quark [79]

g2 A2,a (GeV)2 (2,4  0,6)2 (3,6  1,2)2 (2,1  0,1)2 (3,0 - 3,4)2

Cuadro 4.7: Valores del condensado g2 A2,a a temperatura cero, en el gauge de Landau en quenched QCD.

A temperatura cero todas las componentes de Lorentz contribuyen de igual forma, lo cual sugiere un factor de conversion 4 al pasar de g2 A2,a a g2 A20,a . Sin embargo, de acuerdo con ref. [74], en el gauge de Landau el condensado total escala como D-1, donde D es la dimension del espacio euclideo, lo cual sugiere un factor de conversion 3. En cualquier caso, si tenemos en cuenta tanto las incertidumbres de los datos del reticulo como las teoricas, el acuerdo es significativo, pues estamos comparando resultados a temperaturas y gauges diferentes.
Podemos comparar asimismo nuestro resultado para el condensado gluonico con calculos realizados a temperatura finita basados en el estudio de contribuciones no perturbativas de la presion en gluodinamica pura [80, 96]. Estos resultados conducen a

g2 A20,a No Pert = (0,93(7) GeV)2 ,

(4.40)

en el gauge de Landau.5 Todos estos analisis muestran un esquema coherente en su conjunto.

4.5. Energia libre de un quark pesado
El potencial quark-antiquark a temperatura finita se puede obtener a partir de la funcion de correlacion de dos loops de Polyakov separados. Como sabemos, si se toma el limite de separacion grande se obtiene el valor esperado del loop de Polyakov, ec. (4.29). En el limite de separacion pequen~a los efectos termicos son despreciables, y este potencial coincide con el potencial quark-antiquark a temperatura cero.
5Este valor ha sido obtenido a partir de los datos del reticulo de la figura 2 de ref. [80], y tambien de la figura 1 de ref. [96], en la region de temperaturas usada en nuestros ajustes de la seccion 4.4.1.

4.5 Energia libre de un quark pesado

89

Hasta ahora hemos aplicado nuestro modelo fenomenologico de ecs. (4.22)-(4.23) para dar cuenta de las correcciones no perturbativas en el loop de Polyakov. En esta seccion aplicaremos este modelo para describir los datos del reticulo de la energia libre de un quark pesado.

4.5.1. Contribuciones no perturbativas en la energia libre

El potencial quark-antiquark puede relacionarse con la amplitud de scattering correspondiente al intercambio de un unico gluon. En el limite no relativista, para la energia libre en el canal singlete se tiene

F1(x,

T

)

=

-

Nc2 - 2Nc

1

g2

d3k (2)3

eikxD00(k)

.

(4.41)

Podemos estudiar contribuciones no perturbativas en la energia libre aplicando el mo-
delo que desarrollamos en la seccion 4.3. Si sustituimos (4.22) en (4.41) obtenemos ademas de las contribuciones perturbativas a LO (O(g2)) y NLO (O(g3)), nuevas contribuciones no perturbativas6

F1(r,

T

)

=

-

Nc2 - 2Nc

1

g2 4r

+

1 g2 Nc2 - 1

A20,a No Pert T

e-mDr- Nc2 - 1 g2mD + g2 A20,a No Pert .

2Nc 4

2NcT

(4.42)

Si consideramos el limite r   en (4.42), se obtiene esencialmente el logaritmo del

loop de Polyakov

F(T )



F1(r



, T )

=

-2T

log L(T )

=

-

Nc2 - 2Nc

1

g2mD 4

+

g2

A20,a No Pert 2NcT

+ O(g4) .

(4.43)

Esta expresion coincide con ec. (4.27), teniendo en cuenta ec. (4.31) para b y ec. (4.30)

hasta O(g3) para a.

En el limite de temperatura cero, para lo cual consideramos mDr  0 en (4.42), se

tiene

F1(r, T )

T0

-

Nc2 - 2Nc

1

g2 4r

+



r



Vqq(r) ,

(4.44)

donde

=

Nc 3

+

Nf 6

1/2

g3

A20,a 2Nc

T =0

.

(4.45)

En esta expresion, A20,a T =0 denota el condensado a temperatura cero. En este limite se llega obviamente a la expresion del potencial quark-antiquark a temperatura cero [97]. El
termino de Coulomb es el resultado perturbativo estandar a LO, mientras que el segundo
termino es una contribucion lineal no perturbativa bien conocida en la literatura. Ec. (4.44)

6Hacemos uso de las reglas de regularizacion dimensional y consideramos g independiente de k.

90

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

s(r,T)

0.19

0.18

T=3Tc T=6Tc

T=9Tc

0.17

T=12Tc

0.16

0.15

0.14

0.13

0.12

0.11

0

0.5

1

1.5

2

rT

Figura 4.5: Constante de acoplamiento s frente a rT en gluodinamica pura (Nc = 3), para diferentes valores de T . Datos obtenidos a partir del ajuste de ec. (4.42) con los datos del reticulo de la figura 5 de ref. [98].

con g = /2 corresponde al modelo de cuerda bosonica, y reproduce los datos del reticulo para Vqq(r) en el rango 0,75 GeV-1  r  4 GeV-1 con un error del 1 % [97]. Nuestro modelo predice un valor concreto para la tension de la cuerda .
Como vemos, el modelo predice para la energia libre unos comportamientos asintoticos
totalmente coherentes con la fenomenologia conocida. Esto refuerza nuestra suposicion de
existencia de contribuciones no perturbativas dadas por condensados gluonicos.

4.5.2. Comparacion con datos del reticulo

Podemos comparar nuestro resultado, ec. (4.42), con datos del reticulo existentes para la energia libre. Puesto que conocemos el valor del condensado g2 A20,a No Pert, esto nos va a permitir obtener la dependencia en r y T de la constante de acoplamiento s  g2/4. En la figura 4.5 se muestra el valor de s frente a rT para diferentes valores de la temperatura. Las curvas se han obtenido tras ajustar ec. (4.42) con los datos de ref. [98] (figura 5) para gluodinamica (Nc = 3). Como valor de g2 A20,a No Pert consideramos el de la tabla 4.2 con N = 8.
Se observa un comportamiento suave para s y los valores son relativamente pequen~os, lo cual contrasta con analisis recientes en el reticulo a temperatura finita [22, 98]. Estos
autores tienen en cuenta los efectos no perturbativos que observan en los datos del reticulo
de la energia libre mediante el uso de dos constantes: s y s; y esta ultima se diferencia del valor perturbativo por un factor multiplicativo:

s(r, T ) =  sPert(r, T ) ,  > 1 .

(4.46)

Esto no tiene justificacion teorica, y se trata en realidad de un esquema de analisis dema-

4.5 Energia libre de un quark pesado

91

siado forzado, pues la constante  no es tal, sino que tiene una dependencia en temperatura, de tal modo que vale 1 en el limite T  .7 Los valores que obtienen para las s's son excesivamente grandes. Por el contrario, al considerar nuestro modelo, el ajuste de los datos
del reticulo de la energia libre resulta mas natural. Notar que el comportamiento r   de
s(r, T ) que se observa en fig. 4.5 es consistente con el hecho de que nuestro mejor ajuste de los datos del loop de Polyakov renormalizado sea con a = constante.

4.5.3. Analogia entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero
Al comparar (4.43) con (4.44) se observa que las expresiones son similares desde un punto de vista formal, con la identificacion r  1/mD. Si consideramos que no existe dependencia en r y T para la constante de acoplamiento g y el condensado A20,a , de ec. (4.43) a LO y de ec. (4.44) se deduce la siguiente propiedad

F(T ) = Vqq(r)

.

r=1/mD

(4.48)

Notar que (4.48) es valida solo a LO en teoria de perturbaciones. Con objeto de comprobar numericamente esta propiedad debemos tener en cuenta los diferentes comportamientos asintoticos de s. Usaremos la siguiente notacion:

s(r)  s(r, T = 0) , s(T )  s(r  , T ) .

(4.49)

La propiedad (4.48) se escribira ahora8

BF(T ) = Vqq(r)

,

r=/T

(4.51)

donde

B=

s(r) s(T )

3/4
,

=

1 4(Nc/3 + Nf /6)

s(r) s(T )3

1/4
.

(4.52)

7El ajuste que se considera en ref. [22, 98] se hace en base a la formula

Ffit(r,

T

)

=

-

4(T 3r

)

exp

-

4(T ) rT

+ b(T ) ,

(4.47)

donde (T ) y (T ) se usan como dos parametros de ajuste independientes. Esta formula unicamente les permite ajustar el comportamiento de F1(r, T ) a grandes distancias, en contraste con ec. (4.42), que reproduce correctamente tambien el comportamiento a r pequen~o, que viene dado por Vqq(r).
8Esta propiedad tambien se puede expresar como

F(T )/T = rVqq(r)

,

r = /T

donde B y  estan definidos en ec. (4.52).

 = B ,

(4.50)

92

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

2

NNrVff==qq00(,,r)NN|r===/48T,,,

Ref.[21] Ref.[21] Ref.[96]

1.5

-2 log(L)

1

0.5

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

(Tc/T)2

Figura 4.6: Logaritmo del loop de Polyakov renormalizado en gluodinamica (Nc = 3), reescalado con , ec. (4.50), frente al cuadrado de la inversa de la temperatura en unidades de la
temperatura de transicion de fase. Los cuadrados negros y blancos corresponden a datos del
reticulo para el loop de Polyakov de ref. [21]. Las cruces corresponden a datos en el reticulo
del potencial quark-antiquark a temperatura cero, rVqq(r), de ref. [97], y modificados con el cambio r = /T . La linea continua representa el modelo de cuerda bosonica que reproduce muy bien los datos del reticulo para rVqq(r) en la region 0,75 GeV-1  r  4 GeV-1. Con el cambio r = /T , esta region corresponde a 0,06  (Tc/T )2  1,6.

La propiedad (4.51), con los valores de los parametros B y  dados en ec. (4.52), se ha deducido suponiendo que se cumple

s(T )

A20,a

No Pert T

= s(r)

A20,a

T =0 .

(4.53)

El miembro izquierdo de la igualdad s(T ) A20,a No Pert ha sido ajustado en la seccion 4.4.1. El valor de s(r) A20,a T =0 puede obtenerse a partir del valor conocido para la tension de la cuerda,  = (0,42 GeV)2, y la ecuacion (4.45). Numericamente encontramos que ec. (4.53) es correcta con un error del 9 %. En la figura 4.6 se muestran los datos del reticulo en gluodinamica para -2 log L frente a (Tc/T )2 (ref. [21]), y se comparan con el potencial quark-antiquark a temperatura cero rVqq(r) [97] despues de haber considerado el cambio de variable que se especifica en ec. (4.50). Se observa un acuerdo excelente. Esta dualidad sugiere la existencia de una profunda analogia entre el potencial quark-antiquark
a temperatura cero y el loop de Polyakov.

4.6. Conclusiones
Tres son los resultados importantes de este capitulo. Por una parte, tras analizar de manera conveniente los datos en el reticulo del loop de Polyakov renormalizado por encima

4.6 Conclusiones

93

de la transicion de fase de QCD, encontramos la contribucion inequivoca de un condensado
de dimension 2 no perturbativo. Estas contribuciones no han sido consideradas hasta ahora
en el contexto del loop de Polyakov, pero de hecho son dominantes en la region cercana a
la transicion de fase y permiten describir los datos de [21] en la fase de desconfinamiento
hasta 1,03 Tc para gluodinamica y de [22] hasta 1,15 Tc para dos sabores. En segundo lugar, hemos sugerido identificar este condensado con el condensado gluoni-
co de dimension 2 invariante BRST. El valor numerico de g2 A20,a No Pert que obtenemos a partir del loop de Polyakov es totalmente consistente con el valor que se deduce de la
presion en gluodinamica [80, 96]. Ademas, aun habiendo definido el condensado en un gauge estatico, su valor es significativamente proximo al valor de g2 A2,a /4, obtenido a temperatura cero y en el gauge de Landau.
En tercer lugar, a la luz de estos resultados hemos encontrado una analogia entre el
potencial quark-antiquark a temperatura cero y el loop de Polyakov, la cual se manifiesta
en la relacion que predice nuestro modelo entre la tension de la cuerda y la pendiente del
loop de Polyakov.

94

Capitulo 4: Efectos no perturbativos por encima de la transicion de fase

Capitulo 5
Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita
En este capitulo estudiaremos algunos modelos de quarks quirales en el contexto de temperatura finita. Haciendo uso de nuestra tecnica del heat kernel del capitulo 2, obtendremos el acoplamiento minimo entre el loop de Polyakov gluonico y los quarks, lo cual solucionara algunas inconsistencias presentes en el tratamiento estandar de estos modelos a temperatura finita a nivel de un loop de quarks.
En primer lugar se estudiaran algunas propiedades de las transformaciones gauge a temperatura finita, lo cual nos llevara a considerar la simetria del centro como aquella que es generada por la accion de transformaciones gauge locales que son periodicas en la variable temporal salvo un elementro arbitrario del centro del grupo gauge. Para mas detalles sobre este punto, ver apendice A.
Posteriormente introduciremos dos modelos: modelo de NambuJona-Lasinio y modelo quark espectral. Con ellos ilustraremos la problematica del tratamiento estandar a temperatura finita que se viene haciendo en los modelos de quarks quirales, y definiremos un modelo quark quiral con acoplamiento del loop de Polyakov que permitira compatibilizar los resultados con los conocidos de Teoria Quiral de Perturbaciones. Calcularemos el lagrangiano quiral efectivo en estos modelos hasta O(p4) en un desarrollo en momentos externos, y se estudiara la estructura que presenta este lagrangiano a temperatura finita.
Se hara un estudio de algunas correcciones de orden mayor, tales como correcciones mas alla de un loop de quarks, correcciones gluonicas y correcciones locales en el loop de Polyakov. Finalmente se calcularan dos observables de interes: condensado quiral y valor esperado del loop de Polyakov; para lo cual se hara un tratamiento unquenched, y se estudiara el mecanismo de rotura de la simetria del centro que conduce a la transicion de fase de QCD.
El capitulo esta basado en las referencias [99, 100].
95

96

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

5.1. Transformaciones gauge grandes
En el apendice A discutimos las transformaciones gauge en el contexto de la Teoria Cuantica de Campos a temperatura finita. Al comienzo de este capitulo vamos a hacer un repaso de las principales propiedades de estas transformaciones, y la importancia que tienen para el estudio de los procesos de desconfinamiento de color en QCD. Esta seccion podria haberse incluido igualmente en el capitulo 3, pero hemos preferido ponerla aqui para que el capitulo quede autoconsistente, pues como veremos los modelos de quarks quirales nos van a permitir una descripcion de la transicion de fase de QCD.

5.1.1. Transformaciones gauge a temperatura finita
En el formalismo de Tiempo Imaginario el espacio-tiempo es un cilindro topologico, de tal modo que el tiempo imaginario euclideo esta compactificado y las integrales funcionales se evaluan bajo la condicion de que los campos sean periodicos para bosones y antiperiodicos para fermiones en el intervalo temporal [0, ], donde  = 1/T . En un principio, solo estarian permitidas las transformaciones gauge periodicas

g(x0, x) = g(x0 + , x) ,

(5.1)

pues los campos de los quarks y los bosones son estables frente a este tipo de transformaciones. Un ejemplo de tal transformacion para el grupo gauge SU(Nc), en el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, con A0 una matriz diagonal Nc  Nc de traza cero, es

g(x0) = ei2x0/ ,

(5.2)

donde  es una matriz diagonal de enteros, de traza cero, en el espacio de color, esto

es ij = niij , ni  Z ,

Nc j=1

nj

=

0.

Esta

transformacion

no

puede

estar

proxima

a

la

identidad, y en este sentido se considera una transformacion gauge grande. Bajo ella, el

campo A0 transforma

A0



A0

+

2 



,

(5.3)

de modo que en este gauge, la invariancia gauge se manifiesta en la periodicidad del campo gluonico A0. El problema de teoria de perturbaciones radica en que esta invariancia a temperatura finita se rompe explicitamente si se hace un desarrollo perturbativo de A0, ya que el desarrollo de una funcion periodica da lugar a un polinomio, que no es periodico.
Esta problematica de la invariancia gauge a temperatura finita conduce a la necesidad de tratar el campo A0 de una manera no perturbativa, y a tales efectos se considera el loop de Polyakov (o linea de Wilson sin traza) como grado de libertad independiente (x). Transforma de manera covariante en x bajo una transformacion gauge periodica

(x)  g-1(x)(x)g(x) ,

(5.4)

y en el gauge de Polyakov, (x) = eiA0(x), es invariante gauge.

5.1 Transformaciones gauge grandes

97

5.1.2. Simetria del centro
En gluodinamica pura a temperatura finita la condicion (5.1) resulta en realidad demasiado restrictiva, y es posible considerar transformaciones gauge aperiodicas

g(x0 + , x) = z g(x0, x) , zNc = 1 .

(5.5)

z es un elemento de Z(Nc), que es el centro del grupo gauge SU(Nc), esto es z = ei2n/Nc , n  Z(Nc). Un ejemplo de esa transformacion, en el gauge de Polyakov, es

g(x0) = ei2x0/Nc ,

(5.6)

donde z = ei2/Nc. El campo A0 y el loop de Polyakov transforman bajo (5.6) como

A0



A0

+

2 Nc



,

  z .

(5.7)

 transforma como la representacion fundamental del grupo Z(Nc). Fisicamente el promedio termico del loop de Polyakov (con traza) en la representacion fundamental determina la energia libre relativa al vacio de un unico quark,

e-Fq(x) = 1 Nc

trc (x)

.

(5.8)

De ec. (5.7) se deduce (por invariancia gauge) que

trc (x) = z trc (x) ,

(5.9)

y por tanto trc (x) = 0 en la fase en que la simetria del centro se preserva (fase de confinamiento). De manera mas general, se obtiene

trc n(x) = 0 para n = mNc , m  Z .

(5.10)

La simetria del centro esta espontaneamente rota por encima de una cierta temperatura (TD  270 MeV para Nc = 3), lo cual indica una fase de desconfinamiento. En esta fase trc (x) puede tomar valores diferentes de cero.

5.1.3. Rotura de la simetria del centro por fermiones

Las funciones de onda de los fermiones deben satisfacer condiciones antiperiodicas en

la direccion temporal, esto es q(, x) = -q(0, x), de modo que bajo una transformacion del

tipo (5.5)

q(, x)  g(, x)q(, x) = -zg(0, x)q(0, x) ,

(5.11)

en lugar de -g(0, x)q(0, x). Notar que q(n)q(0)  z-nq(n)q(0), lo cual implica que en la fase confinante (con simetria del centro)

q(n)q(0) = 0 para n = mNc , m  Z .

(5.12)

98

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Esto genera una regla de seleccion en gluodinamica pura.
Los fermiones no son estables bajo las transformaciones del tipo (5.5) (unicamente lo son bajo transformaciones periodicas), de modo que rompen explicitamente la simetria del centro. Esto significa que la regla de seleccion (5.12) no se realiza en la practica. No obstante, esta regla sera importante en el contexto de modelos de quarks quirales en el limite de Nc grande, tal y como veremos mas adelante.

5.2. Modelos de Quarks Quirales
En esta seccion explicaremos dos modelos de quarks quirales de especial relevancia: el modelo de NambuJona-Lasinio [29] y el modelo quark espectral [101].

5.2.1. Modelo Quark de NambuJona-Lasinio
El lagrangiano euclideo del modelo de NambuJona-Lasinio generalizado es

LNJL

=

q(/

+m^ 0)q

+

1 2a2s

Nf2 -1
((qaq)2
a=0

+

(qai5q)2)

+

1 2a2v

Nf2 -1
((qaq)2
a=0

+

(qa5q)2)

,

(5.13)

donde q = (u, d, s, . . .) representa el campo de los quarks con Nc colores y Nf sabores.

Las 's son las matrices de Gell-Mann del grupo U(Nf ) y m^ 0 = diag(mu, md, ms, . . .) es la matriz de masa de los quarks. 1/a2s y 1/a2v son las constantes de acoplamiento. Este lagrangiano es invariante bajo simetria global de color SU(Nc).

El funcional generador en presencia de campos externos bosonicos (s, p, v, a) y fermioni-

cos (, ) es

ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDq exp - d4x(LNJL + q(v/ + a/ 5 + s + i5p)q + q + q) .
(5.14) Los simbolos s, p, v y a indican campos externos (en espacio de sabor) de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial, respectivamente. En funcion de los generadores del grupo de sabor U(Nf ), estos se escriben

s

=

Nf2 -1

sa

a 2

,



a=0

(5.15)

La accion del modelo puede ser bosonizada mediante la introduccion de campos bosonicos auxiliares, lo cual va a transformar la interaccion local de cuatro puntos en un acoplamiento

5.2 Modelos de Quarks Quirales

99

tipo Yukawa [102]. El nuevo funcional generador es

ZNJL[s, p, v, a, , ] = DqDqDSDP DV DA exp - d4x q(/ + V/ + A/ 5 + S + i5P)q

+

a2s 4

tr((S

-

m^ 0)2

+

P

2)

-

a2v 4

tr(V2

+

A2)

+

q

+

q

,(5.16)

donde hemos escrito en notacion corta S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. En esta formula (S, P, V, A) representan campos bosonicos dinamicos internos de tipo escalar, pseudoescalar, vector y axial respectivamente. Los campos S(x), P(x), V(x) y A(x) son matrices en espacio interno (que se entiende como espacio de sabor), son la identidad en espacio de Dirac y operadores multiplicativos en el espacio x. S(x) es hermitico y P(x), V(x) y A(x) son antihermiticos. En la seccion 5.4 extenderemos los campos A(x) y V(x) para que sean matrices no triviales en espacio de color, lo que nos permitira acoplar el loop de Polyakov de color en el modelo. Por conveniencia en nuestro desarrollo hemos incluido la rotura explicita de la simetria quiral (proporcional a m^ 0) en el termino bosonico local. Podemos integrar formalmente sobre fermiones, lo cual conduce a

ZNJL[s, p, v, a, , ] = DSDP DV DA Det(D)Nc exp( |D-1| )

(5.17)

exp -

d4x

a2s 4

tr((S

-

m^ 0)2

+

P 2)

-

a2v 4

tr(V2

+

A2)

donde

D =/ + V/ + A/ 5 + S + i5P

es un operador de Dirac. Este operador se puede escribir en la forma

(5.18)

D =D/V + A/ 5 + M U 5 ,

(5.19)

donde DV =  + V es la derivada covariante vector, M es la masa constituyente de los quarks, y U es una matriz en espacio de sabor que representa los octetes pseudoescalares

delos mesones en la representacion no lineal. Para tres sabores, Nf = 3, se escribe U = ei 2/f , con





=



1 2

0 + -

1 6



K-

+

-

1 2

0 + K 0

1 6



 K+

K0  .

-

2 6



(5.20)

f es la constante de desintegracion debil del pion en el limite quiral. En lo que sigue consideraremos la accion efectiva a nivel de un loop de quarks y a nivel
arbol para los mesones. En este caso

NJL = q[D] + m ,

(5.21)

100

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

donde

q[D] = -NcTr log(D) ,

(5.22)

m =

d4x

a2s 4

tr(S

2

+

P 2)

-

a2s 2

tr(m^ 0S)

+

a2s 4

tr(m^ 20)

-

a2v 4

tr(V2

+

A2)

(5.23)

En adelante nos vamos a referir al termino q[D] como la contribucion de los quarks a un loop. Este sera el termino que calculemos como aplicacion de nuestro desarrollo del heat kernel a temperatura finita.
La contribucion de los quarks a la accion efectiva se puede separar en una parte 5-par y otra 5-impar, correspondiente a procesos de paridad normal y anormal, respectivamente. En espacio euclideo, la primera corresponde a la parte real de la accion efectiva, y la segunda a la parte imaginaria. Introduciremos el operador

D5[S, P, V, A] = 5D[S, -P, V, -A]5 ,

(5.24)

que en espacio euclideo se corresponde con el hermitico conjugado D. La contribucion de paridad normal es cuadraticamente divergente y puede ser regularizada de un modo invariante gauge quiral mediante el esquema de Pauli-Villars [56]

+q [D]

=

-

Nc 2

Tr

ci log(D5D + 2i ) ,

i

(5.25)

donde los reguladores de Pauli-Villars satisfacen c0 = 1, 0 = 0 y i ci = 0, i ci2i = 0, lo cual permitira hacer finitas las divergencias logaritmicas y las cuadraticas, respectivamente.

Haciendo uso de la representacion de Schwinger de tiempo propio, esta contribucion se

escribe

+q [D]

=

Nc 2

 0

d 

( ) Tr e-D5D

,

(5.26)

donde

( ) =

ci e- 2i .

(5.27)

i

Las funciones de Green se pueden obtener a partir de (5.21) derivando respecto a los campos

medios mesonicos. De particular interes es la funcion a un punto. Si en (5.21) consideramos

solamente la parte real de la contribucion de los quarks a un loop, esto es (5.25), esta accion

presenta un punto estacionario invariante traslacional en (S, P ) = (, 0), (V, A) = (0, 0)

 +NJL [S ] S(x)

S(x)=

=

a2s 2

tr(

-

m^ 0

)

-

Nc 2

Tr

(D5D)-1

(D5D) S(x)

= 0.
S(x)=

(5.28)

El punto estacionario  se identifica con el valor esperado en el vacio del campo S en la aproximacion de un loop de quarks. Introduciendo la accion efectiva regularizada (5.26) en (5.28) obtenemos la siguiente ecuacion para 

a2s( - m^ 0) - 8Nc g() = 0 ,

(5.29)

5.2 Modelos de Quarks Quirales

101

donde

g() =

d4p (2)4


d ( ) e-(p2+2) .
0

(5.30)

En adelante nos referiremos a (5.29) como ecuacion del gap pues esta ecuacion determina

el gap de energia 2 entre los estados de quarks con energia positiva y negativa.  juega

el papel de la masa constituyente de los quarks.

El condensado de quarks qq viene dado por qq = +NJL/m^ 0. De (5.23) se obtiene

inmediatamente

qq

=

-

a2s 2

tr(

-

m^ 0)

.

(5.31)

5.2.2. Modelo Quark Espectral
El Modelo Quark Espectral, desarrollado recientemente por E. Ruiz Arriola y W. Broniowski [101], es aplicable a fisica hadronica en el rango de baja energia. La novedad reside en el uso de una regularizacion espectral basada en la introduccion a nivel formal de la representacion de Lehmann [50] del propagador del quark. Esta regularizacion permite resolver de una manera simple las identidades de Ward-Takahashi quiral y electromagnetica mediante el uso de la llamada prescripcion gauge [103]. Consideraremos el modelo a nivel de un loop fermionico y en el limite quiral en que la masa de los quarks es cero.
En esta seccion vamos a seguir la referencia [101]. El punto de partida es el propagador del quark, que en espacio de momentos se define

S(p) = d4xe-px 0|T {q(x)q(0)}|0 .

(5.32)

Consideraremos una representacion espectral para el propagador

S(p) =

C

d

() /p -

,

(5.33)

donde () es la funcion espectral y C indica un contorno de integracion en el plano

complejo  elegido de un modo conveniente. Este propagador puede ser parametrizado en

la forma estandar

S(p)

=

A(p)

/p

+B(p)

=

Z (p)

/p p2

+M (p) - M 2(p)

,

(5.34)

donde

A(p) =

C

d

() p2 - 2

,

B(p) =

C

d

() p2 - 2

.

La masa y factor de renormalizacion vienen dados por

(5.35)

M (p)

=

B(p) A(p)

,

Z(p) = (p2 - M 2(p))A(p) ,

(5.36)

102

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

respectivamente. Notar que si () = (-) tendriamos M(p) = 0 y no existiria rotura espontanea de la simetria quiral. Por tanto es de esperar que () no sea una funcion par en general. La funcion espectral debe ser tal que proporcione valores finitos para los observables hadronicos. Esto dara lugar a una serie de condiciones que deben cumplir los momentos y los momentos logaritmicos de (),

n = dn() ,
C

n = d log(2/2)n() , C

n  Z.

(5.37)

Aqui  es una cierta escala. Notar que por normalizacion 0 = 1. Como ejemplo consideremos el condensado de quarks (por el momento trabajaremos a temperatura cero)

qq = -Nc d()
C

d4p (2)4

trDirac

/p

1 -

.

(5.38)

Tras tomar la traza en el espacio de Dirac, la integral es cuadraticamente divergente.

Un modo de regularizarla es haciendo uso de un cutoff tridimensional con la siguiente

sustitucion


d4p - 4 dp0 dp p2 ,
0

p = |p| .

(5.39)

Con esta regularizacion obtenemos

qq

=

-

Nc 42

d ()
C

22 + 2 log

2 42

+ 2

.

(5.40)

Puesto que el resultado debe ser finito en el limite   , es necesario imponer las condiciones 1 = 0 y 3 = 0, lo cual conduce a qq = -Nc3/(42). El calculo de otros observables va a dar lugar a condiciones adicionales. En general todos los observables van a ser proporcionales a los momentos inversos y a los momentos logaritmicos, y para que sean finitos se debe cumplir n = 0, n > 0. El modelo espectral no se ha desarrollado mas alla de un loop.
La prescripcion gauge fue usada en el pasado en la obtencion de soluciones de las ecuaciones de Schwinger-Dyson. Haciendo uso de ella se pueden resolver en este modelo las identidades de Ward-Takahashi. Sin embargo en situaciones en las que las lineas de propagadores de los quarks estan cerradas es mas conveniente el formalismo de la accion efectiva. Consideraremos, como en el modelo de NambuJona-Lasinio, acoplamientos escalar, pseudo-escalar, vector y axial. El acoplamiento quark-pion debe satisfacer la relacion de Goldberger-Treiman [18]. Con estas premisas, la accion efectiva de este modelo a nivel de un loop de quarks se puede escribir como

SQM = -Nc d4x d()tr log (D/V + A/ 5 + U 5) , C

(5.41)

donde DV =  + V es la derivada covariante vector. En el modelo NJL, M jugaba el papel de la masa constituyente de los quarks. En el modelo espectral M se convierte en

5.3 Problematica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita

103

la variable de integracion  de la funcion espectral. La diferencia esencial con el modelo NJL, y en general con todos los modelos de quarks quirales, es que aqui no consideramos un cutoff que separe el regimen de baja energia, donde se supone que el modelo funciona, y el regimen de alta energia.
En el capitulo 7 se hara un estudio mas extenso del modelo espectral considerando un espacio-tiempo curvo, y se introducira el esquema de dominancia del meson vectorial, que constituye una realizacion simple del modelo y proporciona una forma explicita para la funcion espectral.

5.3. Problematica de los modelos de quarks quirales a temperatura finita
El tratamiento estandar de los Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita presenta algunas inconsistencias. Por una parte, en el calculo de observables aparecen involucrados estados excitados con cualquier numero de quarks, y esto ocurre incluso para temperaturas bajas. Sorprendentemente, durante mucho tiempo no ha habido demasiada preocupacion por parte de los autores en resolver este problema, y normalmente lo han atribuido a fallos del propio modelo, tales como falta de confinamiento.

5.3.1. Tratamiento estandar a temperatura finita

El tratamiento estandar consiste en pasar de las formulas con T = 0 hasta otras formulas para T = 0, mediante la aplicacion de la regla

dk0 2

F

(k0,

k)



iT



F (iwn, k) ,

n=-

(5.42)

donde F puede representar el propagador de un quark, en espacio de momentos. n son las frecuencias de Matsubara fermionicas, n = 2T (n + 1/2). Si aplicamos esta regla en el condensado quiral, a temperatura finita y a un loop se tiene



qq = -iNc

(-1)ntrDiracS(x)|x0=in = 4M T trc

n=-

n

d3k (2)3

n2

+

1 k2

+

M2

.

(5.43)

Despues de hacer la integracion en momentos, y aplicar la formula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), queda

qq T =

qq

T =0

-

2

NcM 2

2T



(-1)n n

K1(nM

/T

)

n=1

T pequen~o

qq

T =0 -

Nc 2


(-1)n
n=1

2M T n

3/2
e-nM/T ,

(5.44)

donde se ha hecho uso del comportamiento asintotico de la funcion de Bessel Kn(z) para el regimen de temperatura pequen~a Kn(z)  e-z /2z.

104

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

5.3.2. Generacion de estados multi-quarks

Ec. (5.44) se puede interpretar en terminos del propagador del quark en espacio de

coordenadas

S(x) =



d4k e-ikx (2)4 k/ -M

=

(i

/

+M

)

M2 42i

K1( -M 2x2) -M 2x2

.

(5.45)

El comportamiento de (5.45) a temperatura pequen~a es

S(x, i) T pequen~o e-M/T ,

(5.46)

lo cual representa la supresion exponencial a temperatura pequen~a correspondiente al propagador de un unico quark. Si nos fijamos en ec. (5.44), esto significa que el condensado de quarks se puede escribir en terminos de factores de Boltzmann estadisticos con masa Mn = nM. Esto constituye un problema, pues significa que el ban~o termico esta formado por quarks constituyentes libres, sin ningun confinamiento de color.1
El condensado de quarks a temperatura finita no es invariante gauge (en el sentido de transformaciones gauge grandes). En efecto, del ejemplo del condensado se tiene



qq T =

(-1)n q(x0)q(0) |x0=in ,

n=-

(5.48)

o sea, el condensado a temperatura finita se puede escribir como una suma coherente de condensados de quarks no locales a temperatura cero. Notar que la contribucion de temperatura cero corresponde al termino n = 0 en la sumatoria. Bajo una transformacion gauge de tipo central se tiene



qq T 

(-z)n q(x0)q(0)

.

n=-

x0 =in

(5.49)

Esto significa que (5.48) no es invariante gauge, y el condensado se puede descomponer en
una suma de representaciones irreducibles con una trialidad dada n, lo cual genera estados con cualquier numero de quarks  e-nM .

1Este calculo se puede extender a cualquier observable que sea singlete de color en el limite de temperatura cero, y el resultado general que se obtiene es que los calculos en modelos de quarks a temperatura finita en la aproximacion de un loop van a generar todos los estados posibles de quarks, esto es

OT = OT =0 + Oqe-M/T + Oqqe-2M/T +    .

(5.47)

Notar que, si bien el termino Oq corresponde al estado de un quark aislado, el siguiente termino Oqq tiene que ser un estado diquark qq, correspondiente a un unico quark que se propaga dando dos vueltas
alrededor del cilindro termico. Este termino no puede ser un estado mesonico qq, puesto que a un loop
este estado viene de la linea de un quark que primero sube y despues baja en tiempo imaginario. En este caso el camino no da ninguna vuelta alrededor del cilindro termico, y por tanto su contribucion esta ya incluida en el termino de temperatura cero OT =0.

5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales

105

Este problema se puede evitar imponiendo a mano que el condensado sea invariante gauge. Esto se haria eliminando de la suma en (5.49) los terminos que no tienen trialidad cero, esto es



qq T

=

(-1)n q(x0)q(0)

.

singlete

n=-

x0=iNcn

(5.50)

Esta formula genera como primera correccion un termino barionico Nc e-NcM . El factor Nc es generado por el loop de quarks.

5.3.3. Conflicto con Teoria Quiral de Perturbaciones

Aparte del problema de la generacion de estados multi-quarks que no preservan trialidad, surge otra problematica cuando comparamos nuestros resultados con los de Teoria Quiral de Perturbaciones a temperatura finita. En el limite quiral, esto es para m  2T  4f, las correcciones termica de orden mas bajo al condensado de quarks (por ejemplo, para Nf = 2), vienen dadas por

qq T

=

TQP

qq T =0

1

-

T2 8f2

-

T4 384f4

+





.

(5.51)

 Puesto que f  Nc, las correcciones de temperatura finita estan suprimidas en Nc en relacion a la contribucion de temperatura cero. Este hecho contradice el resultado de

ec. (5.48), pues de ahi se obtiene que todas las correcciones termicas son del mismo orden

en un contaje en Nc. El resultado de TQP, ec. (5.51), se ha obtenido considerando loops pionicos, los cuales

son dominantes para T  M. El problema reside en que incluso sin loops pionicos los

modelos de quarks quirales predicen una transicion de fase quiral en torno a Tc  170 MeV, lo cual concuerda bien, aunque de manera injustificada, con los resultados en el reticulo.

5.4. Acoplamiento del loop de Polyakov en los Mode-
los de Quarks Quirales
A temperatura cero es posible preservar la invariancia gauge mediante el acoplamiento de los gluones con el modelo. Dentro del espiritu del modelo, estos grados de libertad deberian tratarse de un modo perturbativo, pues los quarks constituyentes llevan cierta informacion sobre efectos gluonicos no perturbativos.
A temperatura finita la situacion es diferente pues, como hemos dicho ya, un tratamiento perturbativo de la componente cero del campo gluonico romperia explicitamente la invariancia gauge. Por tanto, tiene sentido considerar aqui el loop de Polyakov gluonico y su acoplamiento con los modelos quirales. K. Fukushima [104] sugiere este acoplamiento en virtud de la analogia que existe entre el loop de Polyakov y el potencial quimico (ver

106

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

sec. 2.1). El tratamiento que vamos a considerar nosotros parte del uso del heat kernel a temperatura finita (capitulo 2). Nuestra aproximacion es similar a la de Fukushima, excepto por el hecho de que consideraremos un loop de Polyakov local (x) sujeto a fluctuaciones cuanticas. Un tratamiento de campo medio no permitiria tener en cuenta estas fluctuaciones, y al final del capitulo veremos que estas pueden ser importantes para que los resultados del modelo se muestren compatibles con estudios recientes en el reticulo.

5.4.1. Acoplamiento minimo del loop de Polyakov

En los modelos de quarks quirales debemos considerar quarks con grados de libertad de sabor y de color. A partir de ahora consideraremos el operador de Dirac, ec. (5.19), como un operador no trivial en espacio de color. Lo podemos escribir de la siguiente forma:

D =D/V + A/f 5 + M U 5 ,

(5.52)

donde DV =  + Vf + gVc0 es la derivada covariante vector. Vf y Af son matrices antihermiticas en espacio de sabor y la identidad en el espacio de color. Vc es la identidad en espacio de sabor y matriz antihermitica en espacio de color. Los acoplamientos gauge de sabor daran lugar a loops de Polyakov con quiralidades right y left.2 Los acoplamientos
gauge de color daran lugar al loop de Polyakov con grados de libertad de color,

x0 +

c(x0, x) = T exp -g

dx0 V0c(x0, x) .

x0

(5.55)

c es una matriz en espacio de color, y la identidad en espacio de sabor. En esta tesis unicamente nos vamos a preocupar del loop de Polyakov de color, que denotaremos como lo venimos haciendo hasta ahora, , de modo que el loop de Polyakov de sabor lo consideraremos igual a la identidad.
Si nos fijamos en ec. (5.26), podemos hacer uso del desarrollo del heat kernel a temperatura finita (capitulo 2) para obtener el lagrangiano efectivo como un desarrollo en derivadas covariantes. El lagrangiano va a tener la forma

L(x) = tr[fn((x))On(x)] ,
n

(5.56)

2El loop de Polyakov quiral de sabor se define

x0+

f (x0, x) = T exp -

dx0 (V0f (x0, x) + 5Af0 (x0, x)) .

x0

(5.53)

f es una matriz en espacio de sabor, y la identidad en espacio de color. En terminos de campos right y left se escribe como f = RPR + LPL, donde

x0+

R,L(x0, x) = T exp -

dx0 (V0f (x0, x)  Af0 (x0, x)) ,

x0

(5.54)

y

PR,L

=

1 2

(1



5).

Notar

que

la

simetria

gauge

grande

en

espacio

de

sabor

a

temperatura

finita

precisa

del uso del loop de Polyakov quiral.

5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales

107

donde tr es la traza sobre todos los grados de libertad internos, n etiqueta todos los
operadores locales covariantes gauge On (esto es, que contienen derivadas covariantes), y fn((x)) son funciones dependientes de la temperatura y del loop de Polyakov. Estas funciones reemplazan los coeficientes numericos presentes en el caso de temperatura cero.
En estos calculos, el loop de Polyakov aparece minimamente acoplado a traves de las frecuencias de Matsubara fermionicas modificadas3

n = 2T (n + 1/2 + ) ,  = (2i)-1 log  .

(5.57)

En nuestra notacion  = ei2, donde (x) = igV0(x)/(2T ). El efecto de este cambio en

las frecuencias de Matsubara da lugar a la siguiente regla para pasar a las formulas con

T =0



F~(x; x) 

(-(x))nF~(x, x0 + in; x, x0) .

(5.58)

n=-

F (x; x) es el propagador fermionico a temperatura finita que comienza y acaba en el mismo punto. En ec. (5.58) aparece el factor (-(x))n, en lugar del factor (-1)n que se obtiene de la regla estandar, ec. (5.42), despues de usar la formula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y considerar la transformada de Fourier.
La interpretacion de ec. (5.58) se puede visualizar en fig. 5.1. En un loop de quarks a temperatura finita con un numero arbitrario de campos externos y con una linea de Wilson no trivial, cada vez que los quarks dan una vuelta alrededor de la direccion temporal compatificada, estos adquieren una fase (-1) debido a la estadistica de Fermi-Dirac, y un factor no abeliano de Aharonov-Bohm4 . La contribucion total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color.

5.4.2. Promedio sobre el grupo

En la seccion 5.4.1 se ha considerado el acoplamiento minimo del loop de Polyakov con el modelo quark quiral, que consiste simplemente en hacer la sustitucion

0  0 + gV0c ,

(5.59)

en el operador de Dirac, ec. (5.19). El modelo quark quiral acoplado con el loop de Polyakov se obtiene considerando el acoplamiento minimo de ec. (5.59), y una integracion del campo gluonico V0 de un modo que preserve invariancia gauge. Esto va a generar una funcion de particion de la forma

Z = DU D e-G[]e-Q[U,] ,

(5.60)

3En nuestro tratamiento, n es el unico sitio donde aparece la dependencia explicita en los grados de libertad de color, de modo que se puede pensar en  como el conjunto de sus autovalores.
4E sta es una fase de tipo electrico, diferente a la fase magnetica estandar. No obstante, el nombre es
apropiado puesto que la fase electrica fue discutida por primera vez en el articulo original AB.

108

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

(-) n

Figura 5.1: Diagrama tipico de un loop de quarks con una linea de Wilson no trivial. Para n vueltas alrededor de la direccion temporal compactificada U(1), surge un factor topologico n ademas del factor estadistico de Fermi-Dirac (-1)n. Las lineas onduladas son campos externos. La contribucion total del diagrama se obtiene sumando sobre todas las vueltas y calculando la traza en espacio de color.

donde DU es la medida de Haar del grupo quiral de sabor SU(Nf )LSU(Nf )R, y D la medida de Haar del grupo de color SU(Nc). G es la accion efectiva gluonica y Q corresponde a la accion efectiva de los quarks. Ec. (5.60) es una expresion generica, valida tanto para el modelo NJL como para el modelo espectral, siempre y cuando se considere la correspondiente accion efectiva de los quarks: ec. (5.21) en el primer caso y ec. (5.41) para el segundo.
Si no se tuviera en cuenta la medida de Haar de color, y se considerara V0c = 0 y  = 1, se obtendria la forma original del modelo quark quiral, donde existe una relacion uno a uno entre el desarrollo en loops y el desarrollo en Nc grande, tanto a temperatura cero como a temperatura finita. De manera equivalente se podria considerar una aproximacion de punto de silla y sus correcciones. En presencia del loop de Polyakov tal correspondencia no existe, de modo que consideraremos un desarrollo en loops de quarks, esto es, una aproximacion de punto de silla para el campo bosonico U, y mantendremos la integracion en el loop de Polyakov (constante) . En el trabajo de [104] se hace uso de la aproximacion de punto de silla para .
La integracion del loop de Polyakov  debe realizarse de acuerdo con la dinamica de QCD. Esto implica un promedio sobre el loop de Polyakov local con cierto peso normalizado (; x) D. Aqui (; x) es la distribucion de probabilidad (independiente de la temperatura) de (x) en el grupo gauge. Para una funcion general f (), se tiene5

1 Nc

trc

f

()

=

D
SU(Nc )

()

1 Nc

Nc j=1

f (eij )

=

 -

d 2

^()f

(ei)

,

(5.61)

5f () se entiende como una funcion ordinaria f (z) evaluada en z = .

5.4 Acoplamiento del loop de Polyakov en los Modelos de Quarks Quirales

109

donde eij , j = 1, . . . , Nc son los valores propios de  y

^() :=

D () 1

SU(Nc )

Nc

Nc j=1

2( - j) .

(5.62)

A temperatura suficientemente pequen~a, la distribucion del loop de Polyakov se en-

cuentra muy cercana a la medida de Haar de SU(Nc).6 En este caso la funcion ^() es

simplemente

^()

=

1

-

2(-1)Nc Nc

cos

(Nc)

.

(5.63)

Introduciendo ec. (5.63) en ec. (5.61) se obtienen facilmente las siguientes formulas para el

promedio sobre la medida de Haar de SU(Nc) Nc ,
trc(-)n SU(Nc) = -01, ,

n=0 n = Nc . otro caso

(5.64)

5.4.3. Solucion de la problematica

Si aplicamos este formalismo al condensado de quarks, nuestro modelo conduce a7

qq

T


=

1

n=- Nc

trc(-)n

q(x0)q(0) |x0=in .

(5.65)

Si tenemos en cuenta ec. (5.64), observamos que en nuestro modelo el loop de Polyakov no solo permite eliminar los terminos que rompen trialidad, sino que las contribuciones termicas estan suprimidas en Nc en relacion al valor de temperatura cero, tal y como se espera de TQP. Esto resuelve la problematica que discutimos en la seccion 5.3.
El condensado de quarks a temperatura finita, a un loop de quarks es

qq T =

qq

T =0

+

2M 2T 2Nc

K1(NcM/T )

+

T pequen~o

qq T =0 + 4

MT 2Nc

3/2
e-NcM/T .
(5.66)

Los puntos indican efectos gluonicos o del mar de quarks de orden superior. Notar que

debido a la supresion exponencial, las correcciones termicas de orden mas bajo a nivel

de un loop de quarks comienzan solo a temperaturas cercanas a la transicion de fase de

desconfinamiento. Hemos denominado a este efecto el enfriamiento de Polyakov [99, 100],

ya que es generado por el promedio de los loops de Polyakov sobre el grupo. Esto significa

que en la aproximacion quenched, no se debe de esperar ningun efecto termico importante

sobre los observables de los quarks por debajo de la transicion de fase, y el cambio mas

grande deberia de provenir de loops de bosones pseudoescalares a bajas temperaturas.

Esto es justo lo que se espera de TQP. Veremos mas adelante como estas propiedades se

modifican en presencia del determinante fermionico.

6Esto se justificara en sec. 5.6.2. 7 La formula (5.65) es la analoga a ec. (5.48), pero considerando la fase no abeliana  y el promedio
sobre el grupo.

110

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

5.5. Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita

La estructura de QCD a bajas energias se puede describir muy bien en teoria quiral de perturbaciones. El desarrollo quiral corresponde a un desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos. Los campos pseudoescalares U son de orden O(p0), los campos vector V, axial A y cualquier derivada  son de orden O(p). Los campos externos escalar S, pseudoescalar P y la matriz de masa de los quarks m0 son de orden O(p2).
Como se muestra en trabajos previos a temperatura cero [105, 106, 107, 108, 109], los modelos de quarks quirales permiten entender de un modo cuantitativo y microscopico la estructura del lagrangiano efectivo a bajas energias que se deduce de TQP para los mesones pseudoescalares a nivel arbol. En concreto, proporcionan valores numericos para las contribuciones de orden mas bajo en Nc de las constantes de baja energia.
En esta seccion vamos a extender los resultados de temperatura cero a temperatura finita, y consideraremos la influencia del loop de Polyakov. Siguiendo el metodo desarrollado en el capitulo 2, y que ya aplicamos en el capitulo 3 para el calculo de la accion efectiva de QCD en el regimen de temperatura alta, se puede escribir la estructura del lagrangiano efectivo a baja energia para los mesones pseudoescalares a temperatura finita a nivel arbol, mediante un desarrollo de tipo heat kernel para los modelos de quarks quirales a nivel de un loop. En TQP a temperatura finita se considera en general que las constantes de baja energia son independientes de la temperatura. Esta es una suposicion bastante razonable, ya que la aplicabilidad de TQP se basa en la existencia de un gap de masa entre los bosones de Goldstone y el resto del espectro hadronico. Para mesones no extran~os el gap viene dado por la masa del meson , MV , de modo que es de esperar que la dependencia en temperatura de las constantes de baja energia sea del orden de e-MV /T . En un modelo quark quiral, los mesones pseudoescalares son particulas compuestas de quarks constituyentes con una masa M, y los efectos terminos tambien deberian de influir en su estructura microscopica. El calculo que realizaremos en esta seccion va a permitir analizar esto de una manera cuantitativa.

5.5.1. Estructura del lagrangiano
El calculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita en los modelos de quarks quirales se limita, desde un punta de vista tecnico, al calculo de trazas en espacio de Dirac y en espacio de sabor. En el apendice D se hace en detalle. Mostraremos aqui el resultado final.
El lagrangiano efectivo a baja energia escrito en la notacion de Gasser-Leutwyler [27]

5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita

111

y en espacio euclideo se escribe

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2(, M, )

,

(5.67)

Lq(2)

=

f2 4

trf

DU DU - (U + U )

,

(5.68)

Lq(4) = -L1(trf (DU DU ))2 - L2trf (DU DU )trf (DU DU ) -L3trf (DU DU D U DU ) - L3trf (D0U D0U DU DU )

+L4trf (DU DU )trf (U + U ) +L5trf (DU DU (U + U )) + L5trf (D0U D0U (U + U )) +L5trf (D0D0U  + D0D0U ) - L6(trf (U + U ))2 - L7(trf (U - U ))2 +Ltrf (U D0D0U - U D0D0U )trf (U - U )

-L8trf (U U + U U )

-L9trf (FRDU DU + FLDU DU )
-L9trf (EiR(D0U DiU - DiU D0U ) + EiL(D0U DiU  - DiU D0U )) -L9trf (D0EiRU DiU + D0EiLU DiU ) +L10trf (U FL U F R) +H1trf ((FR )2 + (FL )2) + H1trf ((EiR)2 + (EiL)2) - H2trf () .

(5.69)

trf es la traza en espacio de sabor. Las derivadas covariantes quirales son

DU = DLU - U DR = U + lU - U r, FR = [DR, DR] = r - r + [r, r], FL = [DL, DL] = l - l + [l, l],

(5.70)

donde r = V + A, y l = V - A. . . . indica promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). La estructura de este lagrangiano resulta bastante interesante. Por una parte existen terminos que se pueden escribir como los del lagrangiano a temperatura cero, pero con acoplamientos efectivos dependientes de la temperatura. Ademas de estos, existen nuevos terminos que rompen invariancia Lorentz. Curiosamente, en el lagrangiano aparecen menos terminos del segundo tipo de los que en un principio se podria pensar en base a las simetrias conocidas. Todavia no entendemos del todo este hecho, que parece sugerir la existencia de alguna simetria accidental. Si bien sospechamos que esta simetria existe solo a un loop, seria interesante encontrarla explicitamente.

5.5.2. LEC para el modelo de NambuJona-Lasinio
Si bien esta es la estructura general que se ha encontrado para los modelos de quarks quirales, los valores de los coeficientes de baja energia dependen del modelo en particular.

112

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Mostramos aqui los valores de las constantes de baja energia (LEC) obtenidas para el
modelo de NambuJona-Lasinio. Para evitar complicaciones con el loop de Polyakov, hemos considerado el modelo NJL sin integracion de los campos de espin 1 (vector y axial).8

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2

,

f2

=

M2 42

trcJ0

,

f2B0

=

M 42

trcJ-1

,

L1

=

M4 24(4)2

trcJ2

,

L2 = 2L1 ,

L3

=

-8L1

+

1 2

L9

,

L3

=

-

M2 6(4)2

trcJ 1

,

L4 = 0 ,

L5

=

M 2B0

f2 4M 2

-

3L9

,

L5

=

1 2

L3

,

L5

=

1 2

L3

,

L6 = 0 ,

L7

=

1 8Nf

-

f2 2B0M

+

L9

,

L

=

-

1 4Nf

L3

,

L8

=

1 16B0

1 M

-

1 B0

f2

-

1 8

L9

,

L9

=

M2 3(4)2

trcJ1

,

L9 = -L3 ,

L9 = -L3 ,

L10

=

-

1 2

L9

,

(5.71)

H1

=

-

f2 24M

2

+

1 4

L9

,

H

 1

=

-

1 6(4)2

trcJ 0

,

H2

=

-

f2 8B02

+

1 4

L9

,

donde las integrales Jl estan definidas en ecs. (D.22)-(D.26). Los coeficientes de Gasser-

Leutwyler estandar se pueden expresar en terminos de f2, B0, L1 y L9, o de manera equi-

valente, en terminos de las los terminos que rompen la

integrales trcJ-1 simetria Lorentz,

, trcJ0 excepto

H, t1r,csJo1n

y trcJ2 . Notar proporcionales.

que

todos

Si el loop de Polyakov  se considera igual a la unidad, las expresiones (5.71) siguen

siendo validas, salvo por el hecho de que el promedio en el grupo y la traza de color deben

sustituirse por un factor Nc.

5.5.3. LEC para el Modelo Quark Espectral
En este modelo se debe hacer un promedio sobre la masa constituyente de los quarks con una funcion espectral () que actua como peso (ver sec. 5.2.2). Notar que M no solo aparece como argumento de las integrales Jl, sino que tambien aparece en forma de factores multiplicativos. Esto dara lugar a un numero mayor de funciones independientes
8En el capitulo 6 se calculara la accion efectiva del modelo NJL generalizado a temperatura cero con integracion en estos campos.

5.5 Lagrangiano Quiral a Temperatura Finita

113

en comparacion con el modelo NJL.

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2

,

f2

=

1 42

2trcJ0

,

f2B0

=

1 42

trcJ-1

,

L1

=

1 24(4)2

4trcJ2

,

L9

=

1 3(4)2

2trcJ1

,

L3

=

-

1 6(4)2

2trcJ 1

,

L5

=

1 2(4)2B0

(

trcJ0

-

3trcJ1 ) ,

L7

=

1 2(4)2Nf

-

1 2B0

trcJ0

+ 42L9

,

L8

=

1 4(4)2B0

trcJ0

-

f2 16B02

-

1 8

L9

,

H1

=

-

1 6(4)2

trcJ0

+

1 4

L9

,

H

 1

=

-

1 6(4)2

trcJ 0

,

H2

=

1 2(4)2B0

1 B0

trcJ-1

-

trcJ0

-

f2 8B02

+

1 4

L9

.

(5.72)

Para simplificar la notacion, con . . . indicamos tanto el promedio sobre el loop de Polyakov

como el promedio espectral C d() . . . . El resto de coeficientes satisfacen las mismas relaciones geometricas que se obtuvieron para el modelo NJL. En ambos modelos se obtiene

la relacion

L7

=

-

1 Nf

f2 16B02

+ L8

.

(5.73)

Podemos calcular explicitamente las integrales haciendo uso del esquema de dominancia vectorial de la funcion espectral () (ver sec. 7.4 y ref. [101]). Despues de calcular el promedio en el grupo SU(Nc), se obtiene

trcJ-2
trcJ-1 trcJ-1
trcJ0

=

-

Nc 2

4

-

2MV4 3x4V

48 + 24xV + 6x2V + x3V

e-xV /2 ,

=

Nc2

-

2MV2 3x2V

12 + 6xV + x2V

e-xV /2 ,

= 3 Nc - 2e-xS/2 ,

= -Nc(0 + 0) + 2E - 4 log(4) + 4 log(xV ) - 2(5/2)

-

x5V 1800

1F2

{

5 2

},

{

72 ,

7 2

},

xV 4

2

-

x2V 12

2F3

{1,

1},

{-

1 2

,

2,

2},

xV 4

2

,

114

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

trcJ0 2trcJ0 2trcJ1 3trcJ1 4trcJ2
trcJ 0 2trcJ 1

=

-Nc1

-

23 MS2

(2

+

xS )e-xS/2

,

=

-Nc2

-

MV2 6

(2

+

xV

)e-xV

/2

,

=

Nc0

-

1 6

12 + 6xV + x2V

e-xV /2 ,

=

-

3x2S 2MS2

e-xS

/2

,

=

Nc0

-

1 24

48 + 24xV + 6x2V + x3V

e-xV /2 ,

=

-

1 3

12 + 6xV + x2V

e-xV /2 ,

=

-

x2V 12

(2

+

xV

)e-xV

/2

,

(5.74)

con la notacion

xV := NcMV ,

xS := NcMS ,

(5.75)

donde MV es la masa del meson vectorial (masa del ), y MS es la masa del escalar. pFq[a1, . . . , ap; b1, . . . , bq; z] son las funciones hipergeometricas generalizadas [52].

5.6. Correcciones de orden superior
En las secciones 5.4 y 5.5 hemos considerado los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks. Esto corresponde a la aproximacion quenched dentro del modelo. Asimismo se ha hecho uso de que a temperaturas suficientemente pequen~as basta con considerar el promedio sobre el grupo gauge de color SU(Nc). En esta seccion discutiremos algunas consecuencias importantes que se obtienen al ir mas alla de estas aproximaciones.

5.6.1. Mas alla de un loop de quarks
El ir mas alla de la aproximacion de un loop de quarks puede conducir a calculos bastante tediosos (ver refs. [110, 111] para calculos explicitos del modelo NJL estandar sin loop de Polyakov). Aqui no nos vamos a preocupar de hacer un calculo explicito, no obstante se pueden deducir algunas consecuencias importantes basadas en ciertas reglas de contaje en Nc a temperatura finita.
Consideremos, por ejemplo, el diagrama a tres loops de la figura 5.2, que contribuye al condensado quiral en el modelo NJL en terminos de los propagadores de los quarks. La contribucion de este diagrama se escribe9

Fig.(2a) =

S(w(1))  S(w(1))  S(w(2))  S(w(3))  S(w(1) + w(3) - w(2)) .

w (1) ,w (2) ,w (3)

9Por simplicidad, escribimos unicamente las frecuencias de Matsubara.

5.6 Correcciones de orden superior

115

01 001101

01 001101

0011 00011101 01
a

0011

01 0101

01 001101

b

0011 001101
c

Figura 5.2: Diagrama tipico mas alla de un loop para el operador del condensado de quarks qq. Las lineas de los quarks con momentos independientes pueden dar n vueltas alrededor del tiempo euclideo compactificado, dando lugar al factor de Fermi-Polyakov (-)n. La conservacion de trialidad solamente permite que las lineas internas de quark-antiquark den una unica vuelta y en sentidos opuestos, lo cual genera una supresion exponencial e-2M para el diagrama a). Una supresion similar ocurre para el diagrama b) si las vueltas del quark-antiquark ocurren en cada una de las burbujas. El diagrama c) se corresponde con una suma de todos los estados intermedios con los mismos numeros cuanticos, y puede interpretarse como la linea de un meson.

Haciendo uso de la formula de Poisson para la sumatoria, ec. (2.36), y yendo a espacio euclideo se tiene

Fig.(2a)

= 

n1 +n2 +n3
n1 ,n2 ,n3


d1d3 S(1)  S(-1 - 3 + n1 + n3) 
-

S(-3 + n2 + n3)  S(3)  S(3 - n3)

 e . n1+n2+n3 -M (|n1|+|n2|+|n3|)

(5.76)

n1 ,n2 ,n3

La conservacion de trialidad para este diagrama implica, n1 + n2 + n3 = kNc, y el valor minimo del exponente se consigue con n1 = n2 = n3 = 0, que es la contribucion de temperatura cero. La primera correccion termica a temperatura pequen~a viene dada por n1 = 0, n2 = -n3 = 1, de modo que el diagrama a 3 loops de fig.(2a) se encuentra suprimido en un factor  e-2M , en comparacion con la supresion de un loop de quarks  e-NcM . Una supresion termica similar se obtiene si introducimos la suma estandar sobre burbujas, que puede acoplarse a los numeros cuanticos de los mesones transformando el argumento del exponente en 2M  Mqq. Obviamente, esta contribucion resulta mas importante para el pion mas ligero. En realidad, el diagrama quark-meson de la fig.(2b) es similar al diagrama bosonizado de dos loops que se muestra en fig.(2c). Para este diagrama bosonizado los argumentos previos resultan mas simples, ya que el numero de loops es igual al numero de propagadores de quarks. El operador de polarizacion del pion, proporcional al propagador del pion, se puede tomar a temperatura cero, ya que la supresion mas importante viene de las lineas de quarks que no estan acopladas a los numeros cuanticos del pion.

116

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Para un diagrama bosonizado con L loops de quarks, tenemos que considerar L generalizaciones de las correcciones a nivel de un loop de quarks, ec. (5.58). El analisis es mas simple en espacio de coordenadas. En lugar del numero total de propagadores de quarks, consideramos la suma de Poisson de L propagadores. Esto se puede hacer mediante la formula









dx4F (x4 + n + m) =

dx4F (x4 + n) .

n,m=- 0

n=- -

(5.77)

Esto significa que es posible eliminar tantas sumas de Poisson como integrales en coor-
denadas aparecen en las expresiones. Haciendo uso de L = I - (V - 1) y 4V = E + 2I tenemos10

L i=0

d4ziG2L

L i=1

(-)ni

S

(xi

,

ti

+

ini)

.

n1,...,nL

(5.78)

En realidad, esta regla no depende de la forma precisa de la interaccion de los quarks. A bajas temperaturas, cada linea de quark con un indice de Poisson independiente genera una supresion dada por una masa constituyente de quark. Por tanto, la contribucion a un observable se puede descomponer esquematicamente del siguiente modo

OT =

O  n1...nL n1+...nL e-M (|n1|++|nL|) .

L n1,...,nL

La conservacion de trialidad de la medida   z a este nivel conduce a

(5.79)

n1 +    + nL = kNc

(5.80)

con k = 0, 1, 2, . . . . El termino dominante en el desarrollo de ec. (5.79) es aquel para el que

n1 = . . . = nL = 0 con un numero arbitrario de loops de quarks L, y se corresponde con la contribucion de temperatura cero. Ademas, se ve que para L = 1 unicamente se tienen

contribuciones de n1 = kNc, lo cual da lugar a correcciones e-NcM, que permiten reproducir los resultados de las secciones 5.4 y 5.5. A partir de la ec. (5.79) podemos ver como se

organiza el desarrollo termico para temperaturas bajas. Las contribuciones termicas mas

importantes vienen de minimizar

L i=1

|ni|,

sujeto

al

requerimiento

de

conservacion

de

tria-

lidad, ec. (5.80). A temperatura finita y para Nc  3 se tiene que la primera correccion

termica viene dada por L = 2 y n1 = -n2 = 1 con n3 = . . . = nL = 0, lo cual da el factor

e-2M y se corresponde con un estado mesonico qq. Esta contribucion esta suprimida por

un factor 1/Nc en relacion con la contribucion de temperatura cero. Para Nc = 3 el siguien-
te termino en el desarrollo corresponderia a L  3 y n1 = n2 = n3 = 1, lo cual da lugar a una supresion termica e-NcM . Para Nc  5 se tendria L  4 con n1 = -n2 = n3 = n4 = 1

10L es el numero de loops de quarks, V el numero de vertices, I el numero de lineas de quarks y E el numero de patas externas.

5.6 Correcciones de orden superior

117

y n5 = . . . = nL = 0. Si consideramos el caso Nc = 3 se tiene11

Zqq



1 Nc

e-2M/T

,

Zqqq  e-NcM/T ,

Zqqqqq



1 Nc

e-(2+Nc

)M/T

,

...

Z(qq)NM (qqq)NB



1 NcNM

e-(2NM +NBNc)M/T

.

(5.81) (5.82) (5.83) (5.84) (5.85)

Obviamente, para Nc = 3 la contribucion del loop mesonico es mas dominante que la del loop barionico. Los argumentos previos se han hecho sin tener en cuenta el efecto de confinamiento de los quarks, de modo que en realidad deberiamos considerar la masa fisica del meson m, y en este caso se tendria

OT = OT =0 +

m

Om

1 Nc

e-m/T

+

B

OB e-MB/T +    .

(5.86)

Asi es como funciona la dualidad quark-hadron en los modelos de quarks quirales a tempera-

tura finita. Como vemos, las contribuciones de los loops pionicos son las mas importantes,

incluso si se tiene en cuenta que estan suprimidas en 1/Nc. La siguiente contribucion al observable total a temperatura finita viene dada por los estados mesonicos sucesivos. En su

conjunto, esto es lo que se espera como consecuencia de la inclusion del loop de Polyakov

en los modelos de quarks quirales, teniendo en cuenta la proyeccion sobre el sector singlete

de color invariante gauge.

En

definitiva,

a

temperatura

finita

se

tiene

una

supresion

estandar

1 Nc

e-2M/T

prove-

niente de loops mesonicos y una supresion e-NcM/T de loops barionicos. Obviamente, las

contribuciones mas importantes para Nc grande o T pequen~o son las debidas a loops mesonicos.

La discusion anterior esta centrada en observables que contienen quarks. Para el valor

esperado del loop de Polyakov, por ejemplo, se tiene

O  e n1...nL 1+n1++nL -M (|n1|++|nL|)
L n1,...,nL

(5.87)

y

1 + n1 +    + nL = kNc .

(5.88)

La contribucion termica de orden mas bajo (no existe contribucion de temperatura cero) es n1 = -1, n2 = . . . = nL = 0, que se corresponde con un unico loop de antiquark que

11En el caso en que no se considerara la existencia del loop de Polyakov, se tendria ZqNq (qq)NM 

1 NcNM

e-(2NM +Nq)M/T

,

de

modo

que

las

contribuciones

de

orden

mas

bajo

corresponderian

a

estados

de

un

quark.

118

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

apantalla la carga del loop de Polyakov test. Este termino escala como e-M/T . Al contrario que para observables con quarks como el condensado quiral, este comportamiento no se ve afectado por loops pionicos. En sec. 5.6.4 obtendremos expresiones explicitas para estos observables en el modelo NJL.

5.6.2. Correcciones gluonicas

Hasta ahora hemos considerado simplemente una integracion sobre la medida del grupo

gauge. Desafortunadamente, no conocemos ningun argumento general por el cual tenga

que existir una supresion exponencial de los grados de libertad gluonicos a temperaturas

bajas, y por tanto dejando la medida de Haar como unico vestigio de los gluones. No

obstante, los resultados basados en desarrollos con acoplamientos grandes [112, 113] y en

la aproximacion de gluones masivos a un loop [114, 115] proporcionan esta supresion, y de

hecho los resultados recientes en el reticulo confirman una sorprendente universalidad en

todas las representaciones de los grupos, y favorece el mecanismo dominante del promedio

simple sobre el grupo [94].

De manera mas especifica, de los datos del reticulo [94] y de la medida del grupo se

encuentra que

|trc |2 = 1 ,

(5.89)

en la fase de confinamiento, o de manera equivalente trc  = 0, para la representacion adjunta. Notar que en la aproximacion de campo medio [104] |trc |2 se anula, debido a la ausencia de fluctuaciones.
El potencial gluonico a orden mas bajo que se deduce del desarrollo con acoplamientos
grandes viene dado por [112, 113]

G[] = Vglue[]  a3/T = -2(d - 1) e-a/T trc 2 ,

(5.90)

para Nc = 3 con la tension de la cuerda  = (425 MeV)2. A nivel de campo medio Vglue[] da lugar a una transicion de fase de primer orden con el acoplamiento critico 2(d-1)e-a/TD =

0,5153. Se puede fijar la temperatura de transicion a su valor empirico TD = 270 MeV mediante la eleccion a-1 = 272 MeV [104]. La masa correspondiente es mG = a = 664 MeV.
A temperaturas pequen~as se puede desarrollar la exponencial en potencias de la accion

gluonica

e-G[]

=

1

-

G[]

+

1 2

G[]2

+







,

(5.91)

lo que genera una supresion exponencial del tipo e-mG/T . Esto da lugar a la siguiente

formula de masas para el argumento de Boltzmann en la exponencial

M = nNcMq + mMqq + lmG ,

(5.92)

que muestra claramente que las contribuciones termicas de orden mas bajo a temperaturas bajas vienen dadas nuevamente por los loops termicos pionicos, lo cual corresponde a tomar n = l = 0 y m = 1, pues NcMq  mG  Mqq = m. Notar que numericamente, incluso la contribucion de dos loops pionicos resultaria mas importante que las correcciones gluonicas.

5.6 Correcciones de orden superior

119

En una serie de trabajos recientes [114, 115] se ha obtenido la ecuacion de estado para un gas de gluones masivos con una masa dependiente de temperatura en presencia del loop de Polyakov, lo cual permite reproducir los datos del reticulo de manera bastante precisa por encima de la transicion de fase. La densidad de energia de vacio se escribe

Vglue[] = T

d3k (2)3

trc

ln

1 - e-k 

,

(5.93)

donde k = k2 + m2G, con mG la masa del gluon. La dependencia en temperatura que se considera en estos trabajos es mG(T ) = T g(T ) 2, que en la transicion de fase (T = TD) toma el valor mG(TD) = 1,2 - 1,3 TD. Si se toma un valor constante para la masa del gluon por debajo de la transicion de fase, a bajas temperaturas se obtiene

Vglue[] = -T



1 n

|trc n|2 - 1

n=1

d3k (2)3

e-nk

,

(5.94)

donde se ha hecho uso de la identidad

trc n = |trc n|2 - 1 .

(5.95)

Haciendo uso de la representacion asintotica de las funciones de Bessel, se obtiene una supresion similar a la que se encuentra en el limite de acoplamientos grandes.

5.6.3. Correcciones locales en el loop de Polyakov

Vamos a considerar aqui un tratamiento preliminar de las correcciones locales en el loop de Polyakov. Hasta ahora se ha considerado un campo  constante en el espacio. De manera general, el loop de Polyakov depende tanto del tiempo euclideo como de las coordenadas espaciales. En el gauge de Polyakov la dependencia en tiempo euclideo es simple, pero aun queda una dependencia en coordenadas que es desconocida. En tal caso, las reglas anteriores deben ser modificadas, ya que las inserciones del loop de Polyakov llevaran un momento, y el resultado depende de su ordenamiento. Si seguimos considerando, como hasta ahora, que el loop de Polyakov es la unica fuente de color en el problema, nos vamos a encontrar con funciones de correlacion de loops de Polyakov. En la fase de confinamiento es de esperar una descomposicion basada en la existencia de propiedades de agrupamiento para cada par de variables. Por ejemplo, se tiene

trc(x1, ) trc-1(x2, )  e-|x1-x2| .

(5.96)

Por tanto, valores muy diferentes en la coordenada espacial estan suprimidos, de modo que tiene sentido considerar una aproximacion local dentro de la longitud de correlacion, y desarrollar las funciones de correlacion en gradientes dentro de esta region. En una primera aproximacion, esto se corresponde con la sustitucion del volumen cuatridimensional por un dominio de correlacion, mediante la regla

V

=

1 T

d3x

-

1 T

d3x e-r/T

=

8T 2 3

.

(5.97)

120

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

En el lagrangiano quiral a bajas energias, que se obtiene desarrollando la accion efectiva en derivadas de los campos mesonicos, aparecen tambien gradientes del loop de Polyakov. Este hecho se comenta en ref. [100]. En realidad, puesto que estamos acoplando el loop de Polyakov de manera efectiva como un potencial quimico de color dependiente de x, nuestra aproximacion es similar a una generalizacion no abeliana de la aproximacion de densidad local en teoria de muchos cuerpos de fisica nuclear y materia condensada, dentro del espiritu de la teoria del funcional de la densidad.

5.6.4. Resultados mas alla de la aproximacion quenched

En esta seccion nos proponemos ir mas alla de la aproximacion quenched en el calculo de algunos observables concretos, y para ello deberemos tener en cuenta la contribucion del determinante fermionico. El modelo quark quiral completo con acoplamiento del loop de Polyakov viene dado por ec. (5.60). La contribucion de los quarks a la funcion de particion del modelo NJL se escribe como

ZQ[U, ] := e-Q[U,] = Det(D) exp

-

a2s 4

trf

d4x (M - m^0)2 ,

(5.98)

que se obtiene a partir de ecs. (5.22)-(5.23) donde se ha aplicado la ecuacion del gap, ec. (5.28). En la seccion 5.5 se calculo del determinante fermionico en presencia de un loop de Polyakov (lentamente variable), como un desarrollo en momentos externos de los campos

Det(D) = e- d4x Lq(x) = exp - d4x (Lq(0)(x) + Lq(2)(x) + Lq(4)(x) +    ) . (5.99)

De acuerdo con la discusion de la seccion 5.6.3, la aproximacion de loop de Polyakov lentamente variable tiene sentido en una region donde existen correlaciones fuertes entre loops de Polyakov. Para nuestros propositos, bastara con considerar aqui la contribucion de vacio Lq(0). En el modelo de NJL esta contribucion se escribe

Lq(0)(x)

=

-

NcNf (4)2

ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2)

i

+

Nf 2

(M T )2



(-1)n

K2(nM/T n2

)

trcn(x) + trc-n(x)

,

n=1

= L(q0)(T = 0) + L(q0)((x), T ) ,

(5.100)

que se obtiene a partir de ec. (5.67) y ec. (D.25). El lagrangiano se ha escrito separando dos contribuciones: temperatura cero y temperatura finita. Esta ultima contiene el loop de Polyakov. Notar que en este punto aun no hemos considerado la integracion en el grupo gauge SU(Nc), de modo que no escribimos los corchetes . . . como hicimos en la seccion 5.5. En ec. (5.60) la integracion en DU la hemos realizado a nivel clasico, mediante el uso de las

5.6 Correcciones de orden superior

121

ecuaciones clasicas de movimiento del campo U, ec. (D.30), (para detalles, ver apendice D). La funcion de particion se puede escribir

Z=

D e-G[] exp -

d4x

a2s 4

trf

(M

- m^ 0)2

+ L(q0)(T

=

0) + L(q0)((x), T )

.

El valor esperado del loop de Polyakov se escribe

L

=

1 Nc

trc

=

1 NcZ

D e-G[]e-Q[] trc(x) ,

(5.101)

donde no indicamos dependencia de Q en U , pues nos limitamos a considerar Lq(0) que no tiene dependencia en los campos mesonicos. El calculo de ec. (5.101) puede hacerse
analiticamente en el limite de temperatura pequen~a. En este regimen pueden despreciarse las correcciones gluonicas e-G[] (ver seccion 5.6.2), de modo que en el promedio sobre el
grupo solamente contribuira la medida de Haar D. Cuando T es suficientemente pequen~o, se puede considerar el desarrollo del termino L(q0)(, T ) en la exponencial de ec. (5.101). A primer orden en este desarrollo aparecen las siguientes funciones de correlacion entre loops de Polyakov12

d4x D trc(x) trc(y) = 0 ,

(5.105)

d4x

D trc(x) trc-1(y) =

d4x

e-|x-y|/T

=

8T 2 3

.

(5.106)

La primera expresion es cero por conservacion de trialidad. La segunda expresion constituye la regla que mencionamos en ec. (5.97), que permite sustituir el cuadrivolumen infinito
d4x, por un volumen efectivo que especifica un dominio de correlacion 8T 2/3. Con todo esto se llega finalmente al siguiente resultado en el modelo NJL

L(T )

T pequen~o

4Nf Nc3

2M 3 

T

9

e-M/T

.

(5.107)

Notar que la trialidad no se preserva, debido a la presencia de quarks dinamicos, y la escala relevante es la masa constituyente de los quarks. Gracias a esta supresion exponencial,

12Si se considera un loop de Polyakov independiente de x, se tiene la siguiente formula de integracion

sobre el grupo SU(Nc)

D

ij kl

=

1 Nc

ik

jl

,

(5.102)

que conduce trivialmente a

D trc trc-1 = 1 .

(5.103)

Al considerar correcciones locales, se tiene

D trc(x) trc-1(y) = e-|x-y|/T .

(5.104)

122

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

esta justificado usar de manera efectiva el loop de Polyakov como un parametro de orden para la simetria del centro incluso en el caso unquenched. En realidad, nuestro analisis sugiere que un calculo del loop de Polyakov en QCD completo podria constituir un metodo para extraer una masa constituyente de los quarks invariante gauge. En cualquier caso, seria deseable disponer de datos en el reticulo del loop de Polyakov para temperaturas bajas, T  50 MeV, con objeto de hacer un analisis preciso.
Para el condensado de quarks, hacemos uso de

qq

T

=

-f2B0

=

-

M 42

trcJ-1

,

(5.108)

que obtuvimos en ec. (5.71). Al tener en cuenta la contribucion del determinante fermionico,

se tiene

qq

T

=

-

M 42

1 Z

D e-G[]e-Q[] trcJ-1(M, ) .

(5.109)

La expresion de J-1 viene dada en ec. (D.24). A partir de aqui, el procedimiento para hallar el comportamiento de qq T a baja temperatura es identico al caso del valor esperado del loop de Polyakov. En el regimen de T pequen~o, nuevamente e-G[] se puede despreciar, y podemos desarrollar el termino L(q0)(, T ) que aparece en e-Q[]. Teniendo en cuenta las
integrales (5.105)-(5.106), se llega a

qq T T pequen~o

qq

T =0 +

8Nf 2

M3T 3

6

e-2M/T

.

(5.110)

En el modelo quark espectral se obtiene el resultado de ec. (5.110), con la sustitucion 2M  MV (la masa del meson ), y un factor multiplicativo ligeramente diferente.
Como vemos, en el calculo unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es un poco menos efectivo que en el calculo quenched. Este mismo analisis se puede hacer para otros observables, por ejemplo las constantes de baja energia del lagrangiano efectivo quiral tienen un comportamiento LTi - LTi =0 T pequen~o e-MV /T [100].
Finalmente, seria necesario incluir mas loops de quarks, o equivalentemente excitaciones mesonicas. Esto daria exactamente el resultado de TQP con piones sin masa dominando en la region de temperaturas pequen~as. Por tanto, vemos que cuando el loop de Polyakov se acopla de manera conveniente a los modelos de quarks quirales, se obtiene una explicacion natural de los resultados encontrados hace tiempo en modelos puramente hadronicos.

5.7. Implicaciones sobre la transicion de fase de QCD
En la seccion 5.6 se hizo un estudio analitico del comportamiento a baja temperatura del loop de Polyakov y del condensado quiral en QCD unquenched. Resultaria interesante estudiar el comportamiento que predice nuestro modelo para estos observables en la region de la transicion de fase, y para ello deberemos integrar numericamente las ecuaciones (5.101) y (5.109). A diferencia de nuestro tratamiento, en ref. [104] se hace un estudio en la aproximacion de campo medio, en el cual la probabilidad de encontrar un loop de

5.7 Implicaciones sobre la transicion de fase de QCD

123

Polyakov dado es una funcion delta. La integral en el grupo permite tener en cuenta una dispersion de esa probabilidad debido a efectos cuanticos.
Para Nc = 3 el loop de Polyakov contiene dos variables independientes. En el gauge de Polyakov, 0A0 = 0, se puede parametrizar como una matriz diagonal del siguiente modo

 = diag(ei1 , ei2, e-i(1+2)) .

(5.111)

Con esta parametrizacion, podemos calcular la funcion de particion como

Z=

D e-G[]e-Q[] =

 -

d1 2

d2 2

G(1,

2)Q(1,

2)

,

(5.112)

donde

D e-G[]

=

d1 2

d2 2

G(1, 2) ,

e-Q[] = Q(1, 2) .

(5.113)

En Q[] no indicamos dependencia en los campos mesonicos U, pues al igual que en sec. 5.6.4 nos limitaremos a considerar la contribucion de vacio L(q0) del lagrangiano quiral,
ec. (5.100). Para una funcion general f (), se tiene

trcf ()

=

1 Z

 -

d1 2

d2 2

G(1, 2)Q(1, 2)(f (ei1)

+

f (ei2 )

+

f (e-i(1+2)))

=

1 Z

 -

d1 2

^(1)f (ei1) ,

(5.114)

donde

^(1) = 3

 -

d2 2

G(1,

2)Q(1,

2)

.

(5.115)

Por invariancia gauge, tanto la medida de Haar D, como las correcciones gluonicas e-G[],

las contribuciones fermionicas e-Q[], y trcf () son invariantes frente al intercambio de los autovalores del loop de Polyakov. Esto permite expresar trcf () como una integral en un unico parametro, tal y como se expresa en ec. (5.114), con la funcion peso adecuada,

ec. (5.115).

En nuestro tratamiento consideramos la integracion sobre el grupo SU(3) y una minimi-

zacion con respecto a M, lo cual se corresponde con ec. (5.28). Esto ultimo permite calcular

la dependencia en temperatura de la masa constituyente, y de ahi obtener el condensado

quiral

qq

T

=

-

a2s 2

trf

(M

(T

)

- m^ 0) .

(5.116)

Puesto que la constante de acoplamiento de cuatro quarks as parametriza informacion sobre los gluones, deberia de tener una dependencia en . No obstante, as incorpora informacion sobre todos los grados de libertad gluonicos, de modo que no deberia de verse muy afectado por la contribucion de , donde  viene dado unicamente por la componente temporal de los gluones.

124

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Parametros de orden

1 L
<qq>T/<qq>0 0.8

0.6

0.4 0.2
0 0

Estandar Gluodinamica Campo medio Nuestro modelo
50 100 150 200 250 300 350 400 450 T (MeV)

Figura 5.3: Dependencia en temperatura del condensado quiral qq en unidades relativas, y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc. El resultado estandar de qq T se corresponde con el modelo NJL sin acoplamiento con el loop de Polyakov. Se compara tambien por una parte con la aproximacion de campo medio de ref. [104], donde el loop de Polyakov es clasico y esta acoplado con los quarks, y por otra con nuestro modelo basado en la integracion sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se muestra asimismo el comportamiento de L en gluodinamica dentro del esquema de desarrollo con acoplamientos grandes, ec. (5.90). Se ha considerado Nf = 2.
En fig. 5.3 se muestra el comportamiento del condensado quiral qq T y el valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc en diferentes tratamientos del modelo NJL. Se compara la prediccion estandar del modelo NJL, con el calculo en aproximacion de campo medio de ref. [104], que corresponde a minimizar la energia de vacio como funcion de la masa constituyente M y del valor esperado del loop de Polyakov L. Comparamos asimismo con el resultado que obtenemos al considerar una integracion en el loop de Polyakov  con correcciones locales. En la figura se muestra ademas el comportamiento de L que se obtiene en gluodinamica, con el modelo de ec. (5.90) en su tratamiento de campo medio, lo cual conduce a una transicion de fase de primer orden en TD = 270 MeV. En nuestros calculos estamos considerando el modelo quark quiral con dos sabores Nf = 2, y para la masa desnuda de los quarks m^ 0 = diag(mu, md) consideramos el limite en que hay simetria de isospin, mu = md  mq. En los tres modelos hemos tomado mq = 5,5 MeV, y a2s = 76,2  10-3 GeV2. La integracion en momentos esta regulada por un cut-off PV = 828 MeV con regularizacion de Pauli-Villars. Este valor es el que se necesita para reproducir el valor experimental de la constante de desintegracion debil del pion f = 93,2 MeV, con la masa constituyente M = 300 MeV. Para la tension de la cuerda consideramos su valor a temperatura cero  = (425 MeV)2. Este parametro aparece cuando se calculan funciones de correlacion de loops de Polyakov (por ejemplo, ec. (5.106)).
El efecto neto de la integracion sobre el grupo de color SU(3) consiste en un desplazamiento de la temperatura de transicion quiral a valores mayores, respecto a las tempera-

5.7 Implicaciones sobre la transicion de fase de QCD

125

L/T [GeV-1] <qq>/T [GeV2]

14

L/T

1

12

<qq>/T

10

0.8

8

0.6

6 0.4
4
0.2 2

0

0

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

T(MeV)

Figura 5.4: Dependencia en temperatura de  qq /T y L/T , obtenida con el modelo NJL basado en la integracion sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2.
turas que se obtienen en los tratamientos estandar y de campo medio. Por tanto, el modelo basado en la integracion sobre el grupo de color proporciona un enfriamiento efectivo, no solo en el regimen de temperaturas pequen~as (ver secciones 5.4.3 y 5.6.4), sino tambien en el regimen de la transicion de fase. Como se ve en fig. 5.3, el acoplamiento del modelo quark quiral con gluodinamica modifica la transicion de fase de primer orden de gluodinamica en una transicion de fase de segundo orden. Un estudio de la susceptibilidad de los parametros de orden quiral qq y de desconfinamiento L, permite ver que con nuestro modelo ambas transiciones de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simultaneamente: T = TD = 256(1) MeV; (ver fig. 5.4).
En fig. 5.5 se compara el comportamiento del loop de Polyakov obtenido en nuestro modelo, con calculos en el reticulo para QCD unquenched (Nf = 2) en la zona de transicion de fase. Estos datos se han calculado en un reticulo de taman~o 163 4, con mq/T = 0,4 [22]. Se muestra asimismo el comportamiento del condensado quiral. Hemos comprobado que una dependencia en temperatura de la tension de la cuerda  permite compatibilizar los resultados de nuestro modelo con los obtenidos en el reticulo. Esto conduce a un rango de incertidumbre en la tension de la cuerda,  = 0,181  0,085 GeV2, que da cuenta en cierto sentido de la incertidumbre existente en el modelo. En fig. 5.5 la banda de error asociada a esta incertidumbre conduce a una temperatura de transicion de T = TD = 255  50 MeV. Si se ignoraran en el modelo las correcciones gluonicas dadas por ec. (5.90), no existiria un efecto apreciable por debajo de la transicion de fase, si bien esta aumentaria en 30 MeV, un valor que se encuentra dentro de nuestra estimacion del error.
Con objeto de comprender el mecanismo de rotura de la simetria del centro en nuestro modelo, podemos estudiar como evoluciona la distribucion ^(), ec. (5.115), a traves de la transicion de fase, y observar explicitamente los efectos generados por las contribuciones fermionicas e-Q[]. En fig. 5.6 se muestra esta evolucion. Por debajo de la transicion de

126

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Parametros de orden

1

L

<qq>T/<qq>0 0.8

0.6

0.4
N=4, ref. [22] Nuestro modelo 0.2

0

0

50 100 150 200 250 300 350 400 450

T (MeV)

Figura 5.5: Dependencia en temperatura del condensado quiral qq y del valor esperado del loop de Polyakov L = trc /Nc, obtenido con el modelo NJL basado en la integracion sobre el grupo de color SU(3) y considerando correcciones locales en el loop de Polyakov. Se ha tomado Nf = 2. Las bandas de error corresponden a una incertidumbre en la tension de la cuerda  = 0,181  0,085 GeV2. Se compara con los datos del reticulo para QCD con 2 sabores, obtenidos en [22].

fase la funcion de distribucion ^() presenta tres minimos en valores de  equidistantes, tal y como exige la simetria del centro Z(3). En este caso el determinante fermionico no produce una modificacion importante. Cuando la transicion de fase tiene lugar, aparece una concentracion interesante de angulos en la region cercana al origen  = 0, debida a los quarks, lo que genera una fuerte rotura de la simetria del centro. A medida que la temperatura aumenta, la distribucion del loop de Polyakov tiende a ser mas picuda en torno a  = 0, y este pico domina la integral en . Notar que la distribucion ^G() en gluodinamica no presenta rotura explicita de la simetria del centro para ningun valor de T , de modo que el unico mecanismo posible en este caso es la rotura espontanea.
Nuestro modelo permite calcular el valor esperado del loop de Polyakov en otras representaciones. En fig. 5.7 se muestra el comportamiento del valor esperado del loop de Polyakov en representacion adjunta, trc /(Nc2 - 1). Para ello hemos hecho uso de la identidad (5.95) con n = 1. De acuerdo con los datos del reticulo obtenidos con el modelo matricial de ref. [94], el valor esperado se anula por debajo de la transicion de fase. Notar que este hecho no se cumple en el tratamiento de campo medio, para el cual se obtiene el valor -1/(Nc2 - 1) (de ec. (5.95)). El considerar la integracion sobre el grupo conduce a unos resultados acordes con lo que se espera de los estudios en el reticulo. En fig. 5.7 se muestra tambien el comportamiento del loop de Polyakov en representacion fundamental, y la fluctuacion total del loop de Polyakov, que definimos como





1 Nc

trc trc-1

-

trc

2

=

1 Nc

1 + trc - trc 2 .

(5.117)

5.8 Conclusiones

127

  

4.5

4

GG+Q

3.5

3

2.5

T = 200 MeV

2

1.5

1

0.5

0

-3

-2

-1

0

1

2

3



4.5

4

GG+Q

3.5

3

2.5

T = 255 MeV

2

1.5

1

0.5

0

-3

-2

-1

0

1

2

3



4.5

4

GG+Q

3.5

3

2.5

T = 300 MeV

2

1.5

1

0.5

0

-3

-2

-1

0

1

2

3



Figura 5.6: Dependencia en temperatura de la distribucion del loop de Polyakov ^(), ec. (5.115). ^G corresponde a la distribucion en gluodinamica (sin contribucion de quarks) procedente de la medida de Haar junto con el esquema del desarrollo en acoplamientos gran-
des a orden mas bajo, ec. (5.90), y ^G+Q incluye contribuciones de quarks de acuerdo con el modelo NJL. Se toma Nf = 2. Se consideran tres temperaturas: T = 200, 255, 300 MeV; por debajo de la transicion de fase, en la transicion y por encima, respectivamente.

 da cuenta de manera conjunta de las fluctuaciones en la parte real e imaginaria de . Esta fluctuacion tiende a cero a temperaturas grandes, lo cual es compatible con el hecho de que la distribucion ^() se hace muy picuda en torno a  = 0 en el regimen de T grande.

5.8. Conclusiones
En este capitulo hemos estudiado como la introduccion del loop de Polyakov permite resolver los problemas que presentan los modelos de quarks quirales a temperatura finita en su tratamiento estandar. Con objeto de preservar la invariancia gauge explicita a temperatura finita es necesario mantener de un modo no perturbativo ciertos grados de libertad gluonicos. En la practica, y en gauges particulares tales como el gauge de Polyakov, esto se corresponde con tratar la componente cero del campo del gluon como un potencial quimico dependiente del color en el propagador del quark. Esto da lugar a una fuente de color que va a generar todos los estados posibles de quarks, los cuales pueden no ser singletes de color (incluso a bajas temperaturas, en la fase de confinamiento de color). Para evitar este problema, es necesario proyectar sobre los estados fisicos que son singletes de color, lo cual se consigue de un modo elegante haciendo la integral funcional sobre el campo V0c de un modo que se preserve la invariancia gauge.
De este analisis en la aproximacion quenched y a nivel de un loop de quarks, encontramos que existe una supresion de los efectos termicos en los observables hadronicos por debajo de la transicion de fase, que surge de la conservacion de la trialidad en una fase en que la simetria quiral esta espontaneamente rota. A este efecto lo hemos denominado

128

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

1

Lfund

Ladj



0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

50

100 150 200 250 300 350 400 450

T (MeV)

Figura 5.7: Dependencia en temperatura del valor esperado del loop de Polyakov en representacion fundamental trc /Nc y en representacion adjunta trc  /(Nc2-1), y fluctuacion total del loop de Polyakov . Resultados obtenidos en el modelo NJL con integracion en el grupo de color SU(3). Se considera Nf = 2.
enfriamiento de Polyakov de las excitaciones de los quarks. En particular, la transicion de fase quiral no puede ocurrir antes que la transicion de desconfinamiento del color. En esta situacion, el mayor cambio a bajas temperaturas en los observables tales como el condensado de quarks debe de provenir de los loops de pseudoescalares, y quizas a temperaturas intermedias de resonancias mesonicas de orden mayor. Esto es precisamente lo que se espera de TPQ o de las aproximaciones unitarias con inclusion efectiva de estos loops en las resonancias.
Nuestros argumentos muestran tambien como, debido al enfriamiento de Polyakov, los modelos de quarks quirales se muestran de acuerdo con las suposiciones teoricas de TQP a temperatura finita. Para ver como se materializa esto en la practica hemos calculado el lagrangiano quiral a temperatura finita a nivel de un loop de quarks y a nivel arbol para los mesones. El lagrangiano resultante se puede descomponer en una parte con la misma estructura que a temperatura cero, pero con constantes de baja energia dependientes de la temperatura, y otra parte con nuevos terminos que rompen la invariancia Lorentz, que surgen como consecuencia de que el ban~o termico esta en reposo. En cualquier caso, los efectos termicos en las constantes de baja energia a este nivel de aproximacion muestran el enfriamiento de Polyakov. En otras palabras, por debajo de la transicion de fase cualquier dependencia en temperatura sobre las constantes de baja energia a nivel arbol puede ser despreciada. Esta es precisamente la suposicion inicial de TQP.
En el capitulo hemos analizado algunas consecuencias que se obtienen al considerar el tratamiento de los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov, mas alla de un loop de quarks. Como consecuencia de la integracion en el grupo gauge de color SU(Nc), encontramos que para observables que contienen quarks las contribuciones mas importantes a temperaturas pequen~as proceden de loops mesonicos, con una supresion

5.8 Conclusiones

129

estandar

a

bajas

temperaturas

de

1 Nc

e-2M/T

.

Los

loops

barionicos

producen

contribuciones

mas pequen~as e-NcM/T . Un analisis de las correcciones gluonicas permite ver que estas

tienden a contribuir de manera apreciable unicamente por encima de la transicion de fase.

Hemos estudiado como se modifican los resultados al considerar la introduccion del

determinante de quarks en el calculo de observables como el condensado quiral y el va-

lor esperado del loop de Polyakov, y se ha hecho asimismo un tratamiento preliminar de

las correcciones locales en el loop de Polyakov. Este determinante conduce a una rotura explicita de la simetria del centro, que es mas acentuada a temperaturas grandes. Este es el

mecanismo por el cual el modelo quark acoplado con loop de Polyakov genera la transicion

de fase de desconfinamiento. Un analisis de los resultados muestra que ambas transiciones

de fase (quiral y de desconfinamiento) se producen simultaneamente. En el tratamiento

unquenched el enfriamiento de Polyakov persiste, aunque es menos efectivo que en el caso

quenched. El calculo del valor esperado del loop de Polyakov en representacion adjunta es

un ejemplo de que el tratamiento del modelo quark con integracion en el grupo gauge de

color es mas adecuado que el tratamiento de campo medio de ref. [104].

130

Capitulo 5: Modelos de Quarks Quirales a Temperatura Finita

Capitulo 6
Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias
El tensor energia-impulso (TEI) juega un papel muy importante en teoria cuantica de campos, pues surge como una corriente de Noether del grupo de Poincare. Es conservado en todas las teorias locales relativistas, incluso cuando no existen otras cargas conservadas. En QCD, el TEI da cuenta de la interaccion de los quarks y gluones con los gravitones.
Desde un punto de vista fenomenologico, las colisiones profundamente inelasticas proporcionan informacion relevante sobre la fraccion de momento que llevan los quarks y los gluones dentro de un hadron a una escala dada [116]. Las determinaciones basadas en el intercambio de un graviton estan fuera de lugar debido a que la constante de gravitacion resulta pequen~isima en comparacion con los procesos debiles y fuertes. El factor de forma gravitacional del pion se puede usar para determinar la anchura de desintegracion de un boson de Higgs ligero en dos piones [117]. En el pasado hubo algunos intentos de calcular el TEI en el reticulo [118], pero no se han encontrado resultados de interes practico para los elementos de matriz entre estados hadronicos con momentos diferentes.
En este capitulo vamos a estudiar la estructura del TEI en varios modelos de quarks quirales.1 En concreto trataremos el Modelo Quark Constituyente, el Modelo de Nambu Jona-Lasinio (NJL) [29] y el Modelo de Georgi-Manohar (GM) [120]. El capitulo esta basado en la referencia [109].
6.1. Tensor Energia-Impulso
El tensor energia-impulso en cualquier teoria se puede calcular an~adiendo una metrica externa g(x) que se acople con los campos de materia de un modo completamente covariante. El TEI se obtiene de calcular la derivada funcional de la accion con respecto a
1Consideraremos gravedad de Einstein. Esto quiere decir que haremos uso de la conexion de Riemann, definida sin torsion y preservando la metrica. Una extension a gravedad con torsion es posible [119].
131

132 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

g(x), en torno a la metrica plana ,2

1 2



(x)

=

S g (x)

g =

donde

S = d4x-g L(x) .

(6.1) (6.2)

A nivel cuantico el comportamiento a alta energia de  se puede mejorar si se reali-
zan ciertas correcciones transversales convenientemente elegidas. Al hacer esto se pone de manifiesto una anomalia de la traza que relaciona  con la divergencia de la corriente de dilatacion, lo cual sen~ala la rotura anomala de la invariancia de escala. Un valor esperado diferente de cero para 0||0 esta relacionado con la existencia de un condensado gluonico, que genera identidades de Ward de escala [121].
En el desarrollo en potencias de los momentos externos de los campos que se considera
en Teoria Quiral de Perturbaciones, los campos pseudoescalares U y la metrica g son orden O(p0). La estructura mas general de  hasta correcciones de orden cuatro, es [122]

 = (0) + (2) + (4) +   

(6.3)

con

(0) = - L(0),

(2)

=

f2 2

DU DU

-  L(2),

(4) = - L(4) + 2L4 DU DU U + U 

+ L5 DU DU + DU DU U + U 

- 2L11 2 -  DU DU

- 2L13 2 -  U + U 

- L12 2 +   -   - 

DUDU ,

(6.4) (6.5)

donde A = tr A indica la traza en espacio de sabor. El desarrollo quiral del lagrangiano presenta una estructura del tipo [122]

L = L(0) + L(2,g) + L(2,R) + L(4,g) + L(4,R) +    ,

(6.6)

donde el superindice g indica contribuciones metricas (acoplamiento minimo con gravedad), y R indica contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann (o sus contracciones). Las contribuciones metricas se pueden obtener directamente del calculo del lagrangiano quiral efectivo en espatio-tiempo plano. Sin embargo, los terminos con L11-L13 son contribuciones genuinas de curvatura, pues no se pueden obtener del caso plano. Estos coeficientes de baja energia surgen a nivel hadronico debido a efectos cuanticos.
2Usaremos el convenio  = diag(1, -1, -1, -1).

6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad

133

6.2. Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad
El acoplamiento de fermiones con gravedad es bien conocido [123], pero no en el contexto de modelos de quarks quirales. En esta seccion haremos un estudio de este acoplamiento, de modo que no se introduzcan nuevos campos aparte de los del caso plano y la metrica. Usaremos el formalismo de tetradas para espacio-tiempo curvo.3

6.2.1. Formalismo de tetradas

Dado el tensor metrico g(x), introducimos una base local de vectores ortogonales

(tetrada)

g(x) = eA(x)eB(x)AB .

(6.7)

Las tetradas satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad

 = ABeAeB = eAeA ,

BA = g eA eB = eA eB.

(6.8)

Bajo transformaciones generales de coordenadas x  x(x) y de Lorentz xA  ABxB, las tetradas se transforman respectivamente como

eA



x x

eA

,

eA  AB(x)eB .

(6.9)

Las tetradas transforman tensores de coordenadas en tensores de Lorentz (que se transforman de manera covariante bajo transformaciones de Lorentz locales), por ejemplo

T AB = eA eB T  .

(6.10)

Los tensores de Lorentz son invariantes bajo transformaciones de coordenadas x  x. Para un tensor general, por ejemplo TA, los indices griegos se transforman de manera covariante bajo transformaciones de coordenadas mientras que los latinos lo hacen bajo
transformaciones de Lorentz, de modo que

TA



x x

x x

BA

(x)TB

.

La derivada covariante se define como

(6.11)

dTA = TA - TA + TA + ABTB ,

(6.12)

donde la conexion de Riemann viene dada por los simbolos de Christoffel



=

1 2

g

{g

+

g

-

 g} ,

3Para convenios, ver ref. [124]

(6.13)

134 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

que son simetricos en los indices inferiores,  =  (no tiene torsion). La derivada covariante d se define con la conexion adecuada actuando sobre cada indice. Se tiene

deA = eA - eA + ABeB = 0 .

(6.14)

Ademas, la condicion dg = 0, implica en particular

dAB = AB + BA = 0,

(6.15)

lo cual impone la restriccion de que la conexion de espin sea antisimetrica AB = -BA. Esta viene dada por

AB = eA eB - eB .

(6.16)

La derivada covariante d actua de manera diferente dependiendo del espin de los campos correspondientes. Para un campo de espin-0 U, espin-1/2 , espin-1 A y espin-3/2 , las propiedades de transformacion son las siguientes

U(x)  U(x),

(x)  S((x))(x),

A(x)



x x

A

(x),

(x)



x x

S

((x))

(x).

(6.17) (6.18) (6.19)

En el caso de transformaciones de Lorentz infinitesimales AB = BA + AB con AB = -BA,

se

tiene

S()

=

1

-

i 4

AB

AB

donde

AB

=

i 2

[A,

B

].

Para

un

campo

escalar

de

espin-0

se

tiene la definicion estandar

dU = U .

(6.20)

Para un vector (espin-1), se tiene

A; := dA = A - A , que satisface ademas la propiedad4

(6.21)

[d, d] A = R A .

(6.24)

4El tensor de curvatura de Riemann R se define

- R =  -   +  -  ,

(6.22)

y sus contracciones permiten definir el tensor de Ricci R, y el de curvatura escalar R

R = R , R = g R .

(6.23)

Notar el signo opuesto de nuestra definicion para el tensor de Riemann en comparacion con ref. [122]. Aqui seguimos ref. [124].

6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad

135

En el caso de fermiones de Dirac (espin-1/2) la derivada covariante se define como

d = (x) - i(x) ,

(6.25)

donde  es la conexion de Cartan de espin,



=

1 4

AB

AB

.

(6.26)

Las matrices de Dirac A se encuentran en una representacion fija independiente de x, y satisfacen las siguientes reglas de anticonmutacion

AB + BA = 2AB.

(6.27)

Las matrices se pueden elegir y satisfacen

(x) = AeA (x)

(6.28)

(x) (x) +  (x)(x) = 2g(x).

(6.29)

La derivada covariante de una matriz de Dirac (independiente de x) es

dA = A - i [, A] + ABB = 0.

(6.30)

Teniedo en cuenta ec. (6.14) y (6.30) se obtiene la siguiente identidad para las matrices de Dirac dependientes de x

d(x) = 0 ,

(6.31)

lo cual quiere decir que para el operador de Dirac libre, el orden de colocacion es irrelevante d/ = (x)d = d(x). Para un tensor de espin-3/2

; := d =  -   - i.

(6.32)

Si aplicamos las definiciones anteriores a d se obtienen las siguientes formulas, que seran de utilidad

[d, d] 

=

i 4



R

,

dd

=

1-g

( - i)

 -g

g

(

-

i )



,

(6.33) (6.34)

donde  = eAeBAB es una matriz antisimetrica dependiente de x. Los campos gauge pueden ser incluidos mediante la regla estandar de sustitucion mini-
ma, lo cual da lugar a la derivada covariante de un fermion

 = (d - iV) .

(6.35)

136 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

Con esta notacion, el operador de Dirac completo iD en presencia de campos externos de tipo vector, axial, escalar, pseudoescalar y gravitacionales se escribe5

iD = id/ - M U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) ,

(6.37)

donde la barra indica

V/ = (x)V(x).

(6.38)

M es la masa constituyente de los quarks y hemos considerado la notacion U5 = U5. La derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas, de Lorentz, y quirales, actua sobre los campos pseudoescalares (espin-0), espinores de Dirac (espin-1/2) y espinores de Rarita-Schwinger (espin-3/2) de acuerdo con las formulas siguientes

U = DU = U - i[v, U ] - i{a, U },
 = D =  - i( + v + 5a),  =  - i( + v + 5a) -   ,

(6.39)

y se corresponden con sustituir la derivada parcial por la derivada covariante   d,
dentro de la derivada covariante quiral D. La notacion D significa la operacion [D, ], preservando la quiralidad del objeto (ver ec. (5.70)). Notar que con esta definicion, ni
el objeto DD(= ) ni DDU son covariantes coordenados, ya que la segunda derivada no incluye la conexion de Riemann .

6.2.2. Operador de segundo orden
Cuando no existen fuentes gravitatorias, la contribucion de paridad normal a la accion efectiva se obtiene a partir del operador de segundo orden

D5D = D/ L2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PR + D/ R2 + iMD/ L - iD/ RM + MM PL ,

(6.40)

donde D5 se define como en ec. (5.24),

D5[s, p, v, a, U ] = 5D[s, -p, v, -a, U ]5 .

(6.41)

D5 corresponde a rotar D a espacio euclideo, tomar su hermitico conjugado y volver a rotar

a

espacio

de

Minkowski.

En

la

expresion

(6.40),

PR,L

=

1 2

(1



5

),

las

derivadas

covariantes

5 La matriz pseudoescalar de Dirac en el caso curvo se define

5(x)

=

4!1-g  (x) (x)(x)(x)

=

1 4!

ABC

D

AB

C

D

=

5.

(6.36)

6.2 Acoplamiento de un Modelo Quark con Gravedad

137

quirales son

D =  - i(v + 5a) = DRPR + DLPL , DR =  - i(v + a) , DL =  - i(v - a) ,

(6.42)

y el termino de masa

M = M U 5 + (s + i5p) + m^ 0 .

(6.43)

Los campos gravitatorios se acoplan mediante covariantizacion del operador de Dirac, esto
es con la sustitucion   d =  - -i en ec. (6.42). Para fijar la notacion, definimos en ec. (6.39) la actuacion de la derivada covariante quiral sobre un espinor de Dirac 

D =  - i( + v + 5a) .

(6.44)

Teniendo en cuenta que, puesto que un espinor es un escalar en coordenadas, se tiene

D =  ,

(6.45)

donde  = d - i(v + 5a). Para el campo escalar en coordenadas /  se puede aplicar el mismo razonamiento, lo cual conduce a

D/  = /  .

(6.46)

Esto significa que podemos considerar D/ L,R = / L,R siempre y cuando actue sobre campos espinoriales del siguiente modo

D5D = / 2L + iM/ L - i/ RM + MM PR + / 2R + iM/ L - i/ RM + MM PL .

(6.47)

Si incluimos los campos gauge, se obtienen dos teorias tipo vector, una para campos left
VL y otra para campos right VR. Si suprimimos momentaneamente las etiquetas left y right, se tiene

D/ 2 = / 2 =



-

1 2



F

+

1 4

R

,

(6.48)

donde hemos hecho uso de la identidad

[, ]  = [D, D] 

=

[D,

D ]



+

i 4



R



.

(6.49)

En la segunda igualdad de ec. (6.49) se ha hecho uso de ec. (6.33). El laplaciano invariante coordenado y Lorentz para un espinor de Dirac viene dado por

 = 1-g D

 -gg



D



,

(6.50)

138 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

donde se ha aplicado ec. (6.34). Con la notacion quiral de campos right y left, el operador de segundo orden se escribe

D5D

=

1-g

D

 -gg



D

+ V,

(6.51)

con

V = VRPR + VLPL

VR

=

-

1 2



FR

+

1 4

R

-

iM

+

MM,

VL

=

-

1 2



FL

+

1 4

R

-

iM

+

MM

.

(6.52)

6.3. Modelos de Quarks Quirales en presencia de
Gravedad
En esta seccion aprovecharemos los resultados obtenidos en sec. 6.2 y estudiaremos el acoplamiento con gravedad de dos modelos quirales concretos, que tienen en comun la incorporacion de la rotura dinamica de la simetria quiral a nivel de un loop: el modelo de NambuJona-Lasinio (NJL) y el modelo de Georgi-Manohar.
En estos modelos, los quarks tienen una masa constituyente M  300 MeV. La principal diferencia entre ellos tiene que ver con la presencia o no de campos escalares dinamicos qq, respectivamente. Ademas, mientras que el modelo NJL genera de manera dinamica la rotura espontanea de la simetria quiral, el modelo GM comienza de por si en una fase de rotura de la simetria quiral.

6.3.1. Modelo de NambuJona-Lasinio

El modelo de NambuJona-Lasinio se introdujo en la seccion 5.2.1. La accion del modelo en espacio-tiempo curvo de Minkowski con tensor metrico g(x) se escribe

SNJL =

d4

 x -g

LNJL

,

(6.53)

donde g = det(g) y el lagrangiano viene dado por

LNJL

=

q(i/+

/

-m^ 0)q

+

1 2a2s

Nf2-1
((qaq)2
a=0

+

(qai5q)2)

-

1 2a2v

Nf2 -1
((qaq)2
a=0

+

(qa5q)2)

.

(6.54)

6.3 Modelos de Quarks Quirales en presencia de

Gravedad

139

La derivada  - i es covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y bajo transformaciones de Lorentz, e incluye la conexion de espin

(x)

=

i 8

[(x), ;(x)]

,

(6.55)

donde la derivada covariante ; = d se define de la manera usual, ec. (6.21). Haciendo uso del procedimiento estandar de bosonizacion [102], como se vio en sec. 5.2.1, se introducen campos bosonicos dinamicos internos auxiliares (S, P, V, A), de modo que despues de integrar formalmente los quarks se obtiene el funcional generador

ZNJL[g; s, p, v, a] = DSDP DV DA eiNJL[g;S,P ,V ,A] ,

(6.56)

con S = s + S, P = p + P , V = v + V , A = a + A. La accion efectiva es

NJL[g; S, P , V , A] = q[D] + m[g; S, P, V, A] ,

(6.57)

donde las contribuciones de los quarks a un loop y de los mesones a nivel arbol se escriben respectivamente

q[D] = -iNcTr log(iD) ,

m[g; S, P, V, A] =

d4x-g

-

a2s 4

tr(S2

+

P

2)

+

a2v 4

tr(V2

+

A2)

.

(6.58) (6.59)

El operador de Dirac viene dado por

iD = i/+ / -m^ 0 + V/ + A/ 5 - S - i5P .

(6.60)

Para que la integral funcional en los campos bosonicos este bien definida en espacio de

Minkowski, es necesario usar la prescripcion a2s  a2s - i, a2v  a2v - i. La contribucion

5-par de los quarks a la accion efectiva puede ser regularizada mediante el esquema de

Pauli-Villars

+q [D]

=

-i

Nc 2

Tr

ci log(D5D + 2i + i) .

(6.61)

Para mas detalles, ver sec. 5.2.1.

6.3.2. Modelo de Georgi-Manohar

En presencia de gravedad, el lagrangiano del modelo de Georgi-Manohar [120] se escribe

LGM = q

i/

+

/

-

MU5

-

m^ 0

+

1 2

(1

-

gA)U 5i/U 5

q =: qiD q ,

(6.62)

donde gA es el acoplamiento axial de los quarks, que consideraremos diferente de uno, tal y como se sugiere en [120]. La accion efectiva de este modelo es

GM = -iNcTr log(iD) ,

(6.63)

140 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

y por comparacion directa con ec. (6.57) se puede ver que se corresponde con un modelo similar al NJL, sin termino de masa m y con un operador de Dirac como ec. (6.60) con una eleccion especifica de los campos dinamicos de espin 1

V

=

1 4

(1

-

gA)

U U - U U

,

A

=

1 4

(1

-

gA)

U U + U U

.

(6.64) (6.65)

En ec. (6.63) implementaremos la misma regularizacion de Pauli-Villars que en el modelo NJL.

6.4. Calculo de la accion efectiva

En un desarrollo quiral de la accion, la metrica dependiente del espacio-tiempo es de orden cero y la derivada  de orden uno. Esto implica en particular que R, R, y R son de orden 2. A nivel de un loop de quarks el desarrollo quiral se corresponde con un desarrollo en derivadas que debe de ser invariante bajo transformaciones gauge, de coordenadas y de Lorentz. Este desarrollo a baja energia se puede obtener haciendo uso de la representacion de tiempo propio del logaritmo

i

ciTr log

D5D + 2i

= -Tr

 d e-iD5D( ) , 0

(6.66)

donde ( ) = i cie-2i . El operador que esta dentro del logaritmo es de tipo KleinGordon en espacio-tiempo curvo, y presenta cierta estructura espinorial, como se ve en
ec. (6.51). La forma de este operador es la adecuada para hacer un desarrollo del heat
kernel en espacio-tiempo curvo. Para el elemento de matriz diagonal se tiene

x|e-i D5 D|x

=

e-i M2 x|e-i (D5D-M2)|x

=

i (4i

)2

e-i

M

2



an(x) (i )n .(6.67)

n=0

Para el calculo hasta O(p4) es necesario llegar hasta a4 en el desarrollo del heat kernel. Las contribuciones pueden separarse entre aquellas que son de espacio-tiempo plano, y las correspondientes a curvatura generadas por efectos cuanticos. Por el momento nos centraremos en el modelo NJL. Posteriormente particularizaremos las formulas para el modelo GM. Se obtiene lo siguiente [108]

a0 = 1,

a1

=

M2

-

V

+

1 6

R,

a2

=

1 180

R

R

-

1 180

R

R

+

1 12

F



F



+

1 30

2

R

-

1 6

2

V

+

1 2

M2

-

V

+

1 6

R

2
,

6.4 Calculo de la accion efectiva

141

a3

=

1 6

M2

-

V

+

1 6

R

3

-

1 12

V

V

+

O(p6),

a4

=

1 24

V - M 2 4 + O(p6) .

La notacion que estamos utilizando es F = i D, D , 2V = V, donde

(6.68)

D =  - i(V + 5A) ,  = d - i(V + 5A) ,

(6.69)

y V viene dado por la misma expresion (6.52), con la adicion de los campos bosonicos

internos (S, P, V, A). Las integrales que aparecen en la accion son del tipo

I2l := M 2l

 d ( )(i )le-iM2 . 0

(6.70)

Los valores particulares que necesitamos en nuestro desarrollo son

M 4I-4

=

-

1 2

ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2) ,

i

(6.71)

M 2I-2 =

ci(2i + M 2) log(2i + M 2) ,

i

(6.72)

I0 = - ci log(2i + M 2) ,

i
I2n = (n) ci
i

M2 2i + M 2

n
,

Re(n) > 0 .

(6.73) (6.74)

Despues del calculo de las trazas de Dirac, el orden O(p2) del lagrangiano efectivo en

el modelo NJL viene dado por

L(q2) =

Nc (4)2

M 2I0 U U

+ 2M 3I-2 mU + U m

+

M 6

2

I-2

R

,

mientras que para el orden O(p4) se tiene

L(q4)

=

Nc (4)2

-

1 6

I0

(F

R 

)2

+

(F

L 

)2

+ I0

7 720

R

R

-

1 144

R2

+

1 90

R

R

-

i 2

I2

F

R 



U



U

+

F

L 



U



U



+

1 12

I4

(U U )2

-

1 6

I4

(U U )2

+

1 6

I2

U U 

+ 2M 2I-2 mm - M 2I0 (mU + U m)2

- M I2 U U (mU + U m)

+ M I0 U m + mU

-

M 6

I0

R

Um

+ mU

-

1 12

I2R

U U

.

(6.75)

142 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

En estas formulas

indica traza en espacio de sabor. La derivada covariante gauge y

covariante Lorentz, y los tensores de fuerza que contienen los campos externos e internos

(bosonizados) son

U = U - iVLU + iU VR,

F

r 

=

V

r 

-

 V

r 

-

i[V

r,

V

r 

],

(6.76)

con r = L, R y la combinacion aditiva de espin 0

m = (S + iP - MU) + 1  , 2B0

 = 2B0(s + ip) .

(6.77)

La constante de reescalamiento B0 se elige de modo que L(2) quede en la forma estandar de ec. (6.92). Notar que ec. (6.75) no esta aun lista para poder ser comparada con el resultado de [27, 122]. Para ello antes debemos eliminar todos los grados de libertad diferentes a los piones en la capa de masas. Procederemos en tres pasos: primero integraremos los grados de libertad vector y axial, despues eliminaremos los campos escalares y finalmente haremos uso de las ecuaciones clasicas de movimiento para los pseudoescalares. En el modelo de Georgi-Manohar unicamente sera necesario considerar el ultimo paso.

6.5. Ecuaciones de movimiento

6.5.1. Eliminacion de los acoplamientos vector y axial

En el modelo NJL, para eliminar los campos vector V y axial A en la aproximacion de campo medio es necesario minimizar el lagrangiano con respecto a esos campos. Al orden que estamos considerando el desarrollo quiral, sera suficiente con tener en cuenta aquellos terminos del lagrangiano que contienen mesones vectoriales con dos indices de Lorentz, esto es, el termino de masa y el orden dos que surge del determinante de los quarks

L(A2,)V

=

Nc (4)2

M

2 I0

U U

+

a2v 4

VV  + AA

.

Al minimizar, las ecuaciones de movimiento que se obtienen son similares a la eleccion concreta de los campos vector y axial en el modelo de Georgi-Manohar, ecs. (6.64)-(6.65),

V

R 

=

vR

+

i 2

(1

-

gA)U U

,

V

L 

=

vL

+

i 2

(1

-

gA)U U 

,

(6.78)

con gA = 1 - 2f2/a2v. Aplicando estas ecuaciones de movimiento se obtienen facilmente las siguientes relaciones

F

R 

=

1 2

(1

+

gA)FR

+

1 2

(1

-

gA)U FL U

-

i 4

(1

-

gA2

)

U U - U U

,

(6.79)

6.5 Ecuaciones de movimiento

143

F

L 

=

1 2

(1

-

gA)U FR U 

+

1 2

(1

+

gA)FL

-

i 4

(1

-

gA2 )

U  U  -  U U 

,

U = gAU ,

2U = gA2U + igA(1 - gA)U U U .

(6.80) (6.81) (6.82)

6.5.2. Eliminacion de escalares

En el modelo NJL, la eliminacion de los campos escalares se hace de manera similar a

la de los campos vector y axial. Consideramos la rotacion quiral

 S + iP = U  U ,

(6.83)

donde  = , y usando que  = M + , donde  es una fluctuacion alrededor del valor del vacio, se tiene

m

=

 U U

+

1 2B0



.

(6.84)

El termino de masa se escribe

Lm

=

-

a2s 4

M 2 + 2M  + 2

.

(6.85)

Haciendo uso de la ecuacion del gap (5.29), los terminos lineales en  que no contienen campos externos se anulan. Como consecuencia, la parte del lagrangiano que contiene al campo escalar  es

L(x)

=

-

Nc (4)2

4M 2I02

+

1 3

M

I0

R

+

 M I0 U  U 

U 2U  + 2U U 

+

M2 B0

(2I0

-

 I-2) U

 U

(U



+

U

)

+

M B0

 I2 U

 U

U



U



.

(6.86)

Minimizando respecto de , la ecuacion clasica de movimiento que se obtiene es

 U U

=

-

1 24M

R

+

1 4M

1

-

I2 I0

U U 

-

1 4B0

1

-

I-2 2I0

(U  + U ) .

(6.87)

Solo queda sustituir esta ecuacion dentro del lagrangiano L para obtener la contribucion del lagrangiano efectivo proveniente de la integracion de los campos escalares.

144 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

6.5.3. Ecuaciones de movimiento clasicas para pseudoescalares

Las ecuaciones de movimiento relevantes para el campo no linear U se obtienen minimizando L(2). Surgen una serie de relaciones que son validas incluso en presencia de
curvatura

2U 2U =

U U

2

-

1 4

U - U  2

+

1 12

U - U  2

(6.88)

y

2U + 2U 

= 2  - 1 U + U  2 - 2

+

1 6

U

+ U

2.

U + U  U U (6.89)

En el caso del grupo U(3) de sabor, se tiene que Det U = ei0/f , que no es necesariamente igual a la identidad, y los dos ultimos terminos U  U 2 en ecs. (6.88) y (6.89) desapareceran.6

6.6. Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue

En el desarrollo quiral del lagrangiano efectivo en la forma de Gasser-Leutwyler-Donoghue de ec. (6.6), las contribuciones metricas son

L(2,g)

=

f2 4

U U + (U + U )

,

(6.92)

y

L(4,g) = L1 U U 2 + L2 U  U 2 + L3 U U 2 + L4 U U U + U  + L5 U U (U + U ) + L6 U + U  2 + L7 U - U  2 + L8 (U )2 + (U )2 - iL9 FL U  U  + FR U  U + L10 FL U F  RU  + H1 (FR )2 + (FL )2 + H2  .

(6.93)

6Existe otra identidad integral que nos va a resultar muy util

d4

 x -g

 U  U

=

d4

 x -g

2U 2U + i FR U  U + FL U  U 

- FL U F  RU 

+

1 2

(FR )2 + (FL )2

+ R U  U

.

(6.90)

En el ultimo termino aparece el tensor de Ricci R . Para llevar las formulas a la forma de Gasser-Leutwyler usamos la siguiente identidad, valida en SU(3)

(U  U )2

=

-2 (U U )2

+

U  U

2

+

1 2

U U

2.

(6.91)

6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue

145

Las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral se pueden escribir en la forma propuesta en ref. [122], y vienen dadas por

L(2,R) = -H0R ,

(6.94)

y

L(4,R) = -L11R U U - L12R U  U - L13R U + U  + H3R2 + H4R R + H5R R .

(6.95)

Los terminos de curvatura son un reflejo de la naturaleza compuesta de los campos pseudoescalares, pues en los modelos quirales que estamos considerando estos terminos se corresponden con el acoplamiento de los campos gravitatorios externos a nivel de quarks. Un valor no nulo de H0 indica que existe una renormalizacion fuerte finita de la constante gravitatoria de Newton G, ya que el lagrangiano clasico de Einstein es L = -R/(16G).
Notar que la matriz pseudoescalar U es un escalar bajo transformaciones de Lorentz y de coordenadas. Por tanto, despues (y solo despues) de haber aplicado las identidades (6.88)-(6.91) se puede sustituir la derivada covariante en Lorentz y coordenadas por la
derivada covariante D, esto es U = DU .

6.6.1. Modelo de Georgi-Manohar

Por simplicidad, comenzaremos mostrando los resultados de los coeficientes de GasserLeutwyler-Donoghue para el modelo de Georgi-Manohar, pues en este caso no existe contribucion proveniente de campos escalares, esto es, de campos de espin cero y paridad positiva, y la unica contribucion procede del loop de quarks. Para este modelo, la constante de desintegracion debil del pion es

f2

=

Nc 42

gA2 M

2I0

.

El factor de normalizacion para el campo  es

(6.96)

B0

=

M gA2

I-2 I0

.

Con





M B0

=

M|

f2 qq

|

=

gA2

I0 I-2

el resultado que encontramos para los coeficientes de GLD es

(6.97) (6.98)

L1

=

Nc 48(4)2

(1 - gA2 )2I0 + 4gA2 (1 - gA2 )I2 + 2gA4 I4

,

L2 = 2L1 ,

L3

=

-

Nc 24(4)2

3(1 - gA2 )2I0 + 8gA4 I4 + 4gA2 (3 - 4gA2 )I2

,

L4 = 0 ,

146 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

L5

=

Nc 2(4)2

gA2

[I0

-

I2]

,

L6 = 0 ,

L7

=

-

Nc 24(4)2Nf

gA

[6I0

-

gAI2]

,

L8

=

-

Nc 24(4)2

6( - gA)I0 + gA2 I2

,

L9

=

Nc 6(4)2

(1 - gA2 )I0 + 2gA2 I2

,

L10

=

-

Nc 6(4)2

(1 - gA2 )I0 + gA2 I2

,

L11

=

Nc 12(4)2

gA2 I2

,

L12

=

-

Nc 6(4)2

gA2 I2

,

L13

=

Nc 12(4)2

I0

=

 48M 2

f2 gA2

,

H0

=

-

NcNf 6(4)2

M 2I-2

=

-

Nf 24

f2 

,

H1

=

Nc 12(4)2

-(1 + gA2 )I0 + gA2 I2

,

H2

=

Nc 12(4)2

62I-2 - 6( + gA)I0 + gA2 I2

,

(6.99)

H3

=

-

NcNf 144(4)2

I0

=

-

Nf 576M

2

f2 gA2

,

H4

=

NcNf 90(4)2

I0

,

H5

=

7NcNf 720(4)2

I0

.

Con los valores M = 300 MeV y gA = 0,75, el cutoff  debe ajustarse para reproducir el valor empirico f = 93,2 MeV. Esto conduce a

 = 1470 MeV , B0 = 4913 MeV , I-2 = 20,8 , I0 = 2,26 , I2 = 0,922 , I4 = 0,995 .

(6.100)

El modelo quark quiral constituyente (QC) se corresponde con la eleccion gA = 1 en los coeficientes anteriores. Si se considera el mismo valor para M, para este modelo se tiene

 = 828 MeV , B0 = 1299 MeV , I-2 = 5,50 , I0 = 1,27 , I2 = 0,781 , I4 = 0,963 .

(6.101)

En la tabla 6.1 se muestran los valores numericos de los coeficientes de GLD.

6.6.2. Modelo de NambuJona-Lasinio

Los coeficientes de GLD en este modelo tendran dos contribuciones diferentes: una

proveniente del loop de quarks e integracion posterior de los campos de espin 1, y otra

proveniente de la integracion de los campos de espin 0. Para la primera contribucion se

tienen las mismas expresiones de ec. (6.99). La constante de desintegracion debil del pion

es

f2

=

Nc 42

gAM

2I0

.

(6.102)

Notar que en este modelo f2 tiene una potencia en gA, mientras que en el modelo de GM la potencia es gA2 , ec. (6.96). La diferencia se debe a la ausencia del termino de masa Lm en el modelo GM. Nuestra notacion sera la siguiente

B0

=

a2s M 2f2

=

M I-2 gA I0

,

gA

=

1

-

2

f2 a2v

.

(6.103)

6.6 Coeficientes de Gasser-Leutwyler-Donoghue

147

Con las contribuciones de espin 0+ son





M B0

=

gA

I0 I-2

,

(6.104)

LS3

=

Nc 4(4)2

gA4 I0

[I0

-

I2]2

,

LS8

=

Nc 16(4)2

(gA

-

2)2I0

,

LS5

=

Nc 4(4)2

gA2 (gA

-

2) [I0

-

I2]

,

LS11

=

Nc 12(4

)2

gA2

[I0

-

I2]

,

LS13

=

Nc 24(4)2

(gA

-

2)I0

,

H2S = 2LS8 ,

H3S

=

NcNf 144(4)2

I0

=

Nf 576M 2

f2 gA

.

(6.105)

El resto de coeficientes LSi , HiS son cero. La suma de las dos contribuciones (loop de quaks y escalares) dara los coeficientes de GLD para este modelo. El resultado es el siguiente

L3

=

-

Nc 24(4)2

3(1 - 2gA2 - gA4 )I0 + 8gA4 I4 + 2gA2

2(3

-

gA2 )

-

3gA2

I2 I0

L5

=

Nc 4(4)2

gA3

[I0

-

I2]

,

L8

=

Nc 48(4)2

gA2

[3I0

-

2I2]

,

L11

=

Nc 12(4)2

gA2 I0

=

gAf2 48M 2

,

L13

=

Nc 24(4)2

gAI0

=

f2 96M 2

,

H2

=

Nc 24(4)2

122I-2 + 3gA(gA - 8)I0 + 2gA2 I2

,

H3 = 0 .

I2 , (6.106)

El resto de coeficientes: L1, L2, L4, L6, L7, L9, L10, L12, H0, H1, H4 y H5; coinciden con los del modelo de GM (formulas (6.99)). Notar, no obstante, que las expresiones de f2 no coinciden en los dos modelos [ec. (6.96) y (6.102)].
Este modelo reproduce la relacion L3 = -6L1, siempre y cuando se desprecien los terminos O(NcgA4 ). Existen algunas diferencias con trabajos previos. Los valores L1, L2, L3, L4, L5, L6, L9, L10, H1 y H2 coinciden con ref. [106]. L8 difiere en dos potencias de gA en el termino proporcional a I2. (Nuestros resultados reproducen los suyos para cada contribucion por separado: contribucion del loop de quarks y contribucion de espin cero.)
El valor de L7 es diferente de cero, si se considera la condicion Det(U) = 1 debido a que estamos considerando la simetria de sabor SU(Nf ). Tanto en ref. [106] como en [107] este termino no se obtiene, a pesar de que en estos trabajos se menciona explicitamente
que consideran el grupo de sabor SU(Nf ). En el grupo U(Nf ) si se obtiene que L7 = 0. Nuestros valores de L4, L5, L6, L8, L9 y L10 coinciden con los de [107]. En esta referencia
aparece un termino erroneo extra en L1. L3 se diferencia de ref. [107] en todos los factores excepto uno en I4. H1 y H2 no aparecen en esa referencia.
Los coeficientes L11, L12 y L13, asi como H0,3-5, son nuevos y constituyen el resultado principal de este capitulo. L11-13 fueron obtenidos tambien hace algun tiempo en un

148 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias

modelo quiral que incluye bosonizacion [125], y mas recientemente en el modelo quark espectral [108] (ver capitulo 7).
Los valores numericos de estos coeficientes, ec. (6.106), aparecen en la tabla 6.1 para dos casos diferentes: el modelo NJL SU(3) generalizado, y el caso en que no se considera la integracion de los campos de espin 1, esto es gA = 1. Para el primer caso se considera como valor razonable gA = 0,606. Con M = 300 MeV, se tiene

 = 1344 MeV , B0 = 4015 MeV , I-2 = 17,0 , I0 = 2,10 , I2 = 0,907 , I4 = 0,993 .

(6.107)

Para el modelo NJL con gA = 1, los valores numericos de , B0,  y I2n son identicos a los
del modelo quark constituyente QC, ec. (6.101). Las LEC's en el modelo NJL con gA = 1 y en el QC se diferencian debido a la contribucion de los escalares LS3,5,8,11,13 y H2S,3, que no estan presentes en el caso QC.

6.6.3. Resultados

En la tabla 6.1 aparecen los resultados que hemos obtenido para los modelos de quarks quirales que se han tratado en este capitulo: Quark Constituyente, NambuJona-Lasinio con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Se ha incluido tambien el resultado del calculo en el modelo Quark Espectral del capitulo 7. La primera columna se corresponde con el calculo de TQP a dos loops [126]. Se incluye tambien el resultado obtenido en el modelo basado en Nc grande con saturacion por una unica resonancia [127].
Los resultados para las constantes de baja energia coinciden a grandes rasgos. Como regla, todos los modelos y ajustes dan el mismo signo para todos los coeficientes, con la excepcion de H0 y H2 en el modelo Quark Espectral. Para los coeficientes de GasserLeutwyler estandar L1-10 el mejor acuerdo global con el calculo de TQP a dos loops [126] es el proporcionado por el modelo NJL con mesones vectoriales, para el que la chi cuadrada reducida es 2/DOF = 2,2, (DOF = 10), si bien los modelos QC y GM proporcionan resultados de calidad similar: 2,5 y 3,6 respectivamente.
Para los coeficientes nuevos no existen en la literatura valores ampliamente aceptados. El acuerdo mas cercano con las estimaciones de Nc grande y saturacion de resonancias de [122] para L11-13 es el de NJL sin mesones vectoriales, para el que 2/DOF = 0,29, pero esto no es totalmente concluyente. Asimismo, es importante mencionar el notable acuerdo entre las predicciones del modelo Quark Espectral para estos tres coeficientes y aquellas provenientes del modelo quiral de bosonizacion de ref. [125], para el que se obtiene

L11 = 1,58  10-3 ,

L12 = -3,2  10-3 ,

L13 = 0,3  10-3 .

(6.108)

6.7. Conclusiones
En este capitulo hemos calculado las constantes de baja energia del tensor energiaimpulso en varios modelos de quarks quirales: Quark Constituyente, NambuJona-Lasinio

6.7 Conclusiones

149

Cuadro 6.1: Constantes adimensionales de baja energia y H0 comparadas con otros modelos

y con el valor que dan algunas referencias. Los valores mostrados para L1-13, H1-5 deben

ser multiplicados por 10-3. El valor de H0 debe multiplicarse por 103 MeV2.

TQP1 NJL

NJL QC GM

SQM2 Large Nc3

Dual2

(gA = 1)

(MDM)

Large Nc

L1

0.53  0.25 0.77

L2

0.71  0.27 1.54

L3 -2.72  1.12 -4.02

0.76 0.76 0.78 1.52 1.52 1.56 -2.73 -3.62 -4.25

0.79 1.58 -3.17

0.9 1.8 -4.3

0.79 1.58 -3.17

L4

0

0

0

0

0

0

0

0

L5

0.91  0.15 1.26

2.32 1.08 0.44

2.0  0.1

2.1

3.17

L6

0

0

0

0

0

0

0

0

L7 -0.32  0.15 -0.06 -0.26 -0.26 -0.03 -0.07  0.01

-0.3

L8

0.62  0.20 0.65

L9

5.93  0.43 6.31

L10 -4.40  0.704 -5.25

L11 1.85  0.905 1.22

L12

-2.75 -1.06

L13

1.7  0.805 1.01

H0

-14.6

H1

-4.01

0.89 4.95 -2.47 2.01 -2.47 1.01 -4.67 -2.78

0.46 4.95 -2.47 1.24 -2.47 0.47 -4.67 -2.78

0.04 6.41 -4.77 0.82 -1.64 0.22 -17.7 -4.76

0.08  0.04 6.33
-3.17 1.58
-3,17 0.33  0.01
1.09

0.8
7.1
-5.4 1.65 -2.75 1.15

1.18 6.33 -4.75

H2

1.46

1.45 0.59 0.49 -1.0  0.2

H3

0

0 -0.50 -0.89

H4

1.33

0.80 0.80 1.43

H5

1.16

0.70 0.70 1.25

(1) Calculo a dos loops de ref. [126].

(2) Ref. [108], capitulo 7.

(3) Ref. [127].

(4) Ref. [128].

(5) Ref. [122].

con y sin mesones vectoriales, y Georgi-Manohar. Algunas de estas constantes se obtienen directamente de los coeficientes estandar de Gasser-Leutwyler, mientras que otras, L11-13 y H0,3-5, son nuevas y proceden de operadores que no estan presentes en el lagrangiano quiral en espacio plano.
Tecnicamente, el mejor modo de proceder es considerar QCD en un espacio-tiempo curvo, ya que nos permite trabajar con el lagrangiano a bajas energias, en lugar de su variacion (el tensor energia-impulso). Esto hace mas facil tanto el calculo como la imposicion de las restricciones debidas a las simetrias. El lagrangiano quiral en espacio-tiempo curvo contiene dos tipos de contribuciones. Por una parte, aquellas que surgen de un acoplamiento minimo del lagrangiano en espacio plano con la metrica, L(g), y por otra aquellas contribuciones que contienen el tensor de curvatura de Riemann L(R). En el espiritu de no

150 Capitulo 6: Tensor Energia-Impulso de Modelos de Quarks Quirales a bajas energias
introducir nuevos campos diferentes a la metrica, hemos considerado unicamente la gravedad de Einstein. En el caso de que se considerara torsion o violacion de la metricidad, en principio podrian aparecer nuevos terminos. Al igual que ocurre con los acoplamientos gauge (por ejemplo, los momentos magneticos), los terminos gravitatorios L(R) no pueden fijarse a partir de la covariancia general del lagrangiano quiral, y para obtenerlos es necesario acoplar directamente gravedad con los quarks y los gluones de QCD antes de integrar los campos y obtener el lagrangiano de bajas energias.
Hemos calculado en estos modelos de quarks quirales las constantes de baja energia con un cierto grado de exito, y hemos aplicado la misma aproximacion para los terminos con curvatura L(R). El acuerdo entre todos los modelos es razonable. Una comparacion con los valores de TQP a dos loops [126] sugiere que NJL con mesones vectoriales es el que mejor funciona para los coeficientes estandar. Para los nuevos coeficientes L11-13, el mejor acuerdo proviene de NJL sin mesones vectoriales, si bien el resultado no es concluyente.

Capitulo 7
Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral
La estructura de QCD a bajas energias en presencia de fuentes electrodebiles y gravitacionales se describe muy bien mediante Teoria Quiral de Perturbaciones (TQP) [25, 27, 122]. En el sector mesonico, la rotura espontanea de la simetria quiral es dominante a bajas energias y el calculo sistematico de las correspondientes constantes de baja energia (LEC's) ha sido llevado a cabo recientemente hasta una precision de dos loops [126, 128] o mediante el uso de las ecuaciones de Roy [129]. Para los procesos fuertes y electrodebiles que involucran mesones pseudoescalares, la mayor parte de las LEC's estan saturadas en terminos de resonancias de intercambio [127], que pueden ser justificadas en el limite de Nc grande en una cierta aproximacion de bajas energias [130]. En el caso de procesos gravitacionales se pueden aplicar las mismas ideas [122]. Hoy en dia, TQP se usa como un test cualitativo y cuantitativo para cualquier modelo de la estructura de los hadrones a bajas energias.
En este capitulo nos proponemos analizar, en el contexto de TQP con espacio-tiempo curvo, el modelo quark espectral propuesto recientemente en ref. [101]. En primer lugar se mostrara como calcular la accion efectiva de este modelo a un loop de quarks, y algunas de sus propiedades. Posteriormente se hara un estudio de la parte anomala de la accion efectiva, con la obtencion del termino estandar de Wess-Zumino-Witten. Se vera que la anomalia que se obtiene con este modelo coincide con la anomalia de QCD. Se aplicara el formalismo desarrollado en el capitulo 6 para el calculo de la contribucion no anomala de la accion efectiva, y se obtendran las expresiones correspondientes para los coeficientes de baja energia (LEC). Con el fin de considerar una realizacion explicita del modelo espectral, se considerara este dentro de un esquema de dominancia del meson vectorial, lo cual permitira encontrar valores concretos para las LEC's y comparar con resultados de otros modelos presentados en el capitulo 6. Finalmente se compararan las predicciones del modelo espectral para estas constantes con las obtenidas en la aproximacion de una unica resonancia (SRA) en el limite de Nc grande [122, 130], lo cual conducira a unas relaciones de dualidad entre los canales vector y escalar.
Este capitulo esta basado en la referencia [108].
151

152

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

7.1. Accion Efectiva del Modelo Quark Espectral

En la seccion 5.2.2 introdujimos el modelo quark espectral. La aproximacion es similar en espiritu al modelo de Efimov e Ivanov [131], propuesto hace algunos an~os, y se basa en la introduccion formal de la representacion de Lehmann generalizada para el propagador del quark. La accion efectiva que obedece las identidades de Ward-Takahashi mediante la tecnica de Delbourgo y West [103] corresponde en nuestro caso a una prescripcion de sustitucion minima. Esto conduce a un determinante fermionico de la forma1

SQM[U, s, p, v, a, g] = -iNc d()Tr log (iD) ,
C
donde el operador de Dirac viene dado por

(7.2)

iD = id/ - U 5 - m^ 0 + (v/ + a/5 - s - i5p) = iD - U 5 .

(7.3)

Estamos trabajando en espacio-tiempo curvo de Minkowski. La derivada d es derivada covariante bajo transformaciones generales de coordenadas y transformaciones de Lorentz,
e incluye la conexion de espin. El tensor metrico g es la fuente externa que representa el acoplamiento con un campo gravitatorio. La matriz U5 = U5 es la matriz de sabor
que representa el octete de mesones pseudoescalares en la representacion no lineal. Este operador de Dirac transforma de manera covariante bajo transformaciones quirales locales.2
En lo sucesivo consideraremos el modelo con Nf = 3. Si se considera la matriz U en el sector U(3) de sabor, la anomalia U(1)A se puede tener
en cuenta an~adiendo el termino habitual [26]

LA

=

-

f2 4

m21



-

i 2

log det U - log det U 

2
,

(7.4)

donde U = U ei8/(3f), con det U = 1. Para  = 0 este termino es invariante CP y SU(Nf )LSU(Nf )R.
La accion efectiva del modelo tiene un aspecto similar a la del modelo NJL bosonizado (ver seccion 6.3). La principal diferencia tiene que ver con la interpretacion del metodo de regularizacion. Por una parte, en los modelos NJL unicamente se puede regularizar sobre loops de quarks (lineas de quark cerradas). El hecho de que en el modelo quark espectral la "regularizacion" de Lehmann se produzca sobre lineas de quark abiertas tiene importantes consecuencias en cuanto a la consistencia de los calculos a energias altas tanto en una interpretacion puramente hadronica como partonica.

1 Para un operador bilocal A(x, x) (matrices en espacio de Dirac y de sabor) se tiene

TrA =

d4

 x -g

tr

A(x, x)

,

(7.1)

donde tr indica traza de Dirac y traza en espacio de sabor. 2Para un estudio sobre el acoplamiento con gravedad de los modelos de quarks quirales, ver secciones 6.2
y 6.3.

7.2 Anomalias Quirales

153

Dado que el contorno de integracion para la variable espectral  es en general complejo, resulta complicado pasar a espacio euclideo y separar la accion en una parte real y otra imaginaria. En lugar de espacio euclideo, podemos considerar el espacio de Minkowski e introducir, como hicimos en sec. 6.2.2, el operador auxiliar

- iD5 = 5 id/ - U 5 - m^ 0 + v/ - 5a/ - s + i5p 5 .

(7.5)

De este modo, la accion efectiva con paridad normal se escribe

+SQM

=

-

i 2

Nc

d()Tr log (D5D) .
C

(7.6)

7.2. Anomalias Quirales
Una de las ventajas mas importantes de la regularizacion espectral es que conduce a observables hadronicos finitos e independientes de la escala, lo cual es un requerimiento basico de todo procedimiento de regularizacion. No obstante, esto no significa o implica necesariamente que la accion efectiva total en presencia de campos externos sea finita, ya que incluso en el caso de que los campos pionicos sean cero, U = 1, existen procesos no hadronicos. En realidad, ocurre que la renormalizacion de la funcion de onda del foton es proporcional a 0 [101], de modo que depende de la escala  y por tanto diverge en ciertos esquemas de regularizacion (por ejemplo, en regularizacion dimensional). Esta dependencia en escala surge tambien en otros terminos no hadronicos de la accion efectiva.
En [101] se encuentra que las desintegraciones 0  2 y   3 se muestran de acuerdo con los valores correctos que se esperan de la anomalia quiral de QCD. Con ayuda de la accion efectiva, ec. (7.2), vamos a ver en esta seccion que esto es cierto tambien para todos los procesos anomalos. En primer lugar calcularemos la anomalia quiral, y mostraremos que en presencia de campos externos la anomalia no depende del campo pionico U, y por tanto coincide con la anomalia en QCD debido a las condiciones espectrales 1 = 2 = 3 = 4 = 0. Despues veremos como surge en este contexto el termino estandar de Wess-Zumino-Witten [132, 133].

7.2.1. Calculo de la anomalia quiral
Bajo transformaciones quirales locales (vector y axial) el operador de Dirac se transforma

D  e+iV (x)-iA(x)5 D e-iV , (x)-iA(x)5

(7.7)

con

V (x) = aV (x)a ,
a

A(x) = aA(x)a .
a

(7.8)

154

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

Infinitesimalmente, la transformacion es

D = i[V , D] - i{A5, D} .

(7.9)

Si consideramos una transformacion quiral en la accion efectiva, ec. (7.2), sin ninguna regularizacion adicional, se tiene

S = -iNcTr d() DD-1 .
C

(7.10)

Teniendo en cuenta la propiedad ciclica de la traza, se obtiene solo una contribucion procedente de la variacion axial

AS  AA = d4x tr d() 2iA5 = 0 d4x tr 2iA5 ,
C

(7.11)

un resultado que es ambiguo incluso en presencia de regularizacion espectral, debido a la traza dimensional infinita [38]. Para evitar la ambiguedad es necesario introducir una regularizacion extra. Como es bien sabido, no existe una regularizacion que preserve la simetria quiral, de modo que la anomalia es generada.
El calculo se puede hacer con metodos estandares. Una regularizacion conveniente es la regularizacion  [134], que permite calcular directamente la anomalia a partir del propio operador de Dirac (no su cuadrado), y no precisa de ninguna redefinicion de la matriz 5. Esto conduce a

AS  AA = Tr d() 2iA5 [iD]0
C

= d4x tr d() 2iA(x)5 x|D0|x ,
C

(7.12)

donde la potencia cero del operador de Dirac se entiende como una continuacion analitica que puede escribirse en terminos de coeficientes de Seeley-DeWitt para operadores de Dirac [134]:

x|D0|x

=

1 (4)2

1 2

D4

+

1 3

(D22

+

D2

+

2D2)

+

1 6

22 + ( )2 + 2 

,

(7.13)

donde



=

1 2

{,

D}.

La

combinacion

{, D}

es

un

operador

multiplicativo,

de

modo

que

equivale a una funcion. El resultado para acoplamientos generales en cuatro dimensiones

ha sido obtenido de [134]. Una inspeccion directa muestra que, puesto que la dependencia

en  viene dada por iD = iD - U5, el resultado se puede escribir como la suma de un

termino independiente de  mas un polinomio en 

AA = d() (AA[s, p, v, a] + AA[s, p, v, a, , U ]) = 0AA[s, p, v, a] , (7.14)
C

7.2 Anomalias Quirales

155

donde el termino polinomico dependiente de  se anula, por las condiciones espectrales (los momentos positivos son cero). Esto muestra que la anomalia del modelo quark espectral coincide con la anomalia de QCD despues de introducir una regularizacion adicional conveniente, independientemente de los detalles de la funcion espectral. Esto es un punto importante, ya que si la accion efectiva [U, s, p, v, a] en ec. (7.2) fuera finita e invariante quiral, aparentemente no habria razon para la existencia de anomalias.

7.2.2. Termino de Wess-Zumino-Witten

Mostraremos aqui donde y como surgen estas divergencias. Por simplicidad, consideremos el limite quiral m^ 0 = 0, los campos externos los haremos cero y trabajaremos en espacio-tiempo plano, de modo que iD = i/. Conseguiremos una representacion conveniente si introducimos el campo


Ut5 = eit , 25/f

(7.15)

que permite interpolar entre el vacio Ut5=0 = 1, y la matriz completa Ut5=1 = U 5. Podemos escribir la siguiente identidad trivial para la accion efectiva con sustraccion del vacio:

SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a]

=

-iNc

0

1

dt

d dt

d()Tr log
C

iD - Ut5

=

iNc

1
dt
0

d()Tr
C



dUt5 dt

iD

1 - Ut5

.

Puesto que estamos interesados en procesos con paridad anormal, es suficiente con identificar los terminos que contienen el tensor de Levi-Civit`a , que por invariancia Lorentz precisan de al menos cuatro derivadas. Teniendo en cuenta el hecho de que las derivadas actuan sobre su derecha, se tiene

1

-SQ(4M) = -iNc dt d()

0

C

d4x

d4k

1

(2)4 [k2 - 2]5



Tr

-

5Ut

dUt dt



Uti/Ut

4

,

(7.16)

donde el superindice (4) indica O(p4). Tras el calculo de las trazas e integrales, finalmente se obtiene

-SQ(4M)

=

0

Nc 482

1
dt
0

d4x 

Ut

dUt dt

UtUtUt



UtUt





Ut

Ut



Ut

,

que coincide con el termino de Wess-Zumino-Witten (WZW) [132, 133], si usamos que 0 = 1. Los campos externos pueden ser incluidos mediante el uso de ec. (7.16), lo cual genera
el termino de WZW en la forma de Bardeen. En realidad, la diferencia SQM[U, s, p, v, a] - SQM[1, s, p, v, a] es finita y preserva invariancia gauge, pero rompe la simetria quiral lo cual genera la anomalia de ec. (7.14).

156

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

7.3. Desarrollo quiral de la accion efectiva

A partir de la accion de ec. (7.2) podemos calcular el desarrollo en derivadas en el contexto de espacio-tiempo curvo (para los detalles, ver la seccion 6.4). Teniendo en cuenta la formula del desarrollo del heat kernel, ec. (6.67), los coeficientes que se obtienen son los mismos que se obtuvieron en el modelo NJL, ec. (6.68), con la salvedad de considerar la sustitucion M  , y el hecho de que en el modelo espectral no se introducen campos internos auxiliares para bosonizar (los simbolos no tienen barra: V, , F). Despues de usar las condiciones espectrales n = 0, n > 0, la contribucion de paridad normal para la accion efectiva se escribe

-

i 2

Tr

log

D5D

=

-

1 2

Nc (42)

d4x-g d()
C



tr

-14 2

log 2a0

+

2

log 2a1

-

log(2/2)a2

+

1 2

a3

+

1 4

a4

+





=

d4x-g L(0) + L(2) + L(4) +    .

(7.17)

Despues del calculo de las trazas de Dirac, para el orden O(p2) del lagrangiano efectivo se tiene

L(2)

=

Nc (4)2

()
C

- 2 log 2 U U

+

23 log 2 mU + U m

+



2

log



2

1 12

R

,

(7.18)

y para el orden O(p4)

L(4)

=

Nc (4)2

()
C

+

1 6

log 2

(FR )2

+ (FL )2

- log 2

7 720

R

R

-

1 144

R2

+

1 90

R

R

-

i 3

FR U  U + FL U  U 

+

1 12

(U  U )2

-

1 6

(U U )2

+

1 6

U U 

-

1 6

FL U FR U 

+ log 22 2 mm + (mU + U m)2

-

1 2



U U (mU

+ Um)

- log 2 U m + mU

-



log

2

1 6

R

Um

+ mU

+

1 12

R

U U

.

(7.19)

En estas formulas m  s + ip = /2B0. Notar que los momentos que aparecen hasta este orden son 0 = 1, 1 = 0 y 2 = 0, asi como los momentos logaritmicos 0, 1 y 2. Tras aplicar las ecuaciones de movimiento clasicas del campo U, ecs. (6.88)-(6.89), la identidad

7.3 Desarrollo quiral de la accion efectiva

157

integral de ec. (6.90) y la identidad valida en SU(3), ec. (6.91), se llega a la forma estandar del lagrangiano dada por ecs. (6.92)-(6.93) para las contribuciones metricas y ecs. (6.94)(6.95) para las contribuciones con curvatura. Los valores que se obtienen para la constante de desintegracion debil del pion y el condensado de quarks en el limite quiral son

f2

=

-

4Nc (4)2

2

,

f2B0

=

- qq

=

4Nc (4)2

3

,

(7.20) (7.21)

y los coeficientes LEC's se escriben

L3

=

-2L2

=

-4L1

=

-

Nc (4)2

0 , 6

L4 = L6 = 0 ,

L5

=

-

Nc (4)2

1 2B0

,

L7

=

Nc (4)2

1 2Nf

1 2B0

+

0 12

,

L8

=

Nc (4)2

2 4B02

-

1 4B0

-

0 24

,

L9

=

-2L10

=

Nc (4)2

0 3

,

L12

=

-2L11

=

-

Nc (4)2

0 6

,

L13

=

-

Nc (4)2

1 12B0

=

1 6

L5

,

(7.22)

H0

=

-

f2 4

Nf 6

,

H1

=

Nc (4)2

0 6

,

H2

=

Nc (4)2

2 B02

+

1 2B0

+

0 12

,

H3

=

Nc (4)2

Nf

0 144

,

H4

=

-

Nc (4)2

Nf

0 90

,

H5

=

-

Nc (4)2

Nf

70 720

.

El valor para L7 se corresponde con el modelo SU(3) de sabor. Para el modelo U(3), se obtiene del calculo que L7 = 0, pero entonces el termino de ec. (7.4) deberia ser an~adido, de modo que el valor de L7 se modificaria.
Como vemos, los coeficientes L1, L2, L3, L4, L6, L9, L10 son numeros puros, y coinciden con los que se esperan en el limite en que la regularizacion se elimina [105]. Esto tiene
que ver con el caracter adimensional de las LEC's, y que involucran por tanto el momento cero 0 = 1. El hecho de que H1 sea proporcional a 0 se corresponde con una funcion de onda del campo gauge dependiente de la escala, o divergente. Quiere esto decir que la
parte finita de H1 depende del esquema de regularizacion. A partir de los valores de f2 = 93,2 MeV y L5 = 2,1  10-3 [127], se obtiene

L7

=

- L5 2Nf

+

Nc 3842Nf

 -0,09  10-3,

L8

=

L5 2

-

Nc 3842

-

f2 16B02



0,13



10-3,

H2

=

-L5

+

Nc 1922

-

f2 4B02



-1,02  10-3.

(7.23)

158

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

En cuanto a las contribuciones con curvatura, el valor no nulo de H0 conduce a una
correccion fuerte para la constante gravitatoria de Newton G. Esta correccion es proporcional al cociente entre la escala hadronica y la escala de Planck 2Nf f2G/3, lo cual es numericamente despreciable.

7.4. Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial

Hasta ahora todas nuestras consideraciones han sido hechas para una funcion espectral general sujeta a una serie de propiedades que deben cumplir sus momentos y momentos logaritmicos. Es deseable construir una forma explicita para esta funcion pues esto conducira a importantes consecuencias fenomenologicas del modelo. Con este fin, en ref. [101] se adopta la siguiente expresion para el factor de forma del pion

FV

(t)

=

MV2 MV2 +

t

,

(7.24)

donde MV indica la masa del meson . Esta forma corresponde al esquema de dominancia del meson vectorial, que reproduce muy bien los datos experimentalres recientes [135]. La expresion del factor de forma del pion que se deriva del modelo espectral depende de los momentos pares y negativos de (). Por comparacion con (7.24) se llega a la siguiente identificacion [101]

2-2n

=

22n+33/2f2 NcMV2n

n(n + 3/2) (n + 1)

,

n = 1, 2, 3, . . .

(7.25)

La condicion 0 = 1 conduce a

f2

=

NcMV2 242

,

(7.26)

que es una relacion que se obtiene a menudo en los modelos de quarks quirales cuando se

considera este esquema de dominancia. Esto proporciona una estimacion razonable de la

masa del meson , MV = 826 MeV para f = 93 MeV, y MV = 764 MeV para f = 86 MeV

en el limite quiral.

Notar que si en (7.25) hicieramos una prolongacion analitica en el indice n, obtendriamos

para los momentos positivos 2n = 0, n = 2, 3, . . . debido a que la funcion (n) presenta singularidades en enteros no positivos. Los momentos logaritmicos de () se pueden eva-

luar facilmente mediante prolongacion analitica de los momentos n en el plano complejo de n [101],

n = que conduce a

C

d

log(2)n()

=

2

d dz

d z()
C

z=n

=

2

d dz

z

,
z=n

2n =

-

MV2 4

n

(n)(

5 2

-

(5/2)

n)

,

n = 1, 2, 3, . . .

(7.27) (7.28)

7.4 Resultados para el Modelo de Dominancia Vectorial

159

Los momentos contienen toda la informacion necesaria para calculos practicos, sin embargo
resulta interesante escribir una formula explicita para la funcion espectral. El problema matematico consiste en invertir la formula 2n = C d 2nV (), con los momentos dados por (7.25). La solucion del problema conduce a [101]

V () =

11

1

2i  (1 - 42/MV2 )dV

,

(7.29)

con dV = 5/2. Esta funcion presenta un polo simple en el origen, y cortes de rama que empiezan en  = MV /2.
La funcion espectral vector, V , corresponde a la parte par de la funcion : V () = (() + (-)) /2. Para la parte impar, que denominaremos funcion espectral escalar,
S() = (() - (-)) /2, debe suponerse una cierta forma funcional que sea adecuada, que satisfaga las condiciones espectrales impares 2n+1 = 0, n  0, y reproduzca el valor del momento logaritmico 3 = -42 qq /Nc, (ec. (7.21)). En ref. [101] se sugiere una forma analoga a ec. (7.29),

S ()

=

1 16(dS - 1)(dS - 2)3 2i MS4(1 - 42/MS2)dS

.

(7.30)

Los datos del reticulo para la masa constituyente de los quarks favorece el valor dS = 5/2 [101].
En el modelo de dominancia vectorial (MDM), el propagador del quark de ec. (5.33) se escribe

S(p) =

C

d

V

()/p p2

+ -

S 2

()

=

/p

Z (p2 ) - M (p2)

,

(7.31)

donde el contorno de integracion C consta de dos partes. La primera comienza en + - i0 siguiendo el eje real positivo, rodea el polo +MV /2 haciendo una media circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, y vuelve a ++i0 siguiendo el mismo eje real positivo. La segunda parte del contorno comienza en - + i0 y sigue el eje real negativo hasta el polo -MV /2, lo rodea en sentido de las agujas del reloj, y vuelve a - - i0 siguiendo el mismo eje real negativo. Estas dos secciones estan conectadas en el infinito con semicirculos. Este contorno de integracion es el que se usa para V . Para S se considera el mismo contorno C, salvo que los polos estan en MS/2.
En este modelo se obtienen los siguientes valores para los momentos logaritmicos

1MD

=

82 qq NcMS2

=

-

5MQMS2 6MV2

,

2MD

=

-

42f2 Nc

=

-

MV2 6

,

3MD

=

-

42 qq Nc

=

5MQMS4 12MV2

,

(7.32)

160

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

donde MQ es la masa constituyente de los quarks, que viene dada por [101]

MQ



M (0)

=

-

48MV2 2 qq 5NcMS4

.

Haciendo uso de estos valores se tiene

L5

=

Nc 962

MV2 MS2

,

L7

=

Nc 322Nf

1 12

-

MV2 6MS2

,

L8

=

Nc 162

-

MV10 150MQ2 MS8

+

MV2 12MS2

-

1 24

.

(7.33)
(7.34) (7.35) (7.36)

En la tabla 6.1 del capitulo 6 se muestran lo resultados correspondientes al modelo quark
espectral en su realizacion MDM para las constantes L5,7,8, asi como las predicciones para L1,2,3,4,6,9,10, que son comunes al esquema de [105]. Ademas aparecen los coeficientes L11-13, correspondientes a las contribuciones con curvatura del lagrangiano quiral. Estos valores numericos se han obtenido considerando MV = 770 MeV, MS = 970(21) MeV y MQ = 303(24) MeV. 3
Para el modelo espectral en su version SU(2) de sabor, en ausencia de correcciones de loops mesonicos, se tiene4

l1

=

-l2

=

-

1 2

l5

=

-

1 4

l6

=

-Nc

,

l3

=

4Nc 3

+

16NcMV10 75MQ2 MS8

,

l4

=

2NcMV2 3MS2

.

Los radios cuadraticos medios vector y escalar del pion vienen dados por [25]

(7.37) (7.38) (7.39)

r2

V

=

1 162f2

l6

=

6 MV2

,

r2

S

=

3 82f2

l4

=

6 MS2

.

(7.40)

Las componentes escalar (espin-0) y tensorial (espin-2) de los factores de forma gravitacionales (0 y 2 respectivamente) [122], producen el mismo radio cuadratico medio

r2 G,0 =

r2

G,2

=

Nc 482f2

,

(7.41)

3Para una discusion sobre estos resultados y su comparacion con otros modelos, ver seccion 6.6.3. Estos
valores de MS y MQ se han obtenido en ref. [101] a partir de un ajuste con el modelo espectral de los datos para la masa constituyente de los quarks obtenidos en el reticulo [136].
4Hacemos uso de las relaciones dadas en ref. [27] para pasar de la forma del lagrangiano quiral en SU(3) a la forma en SU(2). Estas relaciones son l1 = 1922(2L1 + L3), l2 = 1922L2, l3 = 2562(2L4 + L5 - 4L6 - 2L8), l4 = 642(2L4 + L5), l5 = -1922L10, l6 = 1922L9, l11 = 1922L11 , l13 = 2562l13. La constante l12 no esta renormalizada por el loop pionico.

7.5 Limite de Nc grande y Dualidad

161

independientemente de la realizacion particular del modelo espectral. Si saturamos los factores de forma con mesones escalares y tensoriales f0 y f2, para sus masas se tiene

Mf0 = Mf2 = 4f 3/Nc = 1105 - 1168 MeV ,

(7.42)

dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV, respectivamente. El valor experimental para el meson tensorial mas ligero es Mfe2xp = 1270 MeV. Tal y como se discute en [122], el factor de forma 0 (correspondiente a la traza del tensor energia-impulso) se acopla con mesones escalares, mientras que 2 (correspondiente a la parte de  sin traza) se acopla con mesones tensoriales (espin-2).
Hay que decir que el meson escalar de masa Mf0, que domina el tensor energia-impulso, no necesariamente coincide con el meson escalar de masa MS, que domina el factor de forma escalar. En realidad se tiene Mf0 = 2MV , mientras que MS es una magnitud libre. Esto surge de manera natural en la aproximacion espectral, donde el factor de forma escalar FS en el limite quiral involucra los momentos impares, mientras que 0 involucra los pares. En particular, los radios cuadraticos medios son proporcionales a 1 y 0, respectivamente.

7.5. Limite de Nc grande y Dualidad

En virtud del hecho de que nuestro resultado se ha obtenido en la aproximacion de un loop de quarks,5 no podemos esperar que el modelo de mejores resultados para las LEC's que la contribucion de orden mas bajo en un contaje en Nc, el cual esta formado por un numero infinito de intercambios de resonancias [130]. Por otra parte, el calculo de estas contribuciones en Nc grande requiere el uso de suposiciones adicionales, tales como la convergencia de una serie infinita de estados y, por otra parte, una estimacion de las contribuciones de las resonancias mas altas. En la practica, se puede trabajar en la aproximacion de una unica resonancia (SRA), lo cual conduce a una reduccion de los parametros [122, 130]:

2LS1RA

=

LS2RA

=

1 4

LS9RA

=

-

1 3

LS10RA

=

f2 8MV2

,

LS5RA

=

8 3

LS8RA

=

f2 4MS2

,

LS3RA

=

-3LS2RA

+

1 2

LS5RA

,

2LS13RA

=

3LS11RA

+

LS12RA

=

f2 4Mf20

,

LS12RA

=

-

f2 2Mf22

,

(7.43) (7.44) (7.45) (7.46) (7.47)

donde f, MV y MS indican las contribuciones de orden mas bajo en Nc para estas magnitudes. En la obtencion de estas formulas para L1 - L10, se han ajustado las contribuciones

5El modelo espectral no se ha desarrollado mas alla de un loop.

162

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

de los mesones pseudoescalares y axiales con objeto de reproducir las reglas de suma qui-
rales para las funciones de correlacion de dos puntos VV-AA y SS-PP, ademas de exigir un comportamiento convergente a altas energias para los factores de forma hadronicos.6 Obviamente, el imponer mas ligaduras a cortas distancias implica el uso de mas resonancias.
Los valores de L11,12,13 se han obtenido del intercambio de una unica resonancia escalar y tensorial [122]. Por una parte, es necesario considerar un meson tensorial con objeto de
proporcionar un valor no nulo para L12, y por otra parte, los mesones tensoriales contribuyen tambien a otras LEC's [137], lo cual no esta tenido en cuenta en ecs. (7.43)-(7.47). Por tanto, con objeto de simplificar la discusion, en lo que sigue nos restringiremos a los
acoplamientos no gravitacionales L1 -L10. Notar que, si bien el poder predictivo es grande, se consigue en terminos de dos razones adimensionales f/MV y f/MS. Obviamente, en el limite quiral se espera que tanto MV como MS escalen como f. Por tanto, con objeto de preservar las reglas de contaje en Nc grande, se deberia tener que

MV = cV f/ Nc , MS = cSf/ Nc ,

(7.48)

donde cV y cS son coeficientes independientes de Nc. El hecho sorprendente es que en el
modelo quark espectral, las constantes de baja energia dependen de las razonas adimensionales 1/B0 y 2/B02. En vista de esto, resulta tentador calcular los momentos logaritmicos espectrales a partir de las reglas de Nc grande, de un modo que sea modelo-independiente.
En primer lugar vemos que las razones L1 : L2 : L9 en el modelo quark espectral coinciden con las de SRA. Los valores de L5 y L8 pueden ser usados para determinar 1 y 2 respectivamente, de modo que se tiene

1SRA

=

82 qq NcMS2

,

2SRA

=

-

42f2 Nc

=

-

MV2 6

,

(7.49) (7.50)

lo cual esta de acuerdo con ecs. (7.34) y (7.26). Esto no es sorprendente, pues la fisica

de SRA y del modelo quark espectral en su version MDM es similar. La unica diferencia

es que de ecs. (7.49)-(7.50) no se puede deducir el valor de la masa constituyente de los

quarks MQ = M(0), que viene dada por el cociente MQ = -1/-2 (ecs. (5.35)-(5.36)). Para determinar MQ seria necesario calcular los terminos de O(p6) en el lagrangiano quiral

y comparar con SRA en el limite Nc grande.

Por otra parte, no es posible hacer compatibles L8 o L10. El desacuerdo con los corres-

pondientes valores en Nc grande se debe a que el modelo espectral viola la regla de suma

SS-PP y la segunda regla de Weinberg VV-AA. Esta violacion tambien ocurre en otros

modelos de quarks [138, 139] (no ocurre en los modelos no locales; ver [140, 141]). En

efecto, en el modelo no existe intercambio de meson axial en L10 (1/4 de la contribucion

total) ni de meson pseudoescalar en L8 (1/4 de la contribucion total). Por otra parte, para el valor de f que se obtiene de ec. (7.26), las constantes L1, L2, L4, L5, L6, L9

6En

particular,

MP /MS

= MA/MV

 = 2,

donde

MP

es

la

masa

del

pion

excitado.

7.5 Limite de Nc grande y Dualidad

163

reproducen las identidades en Nc grande que aparecen en [127]. Este acuerdo se puede ver en la tabla 6.1 si se considera un factor de correccion 242f2/NcMV2 = 1,15. Se podria forzar que L3 coincidiera con la estimacion de Nc grande tomando MV = MS. Esto concuerda con la observacion en la aproximacion unitaria quiral de ref. [142], de que en el limite de Nc grande, los mesones escalar y vector son degenerados.7 Por tanto, el intentar compatibilizar
el limite de Nc grande en la SRA con el modelo quark espectral produce una degeneracion de los mesones escalar y vector. Esta degeneracion fue sugerida en [143] en el contexto de
reglas de suma superconvergentes y han sido interpretadas mas recientemente en base a
simetrias que se restablecen [144].
Parece claro que cualquier modificacion en el modelo quark espectral afectara unicamen-
te a L8 y L10. Si se considera MS = MV = 2f 6/Nc para Nc grande en la aproximacion SRA, se obtienen las siguientes relaciones de dualidad

2L1

=

L2

=

-

1 2

L3

=

1 2

L5

=

2 3

L8

=

1 4

L9

=

-

1 3

L10

=

Nc 1922

.

Esto conduce a las relaciones de dualidad para las masas

(7.51)





MA = MP = 2MV = 2MS = 4

3 Nc

f

.

(7.52)

La nueva relacion MA = MP concuerda con el valor experimental dentro del error del 30 % que se espera de considerar el limite Nc grande. Haciendo uso de ec. (7.40) se obtiene



r2

1/2 S

=

r2

1/2 V

=

Nc 2f

.

(7.53)

Estas relaciones estan sujetas a correcciones en m y en ordenes mas altos en Nc. Numeri-

camente se tiene

r2

1/2 S

=

r2

1/2 V

=

0,58 - 0,62

fm ,

(7.54)

dependiendo de si se toma f = 88 o 93 MeV. El valor del radio escalar es proximo al que se obtiene de TQP hasta dos loops [145], 0,78 fm.
En el caso SU(2), el modelo de dualidad con Nc grande conduce a

-

l1

=

l2

=

3 2

l3

=

3 2

l4

=

1 3

l5

=

1 4

l6

=

Nc

.

(7.55)

Los valores recientes obtenidos a partir del analisis de la colision  a nivel de dos loops [145] y de factores de forma vector y escalar [146] a dos loops son

l1 = -0,4  0,6 , l4 = 4,4  0,2 ,

l2 = 6,0  1,3 , l3 = 2,9  2,4, l5 = 13,0  1,0 , l6 = 16,0  1,0 .

(7.56)

7Para Nc = 3, 10, 20, 40, en ref. [142] se obtiene MS/MV = 0,58, 0,84, 0,96, 0,98, respectivamente, con MS y MV las partes reales de los polos en la segunda hoja de Riemann.

164

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

Los coeficientes l son mas susceptibles de poder compararse con TQP ya que los loops quirales generan un cambio constante c = log(2/m2), que es el mismo para todos ellos.
Por tanto, tiene sentido comparar diferencias donde los logaritmos se cancelan.

l2 - l1 = 2Nc (Exp. 6,4  1,4) ,

l3 - l1 =

5Nc 3

(Exp. 3,3  2,5) ,

l4 - l1 =

5Nc 3

(Exp. 4,8  0,6) ,

l5 - l1 = 4Nc (Exp. 13,4  1,2) ,

l6 - l1 = 5Nc (Exp. 16,4  1,2) .

(7.57)

El acuerdo es excelente dentro de las incertidumbres, y esto sugiere una precision del orden de 1/Nc2 en lugar de la que cabria esperar a priori 1/Nc.
El cambio constante de los loops pionicos se produce con una escala  = 513200 MeV,
lo cual es comparable con la masa del meson . Considerando las ecs. (7.43)-(7.45) corres-
pondientes a SRA, con los valores fisicos f = 93,2 MeV, MS = 1000 MeV y MV = 770 MeV, tal y como se hace en [130], se tiene

l2 - l1 = 8,3 , l3 - l1 = 6,2 , l4 - l1 = 6,2 , l5 - l1 = 15,2 , l6 - l1 = 18,7 . (7.58)

Se podrian obtener unos valores mas razonables considerando MS = 600 MeV, pero entonces la relacion SRA, MP = 2MS, prediciria un valor demasiado pequen~o para la masa del estado pionico excitado.
Esta discusion favorece fenomenologicamente las relaciones de dualidad ec. (7.51) frente a las relaciones de SRA, ecs. (7.43)-(7.45), con parametros fisicos.

7.6. Conclusiones
En este capitulo se ha estudiado el desarrollo quiral en el modelo quark espectral propuesto recientemente, en presencia de fuerzas externas electrodebiles y gravitatorias. El modelo esta basado en una representacion de Lehmann para el propagador del quark con una funcion espectral no convencional, que es en general una funcion compleja con cortes de rama. Se ha escrito la accion efectiva que reproduce las identidades de Ward-Takahashi, y gracias a una serie infinita de condiciones espectrales hemos obtenido la contribucion anomala quiral a la accion. Esta contribucion aparece convenientemente normalizada sin necesidad de eliminar la regularizacion. Ademas, la contribucion no anomala se puede escribir en terminos de 13 constantes de baja energia. Los valores numericos muestran un acuerdo razonable con los esperados fenomenologicamente, si bien existen algunas discrepancias para L8 y L10. Estas se podrian explicar de manera natural como fallos del modelo a la hora de reproducir las condiciones quirales a cortas distancias, y sugiere que este necesita ser mejorado. Por otra parte, si se intenta comparar las LEC's no-gravitacionales restantes con las predicciones de Nc grande en la aproximacion de una unica resonancia, tiene lugar

7.6 Conclusiones

165

una nueva reduccion de parametros. En particular, el mejor acuerdo se encuentra para el
caso de mesones escalar y vector degenerados.
Se han estimado las LEC's gravitatorias L11, L12 y L13 en el contexto de los modelos de quarks quirales. Estas constantes dependen de las propiedades de curvatura de la metrica
en espacio-tiempo curvo. Este calculo permite la determinacion de algunos elementos de
matriz del tensor energia-impulso. Nuestro analisis sugiere que el acoplamiento del meson
escalar con el condensado de quarks m0qq, y el meson escalar acoplado con la traza del tensor energia-impulso , no coinciden necesariamente. Estos dos operadores se comportan de manera diferente bajo simetria quiral, ya que m0qq se anula en el limite quiral mientras que  no lo hace. Esto se materializa en el modelo quark espectral en el hecho de que estos dos mesones escalares dependen de momentos espectrales impares y pares, respectivamente. Por otra parte, se obtiene Mf0 = Mf2 = 2MV = 2MS = 4 3/Ncf, que constituye un resultado muy razonable si tenemos en cuenta la aproximacion de un loop de quarks en que
estamos trabajando. Se han discutido otras relaciones de dualidad quark-meson, lo cual ha
permitido una determinacion bastante precisa de las LEC's ya conocidas, y se muestran
de acuerdo con los valores conocidos a dos loops dentro de los errores experimentales.

166

Capitulo 7: Modelo Quark Espectral y Accion Efectiva Quiral

Capitulo 8
Conclusiones
8.1. Resumen y Conclusiones
En esta tesis se ha hecho un estudio detallado de algunos efectos de temperatura y de curvatura en QCD y en algunos modelos de quarks quirales. Las conclusiones y logros mas significativos de este trabajo han sido los siguientes:
Se ha construido un desarrollo del heat kernel invariante gauge orden por orden a temperatura finita, dentro del formalismo de tiempo imaginario, para espacio-tiempo plano. Se ha considerado un tratamiento general valido en cualquier gauge, y en presencia de campos escalares que pueden ser no abelianos y no estaticos. Para preservar la invariancia gauge a temperatura finita se ha hecho uso del loop de Polyakov, y se ha llegado hasta orden 6 en un contaje en dimensiones de masa.
Se ha aplicado el desarrollo del heat kernel para el calculo de la accion efectiva de QCD a un loop, incluyendo fermiones sin masa, en la region de temperaturas grandes. Se ha considerado un loop de Polyakov no estatico. Se ha estudiado la invariancia gauge del resultado, y en concreto la rotura explicita de la simetria del centro por efecto de los fermiones.
Se ha obtenido la accion de la teoria efectiva dimensionalmente reducida de QCD, valida en el regimen de temperaturas grandes. Esto ha permitido obtener nuevos terminos de orden 6 no calculados en la literatura, tanto en el sector fermionico como en el gluonico.
Se ha propuesto un modelo fenomenologico que permite describir con gran exito los datos del reticulo tanto para el loop de Polyakov renormalizado como para la energia libre de un quark pesado, en el regimen de temperaturas inmediatamente por encima de la transicion de fase. Este modelo da cuenta de contribuciones no perturbativas provenientes de condensados gluonicos, y se ha obtenido una prediccion para el valor del condensado gluonico de dimension 2 en el regimen de temperaturas considerado,
167

168

Capitulo 8: Conclusiones

Tc  T  6Tc. El resultado se muestra de acuerdo con otras predicciones existentes tanto a temperatura cero como a temperatura finita.
Se ha estudiado la analogia existente entre el loop de Polyakov y el potencial quarkantiquark a temperatura cero. Esto ha permitido encontrar una relacion entre el condensado gluonico de dimension 2 y la tension de la cuerda.
Se ha introducido el loop de Polyakov de color en los modelos de quarks quirales a nivel de un loop de quarks, siguiendo un esquema de acoplamiento minimo, y hemos visto que esto permite resolver algunas inconsistencias que presentaban estos modelos en su tratamiento estandar a temperatura finita. En concreto, la integracion sobre el grupo gauge da lugar a una conservacion de trialidad, y el contaje en Nc se muestra de acuerdo con las predicciones de Teoria Quiral de Perturbaciones.
Se ha calculado el lagrangiano efectivo quiral a temperatura finita de los modelos NambuJona-Lasinio y Quark Espectral a nivel de un loop de quarks y a nivel arbol para los mesones, en la aproximacion quenched, y se ha obtenido una prediccion para las constantes de baja energia de Teoria Quiral de Perturbaciones.
Se han analizado algunas correcciones de orden mayor para los modelos de quarks quirales acoplados con el loop de Polyakov. En concreto correcciones gluonicas, locales, y las provenientes de ir mas alla de un loop de quarks. Se ha encontrado que los efectos termicos estan exponencialmente suprimidos a temperaturas pequen~as, y vienen dominados por loops mesonicos. Ademas, se ha analizado la influencia del determinante fermionico sobre algunos observables como el condensado de quarks y el valor esperado del loop de Polyakov, y se han estudiado sus implicaciones sobre las transiciones de fase quiral y de desconfinamiento de color.
Se ha estudiado el acoplamiento de los modelos de quarks quirales con gravedad, y se ha analizado la correspondiente estructura del tensor energia-impulso a bajas energias para cuatro modelos concretos: Quark Constituyente, Georgi-Manohar, NambuJona-Lasinio y Quark Espectral. Se ha obtenido una prediccion para los coeficientes de baja energia correspondientes a los terminos no metricos con contribuciones de curvatura.
Se ha obtenido la contribucion anomala quiral a la accion efectiva en el modelo quark espectral. Despues de introducir una regularizacion conveniente, el resultado no depende de los detalles de la funcion espectral, de modo que coincide con la anomalia de QCD.
Se han comparado los resultados del modelo quark espectral para las constantes quirales de baja energia, con las predicciones de Nc grande en la aproximacion de una unica resonancia. El mejor acuerdo se encuentra para el caso de mesones escalar y vector degenerados, dando lugar a unas relaciones de dualidad quark-meson, que han permitido una determinacion precisa de las constantes de baja energia conocidas.

8.2 Anexo de articulos publicados

169

8.2. Anexo de articulos publicados
Esta tesis esta basada en las siguientes publicaciones.
1. Revistas internacionales:
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The Polyakov loop and the heat kernel expansion at finite temperature, Phys. Lett. B563, 173-178 (2003), [arXiv:hep-th/0212237].
E. Megias, E. Ruiz Arriola, and L. L. Salcedo, Thermal heat kernel expansion and the one-loop effective action of QCD at finite temperature, Phys. Rev. D69, 116003 (2004), [arXiv:hep-ph/0312133].
E. Megias, E. Ruiz Arriola, L. L. Salcedo and W. Broniowski, Low energy chiral Lagrangian from the spectral quark model, Phys. Rev. D70, 034031 (2004), [arXiv:hep-ph/0403139].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Energy momentum tensor of chiral quark models at low energies, Phys. Rev. D72, 014001 (2005), [arXiv:hep-ph/0504271].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension two condensates and the Polyakov loop above the deconfinement phase transition, JHEP 0601, 073 (2006), [arXiv:hep-ph/0505215].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Power corrections in the quarkantiquark potential at finite temperature, Phys. Rev. D75, 105019 (2007), [arXiv:hep-ph/0702055].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature, Phys. Rev. D74, 065005 (2006), [arXiv:hep-ph/0412308].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral Lagrangian at finite temperature from the Polyakov-chiral quark model, Phys. Rev. D74, 114014 (2006), [arXiv:hep-ph/0607338].

2. Actas de congresos:
E. Megias, One-loop effective action of QCD at high temperature using the heat kernel method. Actas de 9th Hadron Physics and 8th Relativistic Aspects of Nuclear Physics (HADRON-RANP 2004). AIP Conf. Proc. 739, 443-445 (2005), [arXiv:hep-ph/0407052].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at finite temperature in chiral quark models. Actas de la conferencia Mini-Workshop on Quark Dynamics: Bled 2004. Bled Workshops in Physics, Vol. 5, No. 1, Pag. 1-6 (2004), [arXiv:hep-ph/0410053].

170

Capitulo 8: Conclusiones

E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Chiral lagrangians at finite temperature and the Polyakov loop. Actas de 6th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 756, 436-438 (2005), [arXiv:hep-ph/0411293].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Non-perturbative contribution to the Polyakov loop above the deconfinement phase transition. Actas de 18th International Conference on Ultra-Relativistic Nucleus-Nucleus Collisions: Quark Matter 2005 (QM 2005). Romanian Reports in Physics, Vol. 58, No. 1, Pag. 81-85 (2006), [arXiv:hep-ph/0510114].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Polyakov loop at low and high temperatures. Actas de 29th Johns Hopkins Workshop in Theoretical Physics. JHEP Proceedings of Science, PoS(JHW2005)025, (2006), [arXiv:hep-ph/0511353].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, The quantum and local Polyakov loop in chiral quark models at finite temperature. Actas de 7th International Conference on Quark Confinement and the Hadron Spectrum. AIP Conf. Proc. 892, 444-447 (2007), [arXiv:hep-ph/0610095].
E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Dimension-2 condensates and Polyakov chiral quark models. Actas de 4rd International Conference on Quarks and Nuclear Physics. The European Physical Journal A31, 553-556 (2007), [arXiv:hep-ph/0610163].

Apendice A Transformaciones Gauge

En este apendice explicaremos que se entiende por transformacion gauge y discutiremos ciertas propiedades que cumple una transformacion gauge a temperatura finita. Estudiaremos la rotura de la simetria del centro del grupo gauge al considerar una teoria con fermiones. Vamos a seguir en parte la referencia [147].

A.1. Definiciones

Consideremos un operador f (M, D) construido con M y D en sentido algebraico. Una configuracion gauge transformada (MU , AU ) es una de la forma

M U (x) = U -1(x)M (x)U (x) , AU (x) = U -1(x)U (x) + U -1(x)A(x)U (x) ,

(A.1)

donde la transformacion gauge U(x) es una funcion que toma valores sobre matrices en
el espacio interno. Esta transformacion corresponde a una transformacion de semejanza de D de la forma DU =  + AU (x) = U -1(x)DU (x), donde U (x) se considera que es un operador multiplicativo en el espacio de Hilbert H de las funciones de onda. Debido a
que f (M, D) esta construido con M, D y c-numeros, se sigue que f (M, D) tambien se transforma bajo una transformacion de semejanza

f (M U , DU ) = U -1f (M, D)U .

(A.2)

U(x) pertenece a cierto grupo gauge G y el campo gauge A(x) es un elemento del algebra de Lie de G. La clase de matrices M(x) debe ser cerrada bajo transformaciones gauge. U(x) debe ser una funcion continua del espacio-tiempo y a temperatura finita ha de ser periodica (salvo una posible fase global) como funcion de x0. Notar que una transformacion gauge deja invariante el espectro de f (M, D), por tratarse de una transformacion de semejanza.
171

172

Capitulo A: Transformaciones Gauge

A.2. Gauges estacionarios

En calculos explicitos suele ser usual fijar el gauge a traves de la condicion 0A0 = 0, que no implica perdida de generalidad ya que este gauge siempre existe.1 Esto quiere decir que para cada configuracion existe una transformacion gauge que la lleva a la configuracion estacionaria. Una vez fijado este gauge, queda aun cierta libertad. Cuando se trabaja en el gauge estacionario, para comprobar la invariancia gauge es necesario encontrar el resto de transformaciones compatibles con este gauge y ver que todas ellas producen el mismo resultado. A continuacion vamos a determinar cual es la transformacion gauge mas general de este tipo.
Sean A y B dos configuraciones estacionarias y sea U una transformacion gauge que transforma A en B. Esto quiere decir

B0(x) = U -1(x)0U (x) + U -1(x)A0(x)U (x) .

(A.3)

Notar que el primer termino cambia la magnitud de A0 y el segundo simplemente lo rota en el espacio interno. Podemos simplificar esta ecuacion si hacemos uso de la variable auxiliar V (x) = exp(x0A0(x))U(x), con lo que queda

B0(x) = V -1(x)0V (x) .

(A.4)

La solucion mas general de (A.4) va a estar formada por una transformacion gauge arbi-

traria independiente del tiempo y por una transformacion cuya dependencia temporal sea

lineal2

V (x) = U0(x)ex0B0(x) .

(A.5)

Un modo conveniente de escribir la transformacion es haciendo uso del cambio de variable

B0(x) = U0-1(x)(A0(x) + (x))U0(x) ,

(A.6)

con lo cual finalmente queda

U (x) = e-x0A0 e (x) x0(A0(x)+(x))U0(x) .

(A.7)

Ahora debemos imponer la condicion de que U(x) es funcion periodica de x0, salvo una

posible fase global

U (x0 + , x) = eiU (x0, x) .

(A.8)

Aqui  es una fase global escalar multiplicada por la matriz identidad. Esto conduce a la

restriccion

e(A0(x)+(x)) = eieA0(x) ,

(A.9)

lo cual va a producir una discretizacion en la parte temporal de la transformacion gauge. De (A.9) se deduce que A0(x) y (x) deben conmutar con exp(A0(x)). Si el espectro de

1Este gauge es conocido en la literatura como 'gauge de Polyakov', aunque nosotros nos referiremos a
el tambien como gauge estacionario. 2Una dependencia no lineal daria lugar a una contribucion temporal en B0.

A.3 Particularizacion al grupo gauge SU(Nc)

173

la matriz unitaria exp(A0(x)) es no degenerado, esta puede ser diagonalizada en una base

que es esencialmente unica e independiente de x. En este caso A0(x) y (x) deben ser diagonales en la misma base y por tanto van a conmutar entre si. Esto da lugar a que la

condicion sobre  sea

e(x) = ei ,

[A0(x), (x)] = 0 .

(A.10)

La primera condicion conduce a que los valores propios de (x) sean de la forma j = i( + 2nj)/, nj  Z. Notar que por continuidad estos enteros deben ser independientes de x. Finalmente la transformacion gauge queda

U (x) = ex0(x)U0(x) ,

(A.11)

expresion valida cuando el espectro de exp(A0(x)) es no degenerado.

A.3. Particularizacion al grupo gauge SU(Nc)

A.3.1. Simetria del centro del grupo gauge

Consideremos especificamente el grupo gauge SU(Nc). En la ecuacion (A.8), tomando en cada miembro el determinante y teniendo en cuenta que Det(U) = 1, obtenemos que los valores permitidos de  son cuando Det[exp(i)] = 1, esto es  = 2n/Nc, n  Z. Puesto que solamente estan permitidos valores discretos para , esto implica que la matriz  debe ser independiente de x, por continuidad. Como ejemplo, en SU(2) los valores propios de  son de la forma j = inj/, nj  Z. Para SU(Nc), con Nc > 2, es siempre posible elegir una representacion fundamental en la cual todos los generadores diagonales excepto uno tengan al menos un valor propio cero [por ejemplo, las matrices de Gell-Mann 3 y 8 para SU(3)]. La transformacion U se escribira

U (x) = exp(x0aa)U0(x) ,

(A.12)

donde a/2i son los generadores diagonales del grupo. Los terminos a correspondientes a cada uno de los generadores con un valor propio cero deben ser de la forma a = i2na/.
El otro generador Nc2-1 viene dado por

Nc2-1 = diag(1, 1,    , 1 - Nc) ,

(A.13)

donde  es un factor de normalizacion. En este caso Nc2-1 = i2n/(Nc) dan lugar a transformaciones gauge permitidas. Esto quiere decir que ademas de la simetria gauge SU(Nc), exite una simetria extra global Z(Nc), que es el centro del grupo gauge. Esta simetria es generada por la accion de transformaciones gauge locales que son periodicas en la variable temporal, salvo un elemento arbitrario de Z(Nc),

U (x0 + , x) = z U (x0, x) ,

z = ei2n/Nc ,

(A.14)

modulo transformaciones gauge locales estrictamente periodicas.

174

Capitulo A: Transformaciones Gauge

A.3.2. Rotura explicita de la simetria del centro

La situacion cambia si hay fermiones en la teoria. Puesto que los fermiones transforman como   U, no hay factores U-1 que cancelen la fase global. Por tanto, con objeto de que las condiciones de contorno temporales para fermiones queden inalteradas bajo transformaciones gauge, solo estan permitidas transformaciones que satisfagan (A.8) con  = 0. Esto quiere decir que los fermiones rompen la simetria del centro del grupo gauge que esta presente en todas las teorias gauge puras. En consecuencia, la forma mas general de a para una teoria SU(Nc) con fermiones es a = i2na/.
La rotura de la simetria del centro del grupo gauge se manifiesta en que algunos de los minimos absolutos degenerados del potencial efectivo de la teoria gauge pura dejan de serlo cuando la teoria incluye fermiones. No obstante, es posible probar que estos minimos seguiran siendo puntos estacionarios del potencial efectivo completo con fermiones. En el gauge de Polyakov A0 es independiente del tiempo y diagonal. Una matriz diagonal arbitraria de su(Nc) se puede escribir siempre como una combinacion lineal de matrices que tengan al menos un cero en la diagonal y la matriz Nc2-1 dada en (A.13). U nicamente esta ultima matriz pondra de manifiesto el minimo que estamos buscando, por lo comentado anteriormente. El potencial efectivo de QCD que calculamos en el capitulo 3 se puede escribir como

L0,q(x)

=

-

(2)2 34

Nf

trB4

1 2

+



,

(x) = ei2 ,

-

1 2

<



<

1 2

,

(A.15)

para el sector fermionico y

L0,g (x)

=

22 34

trB4

()

,

(x) = ei2 , 0 <  < 1

(A.16)

para el sector gluonico. tr es traza en la representacion fundamental del grupo gauge y tr es

en la representacion adjunta. Los valores propios del loop de Polyakov en la representacion

fundamental son A = exp(i2A), A exp(i2(A - A )), A, A = 1, . . . , Nc.

= Si

1, . . . , Nc, y hacemos uso

en de

la la

representacion representacion

adjunta en serie

AA = de los

polinomios de Bernoulli [52]

B2(x)

=

(-1)-12(2)! (2)2



cos(2nx) n2

,

n=1

0  x  1 , n = 1, 2, . . .

(A.17)

y nos limitamos a considerar el potencial efectivo para Nc2-1 obtenemos

L0,q (x)

=

4Nf 24



(-1)n n4

{(Nc

-

1)

cos(2n)

+

cos((Nc

-

1)2n)}

,

n=1

L0,g (x)

=

-

2 2

4



1 n4

2(Nc - 1) cos(2nNc) + (Nc - 1)2

.

n=1

(A.18) (A.19)

A.3 Particularizacion al grupo gauge SU(Nc)

175

Los minimos de L0,g se encuentran en  = m/Nc, con m entero. Si diferenciamos el lagrangiano L0,q respecto a  se puede comprobar que estos minimos se corresponden exactamente con puntos estacionarios (minimos o maximos) de la parte fermionica. En consecuencia, el
potencial efectivo total siempre va a tener puntos estacionarios en  = m/Nc.

176

Capitulo A: Transformaciones Gauge

Apendice B
Integrales en tiempo propio con regularizacion dimensional

Para obtener el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop del capitulo 3 hemos necesitado calcular las trazas en espacio interno y las integrales en  . En este apendice calcularemos la expresion generica de la siguiente integral regulada dimensionalmente

I,n() =

 0

d 

(42 ) n (ei2)

,

, ,   R ,

n = 0, 1, 2, . . .

(B.1)

Las funciones n las definimos en su momento como

n (;  /2)

=

(4 )1/2 

 n/2Qne Q2 ,

p0

Q

=

ip0

-

1 

log()

,

(B.2)

donde en la version bosonica sumamos sobre las frecuencias de Matsubara p+0 = 2n/,

y

en

la

version

fermionica

sobre

p-0

=

2(n

+

1 2

)/

.

Centremonos

por

el

momento

en

la

version bosonica de la funcion n. Vamos a tener



I+,n() = (42)

4 

2i 

n
(k - )n
kZ



d



++(n-1)/2

e-(

2 

)2 (k-

)2



,

0

  Z. (B.3)

Debido a la sumatoria en k  Z, la funcion es periodica en  con periodo 1. El caso   Z

sera discutido mas tarde. La integral sobre  se calcula y se obtiene

I+,n() = in(42)

 2

2(+)

(

+



+ (n +

(

1 2

)

1)/2)

kZ

(k |k

- -

)n |n

|k

-

1  |2(+)+1

.

(B.4)

177

178

Capitulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacion dimensional

Definamos  = k0 + , donde 0 <  < 1 y k0  Z. La suma sobre k la podemos dividir en una suma para k  k0 y otra para k > k0

I+,n() = in(42)

 2(+) ( +  + (n + 1)/2)

2

(

1 2

)



kk0

(k0

+

(-1)n  - k)2(+)+1

+

k>k0

(k

-

k0

1 - )2(+)+1

. (B.5)

Si hacemos uso de la funcion  de Riemann generalizada [52]

 (z,

q)

=

 n=0

(n

1 +

q)z

[Re z > 1, q = 0, -1, -2, . . .] ,

(B.6)

llegamos a la siguiente expresion

I+,n() = (4)

 2  2 ( +  + (n + 1)/2)

2

2

(

1 2

)

 (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) ,

(B.7)

donde  =  (mod 1), 0 <  < 1.

Las versiones bosonica y fermionica de las funciones n estan relacionadas por   -,

esto es +n () = -n (-). Por tanto I-,n se puede obtener a partir de las integrales I+,n con

el

cambio







+

1 2

,

I-,n() =

(4)

 2  2 ( +  + (n + 1)/2)

2

2

(

1 2

)



(-i)n (1

+

2

+

2,

1 2

+

)

+

in (1

+

2

+

2,

1 2

-

)

, (B.8)

donde



=

(

+

1 2

)

(mod

1)

-

1 2

,

-

1 2

<



<

1 2

.

Notar

que

I,2n ( )

=

(-1)n

( + (

+ +

n +

+

1 2

)

1 2

)

I,0(

)

,

I,2n+1 ( )

=

(-1)n

( + (

+ +

n +

+ 1) 1)

I,1(

)

.

(B.9)

Estas funciones son periodicas en  y bajo paridad se comportan

I,n() = (-1)nI,n(-) .

(B.10)

En el problema de la reduccion dimensional de la teoria de Yang-Mills unicamente se
suma sobre fluctuaciones cuanticas no estaticas (n = 0). Con objeto de preservar las propiedades de periodicidad y paridad de las funciones I+,n, definimos las integrales bosonicas

179

sin el modo estatico eliminando la frecuencia k = k0

cuando



>

1 2

.

Haciendo

esto

en

(B.5)

se

obtiene

cuando



<

1 2

y

la

frecuencia

k

=

k0 +1

I+,n() = (4)

 2

2

 2

2 ( +  + (n + 1)/2)

(

1 2

)



(-i)n(1 + 2 + 2, 1 + ) + in(1 + 2 + 2, 1 - ) , (-i)n(1 + 2 + 2, ) + in(1 + 2 + 2, 2 - ) ,

(B.11)

0
1 2

 <

 

< 

1 2
1

, .

Estas funciones son finitas, incluso para valores enteros de . Consideremos ahora   Z. En este caso el modo estatico p+0 = 0 de las integrales I+,n()
con n = 0 no contribuye. Este modo va a contribuir solamente en I+,0 dando origen a divergencias infrarrojas o ultravioletas. En regularizacion dimensional la integral I+,0()|p0=0 con   Z se define como cero ya que no tiene una escala natural. Esto conduce a la siguiente
prescripcion

I+,n() = I+,n = (4)

 2  2 ( +  + (n + 1)/2)

2

2

(

1 2

)



2(-1)n/2(1 + 2 + 2) , 0,

(n par) (n impar)





Z

.

(B.12)

180

Capitulo B: Integrales en tiempo propio con regularizacion dimensional

Apendice C
Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

En este apendice presentaremos el lagrangiano efectivo de QCD quiral a un loop a temperatura alta calculado en el capitulo 3, para SU(2) en el sector de quarks y en el sector gluonico, incluyendo todos los terminos hasta dimension de masa 6. Los resultados vienen dados en el esquema MS, y hemos considerado explicitamente un cutoff infrarrojo. Las convenciones son las que aparecen en la seccion 3.7.

Larbol(x)

=

1 4g2()

F2

,

(C.1)

L0,g(x) =

2T 4 3

- 1 + 42(1 - )2 5

,

(C.2)

L2,g (x)

=

-

11 962

1 11

+

2

log

 4T

- () - (1 - ) F2

-

11 962

T m

+

1 11

+ 2 log

 4T

+

E

-

1 2

()

-

1 2

(1

-

)

F2

+

1 24

2

Ei2

-

1 482

T m

Ei2 ,

(C.3)

L3,g (x)

=

61 21602

1 4T

2
8

T m

3
+ 2(3) - () - (1 - ) (F  F)  F

-

1 482

1 4T

2
[() + (1 - )] F2

+

1 96

2

1 4T

2
16

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) F2

181

182

Capitulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

+

1 4802

1 4T

2
[() + (1 - )] F2

-

1 9602

1 4T

2
16

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) F2

-

3 802

1 4T

2
[() + (1 - )] F02

+

3 1602

1 4T

2
-8

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) F02

-

1 102

12 4T

T m

3
E02i

+

1 2402

1 4T

2
[() + (1 - )] Ei2i

-

1 4802

1 4T

2
-8

T m

3
+ 4(3) - () - (1 - ) Ei2i

+

1 2402

1 4T

2
[() + (1 - )] ijk(Ei  Ej)  Bk

(C.4)

+

1 2402

1 4T

2
8

T m

3
- 4(3) - () - (1 - ) ijk(Ei  Ej)  Bk ,

L0,q (x)

=

2 3

2

T

4Nf

2 15

-

1 4

(1

-

42)2

,

(C.5)

L2,q(x) =

Nf 962

2 log

 4T

-

(

1 2

+

)

-

(

1 2

-

)

F2

-

Nf 482

Ei2

,

(C.6)

L3,q (x)

=

Nf 9602

1 4T

2

(

1 2

+

)

+



(

1 2

-

)

(C.7)



16 3

(F



F)



F

+

5 2

F2

-

F2

-

2ijk(Ei



Ej )



Bk

+

3F02

-

2Ei2i

.

a  b es el producto vectorial de a y b, esto es

(a  b)i = ijkajbk .

(C.8)

Como vemos, las contribuciones de los quarks no distinguen entre componentes paralelas
y perpendiculares. Esto se debe a que en SU(2) una funcion par en  en la representacion
fundamental es necesariamente un c-numero. Puesto que todas las funciones n() involucradas en los terminos de dimension 6 son pares [n()+n(-1) = c122], la dependencia en  de las ecs. (3.30) y (3.32) sale fuera de la traza, de modo que A0 no sera una direccion

183
privilegiada en espacio de color. Este propiedad no se cumple en la representacion adjunta (sector gluonico), ni tampoco en otros grupos SU(Nc) (por ejemplo, ec. (3.117)).
Las divergencias infrarrojas estan sujetas a que  sea entero, de modo que no existen en el sector fermionico, y se cancelan en las contribuciones gluonicas que unicamente involucran componentes paralelas.

184

Capitulo C: Lagrangiano Efectivo de QCD en SU(2)

Apendice D
Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de Polyakov

En este apendice se explicara en detalle el calculo del lagrangiano quiral efectivo a temperatura finita presentado en la seccion 5.5. El calculo se divide en tres partes. En primer lugar se construira el operador de Klein-Gordon a partir del operador de Dirac y su adjunto para la parte real de la accion efectiva. Haciendo uso de la representacion de Schwinger de tiempo propio, deberemos calcular el heat kernel para este operador. Para ello haremos uso de la tecnica desarrollada en el capitulo 2. Calcularemos las trazas en los grados de libertad internos (en nuestro caso, sabor). Finalmente, haremos uso de las ecuaciones de movimiento con objeto de tener en cuenta el hecho de que los campos pionicos estan en la capa de masas.

D.1. Operador de Klein-Gordon efectivo

El operador de Dirac que aparece en el determinante fermionico se comporta de manera covariante bajo transformaciones quirales. Esto implica que, en principio, habria que considerar tanto el acoplamiento vector como el axial. Conseguiremos una gran simplificacion en nuestro tratamiento si hacemos uso de los convenios de ref. [148, 149], donde se muestra que es suficiente con llevar a cabo el calculo en el caso de un acoplamiento vector, y posteriormente reconstruir el resultado quiral total de un modo conveniente.
Consideremos el siguiente operador de Dirac con un acoplamiento tipo vector

D =D/ +h, h = m + z ,

(D.1)

donde h incluye el campo del pion m, que es orden O(p0), y el termino de masa z que rompe 185

Capitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

186

Polyakov

explicitamente la simetria quiral, y que tomamos O(p2). Nuestra notacion es la siguiente

hLR

=

MU

+

1 2B0



,

hRL

=

MU

+

1 2B0



.

La parte real de la accion efectiva es, formalmente

(D.2)

+q [v,

h]

=

-

1 2

Tr

log(DD)

=:


dx0
0

d3x Lq(x) ,

donde el operador de Klein-Gordon relevante viene dado por

(D.3)

DD

=

-D2

-

1 2



F

-

Dh

+

m2

+

h2

,

h2 = h2 - m2 = {m, z} + z2 .

(D.4)

El problema radica en hacer un desarrollo en derivadas covariantes para la accion efectiva.

Podemos

identificar

el

operador

de

masa

M (x)

=

-

1 2



F

-

Dh

+

h2.

Haciendo

uso

de la representacion de Schwinger de tiempo propio, el lagrangiano efectivo en espacio

euclideo se puede escribir como

Lq

=

1 2

 d ( ) Tr e-DD = 1

0

2

 0

d 

(

)

e- M 2 (4 )2

 ntr bTn .
n

(D.5)

En esta representacion haremos uso de la regularizacion de Pauli-Villars [107]

( ) =

cie- 2i .

(D.6)

i

Hasta O(p4) obtenemos las siguientes contribuciones para los coeficientes de Seeley-DeWitt

termicos, despues de haber tomado la traza de Dirac

bT0 = 40() , bT1/2 = 0 ,
bT1 = -40()h2 = -40() {m, z} + z2 , bT3/2 = 0 ,

bT2

= 20()

(h)2

+

h4

-

1 3

F2

-

2 3

2Ei2

= 20()

(m)2

+

{m,

z}

+

{m,

z}{m,

z}

-

1 3

F2

-

2 3

2()Ei2

+

O(p6)

,

bT5/2

=

-

2 3

1{Ei,

(h2)i}

=

-

2 3

1{Ei

,

Di{m,

z}}

=

O(p5)

,

bT3

=

-

2 3

0()

m{m, {m, z}} + {m, z}mm + {F , mm } - mF m

+

1 2

(m

)2

+

1 3

2(m0)2

+

O(p5)

,

D.2 Trazas de sabor e identidades utiles

187

bT7/2 = O(p5) ,

bT4

=

1 6

0()(m

mm

m

+

mm m m

-

mmmm )

+

O(p5)

.

(D.7)

D.2. Trazas de sabor e identidades utiles

Para Nf = 3 sabores se tiene la siguiente identidad de SU(3)

tr(ABAB)

=

-2tr(A2B2)

+

1 2

tr(A2

)tr(B2)

+

(tr(AB))2

,

(D.8)

donde A y B son matrices hermiticas 3  3 de traza cero. De aqui se tiene

trf (mm mm)

=

-2trf ((m)2(m)2)

+

1 2

trf

((m)2)trf

((m

)2)

+

(trf (mm ))2

,

(D.9)

trf

(m0mm0m)

=

-2trf ((m0)2(m)2)

+

1 2

trf

((m0)2)trf

((m)2)

+

(trf

(m0m))2

.

(D.10)

Otras identidades utiles son

trf ((m)2) = trf ((m)2) - 2trf (Fmm ) + trf (mF mF ) - M 2trf (F2 ) , (D.11)

trf ((m0)2) = trf (m00m) - 2trf (Ei[m0, mi]) - 2trf (E0immi) ,

(D.12)

donde hemos hecho uso de la propiedad X = X + [F, X]. Podemos aplicar las ecuaciones de movimiento, ec. (D.30), para obtener

trf (mz)

=

1 2B0M 2

trf

(mmmx)

-

1 4B0M

trf

(mxmx)

+

M 4B0

trf (x2)

+

8M

1 Nf

B0

trf

([m,

x])trf

([m,

x])

,

(D.13)

trf (mm )

=

1 M2

trf (mmmm )

-

1 2

trf

(mxmx)

+

M 2

2

trf

(x2

)

+

1 4Nf

trf

([m,

x])trf

([m,

x])

,

(D.14)

trf (m00m)

=

1 M2

trf (m0m0mm)

-

M trf (m00x)

-

1 M

trf (m0m0mx)

+

1 2M Nf

trf

(m00m)trf

([m,

x])

.

(D.15)

donde se han introducido los campos normalizados x = 2B0z. La notacion es la siguiente:

xLR =  ,

xRL =  .

(D.16)

Capitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

188

Polyakov

Haciendo uso de (D.9)-(D.15) podemos calcular la traza en espacio de sabor de los coeficientes de Seeley-DeWitt. Esto conduce a

trf bT0 trf bT1 trf bT2 trf bT3
trf bT4

= 4Nf 0() ,

= -0()

4 B0

trf

(mx)

+

1 B02

trf

(x2)

,

=

20()trf

(mm)

+

2 B0M 2

0()trf (mmmx)

+

1 B0

1 B0

-

1 M

0()trf (mxmx)

+

M B0

M B0

+

1

0()trf (x2)

-

2 3

0()trf (F2)

-

2 3

2()trf

(Ei2)

+

1 2M Nf

B0

0()trf ([m,

x])trf ([m,

x])

,

=

-

4 3

0

()trf

(F

mm

)

-

1 3

0

()trf

(mF

mF

)

+

1 3

M

20

()trf

(F

)

-

1 6

M

2

0()trf

(x2

)

+

1 6

0()trf

(mxmx)

-

2 B0

0()trf (mmmx)

-

1 3M

2()trf (m0m0mx)

-

M 3

2()trf (m00x)

-

2 3

2()trf

(Ei[m0,

mi])

-

2 3

2()trf (E0immi)

-

1 3M 2

0()trf (mmm m)

+

1 3M

2

2()trf (m0m0mm)

-

1 12Nf

0()trf ([m,

x])trf

([m,

x])

+

1 6M Nf

2

()trf

(m00m)trf

([m,

x]))

,

=

-

1 12

0()trf

(mm

)trf

(m

m

)

-

1 6

0()trf

(mm

)trf

(m

m

)

+

2 3

0()trf

(m

m

m

m

)

.

(D.17)

D.3. Integrales en tiempo propio

Las integrales en tiempo propio basicas que definimos son

Jl(, M, ) := J l(, M, ) :=

 0

d 

( ) le-M20()

,

 0

d 

( ) le-M22()

,

(D.18) (D.19)

donde  = ei2 es una matriz SU(Nc) en espacio de color. Haciendo uso de la formula de Poisson para la sumatoria, podemos escribir 0 y 2 del siguiente modo

0() =

e-

n2  2 4

(-)n

,

nZ

(D.20)

D.4 Ecuaciones clasicas de movimiento

189

2()

=

2 2

n2e-

n2  2 4

(-)n

.

nZ

(D.21)

La contribucion de temperatura cero viene dada por el termino n = 0, y para el es necesario aplicar una regularizacion (aqui usamos Pauli-Villars). En los terminos n = 0 la regularizacion puede ser eliminada, pues el ban~o termico actua de por si como un regulador ultravioleta. Esta aproximacion esta justificada a temperaturas suficientemente pequen~as T  PV. Tipicamente PV  1 GeV de modo que incluso para T  M  300 MeV la aproximacion es valida. El calculo de las integrales conduce a

Jl(, M, ) = 1NcNc(l) ci(2i + M 2)-l

(D.22)

i

+2

 2M

l
nlKl(nM )((-)n + (-)-n) ,

Re(l) > 0 ,

n=1

J0(, M, ) = -1NcNc ci log(2i + M 2)
i 
+2 K0(nM )((-)n + (-)-n) ,

(D.23)

n=1

J-1(, M, ) = 1NcNc ci(2i + M 2) log(2i + M 2)

i

+

4M 



K1(nM n

)

((-)n

+

(-)-n)

,

n=1

J-2(, M, )

=

-1Nc Nc

1 2

ci(2i + M 2)2 log(2i + M 2)

i

+8

M 

2



K2(nM n2

)

((-)n

+

(-)-n)

,

n=1

J l(, M, )

=

 l+1 (2M )l-1

 n=1

nl+1Kl-1(nM )((-)n

+

(-)-n) ,

l  R.

(D.24)
(D.25) (D.26)

D.4. Ecuaciones clasicas de movimiento

A orden O(p2) el lagrangiano quiral se escribe

Lq(2) =

 0

d 

(

)

e- M 2 (4)2

trc0()

trf (mm)

-

4 

trf

(mz

)

=

1 (4)2

trcJ0(, M, )trf (mm) - 4trcJ-1(, M, )trf (mz)

Capitulo D: Lagrangiano Efectivo del Modelo Quark Quiral acoplado con el loop de

190

Polyakov

=

M2 (4)2

trcJ0

(,

M

,



)

trf (DU DU )

-

2 M

trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, )

trf

(zRLU

+

zLRU )

=

M2 (4)2

trcJ0

(,

M

,



)trf

DU DU - (U + U )

,

(D.27)

donde la normalizacion del campo  viene dada por el factor

 = 2B0 zLR ,

 = 2B0 zRL ,

B0

=

1 M

trcJ-1(, M, ) trcJ0(, M, )

.

(D.28)

y

f2 4

=

M2 (4)2

trcJ0(,

M,



)

.

(D.29)

Si minimizamos la accion a este orden, se obtienen las ecuaciones de movimiento de Euler-

Lagrange

mm

+

mm

-

M 2

[m,

x]

+

M 2Nf

trf ([m,

x])

=

0

.

(D.30)

El ultimo termino en ec. (D.30) viene de imponer la condicion Det(U) = 1, pues estamos considerando un grupo de sabor SU(Nf ).

D.5. Lagrangiano Efectivo

El lagrangiano efectivo se puede escribir como

Lq = Lq(0) + Lq(2) + Lq(4) +    .

(D.31)

Haciendo uso de la expresion del lagrangiano en ec. (D.5), los coeficientes de Seeley-DeWitt de ec. (D.17) y despues de calcular la integral en tiempo propio con regularizacion de PauliVillars, se obtiene

Lq(0)

=

2Nf (4)2

trcJ-2(,

M,



)

,

(D.32)

Lq(2)

=

f2 4

trf

DU DU - (U + U )

,

Lq(4) = -L1trf (uu)trf (uu) - L2trf (uu)trf (uu) - L3trf (uuuu)

-L3trf (u0u0uu) + 2L4trf (uu)trf (xu) + 2L5trf (uuux)

+2L5trf (u0u0ux) + 2L5trf (u00x) - 2(L6 + L7)trf (ux)trf (ux)

-2(L6 - L7)trf (ux)trf (xu) + 2Ltrf (u00u)trf ([u, x]) - 2L8trf (uxux)

-2L9trf (F uu) - 2L9trf (Ei[u0, ui]) - 2L9trf (E0iuui)

+L10trf (uFuF) + 2H1trf (F2) + 2H1trf (Ei2) - H2trf (x2) ,

(D.33)

donde se ha usado la notacion m = Mu. Los coeficientes que aparecen en ec. (D.33) se han escrito de manera que se correspondan con la convencion de Gasser-Leutwyler.

Bibliografia
[1] T. Matsubara, Prog. Theor. Phys. 14, 351 (1955). [2] D.A. Kirzhnits and A.D. Linde, Phys. Lett. 42B, 471 (1972). [3] A.M. Polyakov, Phys. Lett. 72B, 477 (1978). [4] G. 't Hooft, Nucl. Phys. B153, 141 (1979). [5] Ashok Das, "Finite Temperature Field Theory", World Scientific Publishing Co. Pte.
Ltd., Singapore, (1997). [6] J.I. Kapusta,"Finite Temperature Field Theory", Cambridge University Press, Cam-
bridge, UK, (1989). [7] M. Le Bellac, "Thermal Field Theory", Cambridge University Press, Cambridge, UK,
(1996). [8] N.P. Landsman and Ch.G. van Weert, Phys. Rep, 145 141-249 (1987). [9] P. Pascual and R. Tarrach, "QCD: Renormalization for the Practitioner", University
of Barcelona, GIFT. [10] D. Gross, R.D. Pisarski and L.G. Yaffe, Rev. Mod. Phys. 53, 43 (1981). [11] L. McLerran, pramana 60, 575 (2003). [12] M. Gell-Mann, Acta Phys. Austriaca Suppl. IX, 733 (1972). [13] H. Fritz, M. Gell-Mann and H. Leutwyler, Phys. Lett. B47, 367 (1973). [14] S. Weinberg, Phys. Rev. D8, 4482 (1973). [15] D. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 30 (1973). [16] D. Gross and F. Wilczek, Phys. Rev. D9, 980-993 (1974). [17] H. Georgi and H. Politzer, Phys. Rev D9, 416-420 (1974).
191

192

BIBLIOGRAFIA

[18] Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, "Gauge Theory of Elementary Particle Physics", Oxford University Press, New York, USA, (1984).
[19] Y. Iwasaki, K. Kanaya, T. Kaneko, and T. Yoshie, Phys. Rev. D56, 151 (1997). [20] R.D. Pisarski, Notes on the deconfining phase transition, (2002), arXiv:hep-
ph/0203271. [21] O. Kaczmarek, F. Karsch, P. Petreczky, and F. Zantow, Phys. Lett. B543, 41 (2002),
[arXiv:hep-lat/0207002]. [22] O. Kaczmarek and F. Zantow, Phys. Rev. D71, 114510 (2005), [arXiv:hep-
lat/0503017]. [23] E. Gava and R. Jengo, Phys. Lett. B105, 285 (1981). [24] K. Fukushima, Phys. Rev. D 68, 045004 (2003), [arXiv:hep-ph/0303225]. [25] J. Gasser and H. Leutwyler, Ann. Phys. 158, 142-210 (1984). [26] E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Nucl. Physics A590, 703-734 (1995). [27] J. Gasser and H. Leutwyler, Nucl. Phys. B250, 465-516 (1985). [28] T. Appelquist and C. Bernard, Phys. Rev D23, 425-438 (1981). [29] J. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. 122 (1961) 345. [30] D. Ebert and H. Reinhardt, Nucl. Phys. B271, 188-226 (1986). [31] A. A. Osipov and B. Hiller, Phys. Rev. D62, 114013 (2000), [arXiv:hep-ph/0007102]. [32] D. Diakonov, Lectures at the Enrico Fermi School in Physics, Varenna, June 27 - July
7 (1995), arXiv:hep-ph/9602375. [33] J.S. Schwinger, Phys. Rev. 82, 664 (1951). [34] P. Gilkey, J. Diff. Geom. 10, 295 (1975). [35] M. Atiyah, R. Bott and V.K. Patodi, Invent. Math. 19, 279 (1973). [36] S.W. Hawking, Commun. Math. Phys. 55, 133 (1977). [37] E. Elizalde et al., "Zeta Regularization Techniques with Applications", World Scien-
tific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, (1994). [38] K. Fujikawa, Phys. Rev. D21, 2848 (1980). [39] R.D. Ball, Phys. Rep. 182, 1 (1989).

BIBLIOGRAFIA

193

[40] M. Bordag, U. Mohideen and V.M. Mostepanenko, Phys. Rep. 353, 1 (2001), [arXiv:quant-ph/0106045].
[41] C. Garcia-Recio and L.L. Salcedo, Phys. Rev. D63, 045016 (2001), [arXiv:hepth/0007183].
[42] N. G. Pletnev and A. T. Banin, Phys. Rev. D60, 105017 (1999), [arXiv:hepth/9811031].
[43] E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Phys. Lett. B563, 173-178 (2003), [arXiv:hep-th/0212237].
[44] E. Megias, E. Ruiz Arriola, and L. L. Salcedo, Phys. Rev. D69, 116003 (2004), [arXiv:hep-ph/0312133].
[45] B.S. DeWitt, Phys. Rep. 19, 295 (1975).
[46] R.T. Seeley, Proc. Symp. Pure. Math. 10, 288 (1967).
[47] L. L. Salcedo, Eur. Phys. J. C37, 511 (2004), [arXiv:hep-th/0409140].
[48] A. E. M. van de Ven, Class. Quant. Grav. 15, 2311 (1998), [arXiv:hep-th/9708152].
[49] J. Wirstam, Phys. Rev. D65, 014020 (2001).
[50] C. Itzykson and J.B. Zuber, "Quantum Field Theory", McGraw-Hill, New York, (1980).
[51] P. Ramond, "Field Theory: A Modern Primer", Addison-Wesley, Reading, MA, 1990.
[52] I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik, "Table of Integrals, Series and Products", Academic Press, Inc., New York, USA, (1980).
[53] B.S. DeWitt, Phys. Rev. 162, 1195 (1967).
[54] J.P. Bornsen and A.E.M. van de Ven, Nucl. Phys. B657, 257-303 (2003).
[55] S. Chapman, Phys. Rev. D50 5308-5313 (1994).
[56] W. Pauli and F. Villars, Rev. Mod. Phys. 21, 434 (1949).
[57] A. Hasenfratz and P. Hasenfratz, Phys. Lett. B93, 165-169 (1980).
[58] A. Hasenfratz and P. Hasenfratz, Nucl. Phys. B193, 210-220 (1981).
[59] J. Collins, Renormalization", Cambridge University Press, Cambridge, UK, (1984).
[60] K. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen, and Y. Schroder, JHEP 04, 036 (2003), [arXiv:hep-ph/0304048].

194

BIBLIOGRAFIA

[61] P. H. Ginsparg, Nucl. Phys. B170, 388 (1980). [62] T. Appelquist and R. D. Pisarski, Phys. Rev. D23, 2305 (1981). [63] S. Nadkarni, Phys. Rev. D27, 917 (1983). [64] E. Braaten and A. Nieto, Phys. Rev. D53, 3421 (1996), [arXiv:hep-ph/9510408]. [65] M. E. Shaposhnikov, Finite temperature effective theories, (1996), arXiv:hep-
ph/9610247. [66] S. z. Huang and M. Lissia, Nucl. Phys. B438, 54 (1995), [arXiv:hep-ph/9411293]. [67] D. Diakonov and M. Oswald, Phys. Rev. D68, 025012 (2003). [68] S. Chapman, Phys. Rev. C47 1763-1780 (1993). [69] J. Kuti, J. Polonyi and K. Szlachanyi, Phys. Lett. B98, 199 (1981). [70] L. D. McLerran and B. Svetitsky, Phys. Rev. D24, 450 (1981). [71] A. M. Polyakov, Phys. Lett. B72, 477 (1978). [72] R. D. Pisarski, Phys. Rev. D62, 111501 (2000), [arXiv:hep-ph/0006205]. [73] A. D. Linde, Phys. Lett. B96, 289 (1980). [74] M. J. Lavelle and M. Schaden, Phys. Lett. B208, 297 (1988). [75] K. G. Chetyrkin, S. Narison, and V. I. Zakharov, Nucl. Phys. B550, 353 (1999),
[arXiv:hep-ph/9811275]. [76] K.-I. Kondo, Phys. Lett. B514, 335 (2001). [77] P. Boucaud et al., Phys. Rev. D63, 114003 (2001). [78] E. Ruiz Arriola, P. O. Bowman, and W. Broniowski, Phys. Rev. D70, 097505 (2004),
[arXiv:hep-ph/0408309]. [79] Ph. Boucaud et al., Phys. Rev. D74, 034505 (2006), [arXiv:hep-lat/0504017]. [80] K. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen, and Y. Schroder, Phys. Rev. Lett. 86, 10
(2001). [81] G. S. Bali, Phys. Rept. 343, 1 (2001), [arXiv:hep-ph/0001312]. [82] E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, JHEP 0601, 073 (2006), [arXiv:hep-
ph/0505215].

BIBLIOGRAFIA

195

[83] E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Phys. Rev. D75, 105019 (2007), [arXiv:hep-ph/0702055].
[84] A. M. Polyakov, Nucl. Phys. B164, 171 (1980).
[85] I. Y. Arefeva, Phys. Lett. B93, 347 (1980).
[86] V. S. Dotsenko and S. N. Vergeles, Nucl. Phys. B169, 527 (1980).
[87] J.-L. Gervais and A. Neveu, Nucl. Phys. B163, 189 (1980).
[88] J. Engels, J. Fingberg and M. Weber, Z. Phys. C41, 513 (1988).
[89] M. A. Shifman, Nucl. Phys. B173, 13 (1980).
[90] K.-i. Kondo and T. Imai, A confining string theory derivable from Yang-Mills theory due to a novel vacuum condensate, (2002), arXiv:hep-th/0206173.
[91] B. Beinlich, F. Karsch, E. Laermann and A. Peikert, Eur. Phys. J. C6, 133 (1999), [arXiv:hep-lat/9707023].
[92] F. Karsch, E. Laermann, and A. Peikert, Phys. Lett. B478, 447 (2000), [arXiv:heplat/0002003].
[93] M. Gockeler, R. Horsley, A. C. Irving, D. Pleiter, P. E. L. Rakow, G. Schierholz and H. Stuben, Phys. Rev. D73, 014513 (2006), [arXiv:hep-ph/0502212].
[94] A. Dumitru, Y. Hatta, J. Lenaghan, K. Orginos, and R. D. Pisarski, Phys. Rev. D70, 034511 (2004).
[95] F. Zantow, On the renormalization of the Polyakov loop, (2003), arXiv:heplat/0301014.
[96] K. Kajantie, M. Laine, K. Rummukainen, and Y. Schroder, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 119, 577 (2003).
[97] S. Necco and R. Sommer, Nucl. Phys. B622, 328-346 (2002), [arXiv:hep-lat/0108008].
[98] O. Kaczmarek, F. Karsch, F. Zantow, and P. Petreczky, Phys. Rev. D70, 074505 (2004).
[99] E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Phys. Rev. D74, 065005 (2006), [arXiv:hep-ph/0412308].
[100] E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Phys. Rev. D74, 114014 (2006), [arXiv:hep-ph/0607338].
[101] E. Ruiz Arriola and W. Broniowski, Phys. Rev. D67, 074021 (2003), [arXiv:hepph/0301202].

196

BIBLIOGRAFIA

[102] T. Eguchi, Phys. Rev D14, 2755-2763 (1976).
[103] R. Delbourgo and P.C. West, J. Phys, A10, 1049 (1977).
[104] K. Fukushima, Phys. Lett. B591, 277 (2004), [arXiv:hep-ph/0310121].
[105] D. Espriu, E. de Rafael and J. Taron, Nucl. Phys. B345, 22 (1990) [Erratum-ibid. B355, 278 (1991)].
[106] J. Bijnens, C. Bruno and E. de Rafael, Nucl. Phys. B390, 501 (1993), [arXiv:hepph/9206236].
[107] E. Ruiz Arriola, Phys. Lett. B253, 430-435 (1991).
[108] E. Megias, E. Ruiz Arriola, L. L. Salcedo and W. Broniowski, Phys. Rev. D70, 034031 (2004), [arXiv:hep-ph/0403139].
[109] E. Megias, E. Ruiz Arriola and L. L. Salcedo, Phys. Rev. D72, 014001 (2005), [arXiv:hep-ph/0504271].
[110] W. Florkowski and W. Broniowski, Phys. Lett. B386, 62-68 (1996).
[111] M. Oertel, M. Buballa and J. Wambach, Phys. Atom. Nucl. 64, 698 (2001) [Yad. Fiz. 64, 757 (2001)], [arXiv:hep-ph/0008131].
[112] M. Gross, Phys. Lett. B132, 125 (1983).
[113] J. Polonyi and K. Szlachanyi, Phys. Lett. B110 (1982) 395.
[114] P. N. Meisinger, T. R. Miller and M. C. Ogilvie, Phys. Rev. D65, 034009 (2002), [arXiv:hep-ph/0108009].
[115] P. N. Meisinger, M. C. Ogilvie and T. R. Miller, Phys. Lett. B585, 149 (2004), [arXiv:hep-ph/0312272].
[116] X.-D. Ji, Phys. Rev. D52, 271 (1995), [arXiv:hep-ph/9502213].
[117] J. F. Donoghue, J. Gasser and H. Leutwyler, Nucl. Phys. B343, 341 (1990).
[118] S. Caracciolo, G. Curci, P. Menotti and A. Pelissetto, Ann. Phys. 197, 119 (1990).
[119] R. T. Hammond, Rept. Prog. Phys. 65, 599 (2002).
[120] A. Manohar and H. Georgi, Nucl. Phys. B234, 189 (1984).
[121] M. A. Shifman, Phys. Rept. 209, 341 (1991).
[122] J. F. Donoghue and H. Leutwyler, Z. Phys. C52, 343 (1991).

BIBLIOGRAFIA

197

[123] N.D. Birrel and P.C.W. Davies, "Quantum Fields in Curved Space", Cambridge University Press, Cambridge, UK, (1982).
[124] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (John Wiley & Sons, New York, 1972).
[125] A. A. Andrianov, V. A. Andrianov and V. L. Yudichev, J. Math. Sci. 8, 142 (1998), [arXiv:hep-ph/0404166].
[126] G. Amoros, J. Bijnens and P. Talavera, Nucl. Phys. B602, 87 (2001), [arXiv:hepph/0101127].
[127] G. Ecker, J. Gasser, A. Pich and E. de Rafael, Nucl. Phys. B321 (1989) 311.
[128] J. Bijnens and P. Talavera, JHEP 0203 (2002) 046.
[129] B. Ananthanarayan, G. Colangelo, J. Gasser and H. Leutwyler, Phys. Rept. 353 (2001) 207, [arXiv:hep-ph/0005297].
[130] A. Pich, Colourless mesons in a polychromatic world, (2002), arXiv:hep-ph/0205030.
[131] G. V. Efimov and M. A. Ivanov, Int. J. Mod. Phys. A4 (1989) 2031.
[132] J. Wess and B. Zumino, Phys. Lett. B37 (1971) 95.
[133] E. Witten, Nucl. Phys. B223 (1983) 422.
[134] L. L. Salcedo and E. Ruiz Arriola, Ann. Phys. 259, (1996).
[135] J. Volmer et al. (The Jefferson Lab F(pi)), Phys. Rev. Lett. 86, 1713 (2001), [arXiv:nucl-ex/0010009].
[136] P. O. Bowman, U. M. Heller and A. G. Williams, Phys. Rev. D66, 014505 (2002), [arXiv:hep-lat/0203001].
[137] D. Toublan, Phys. Rev. D53, 6602 (1996) [Erratum-ibid. D57, 4495 (1998)]
[138] S. Peris, M. Perrottet and E. de Rafael, JHEP 9805 (1998) 011.
[139] J. Bijnens, E. Gamiz, E. Lipartia and J. Prades, JHEP 0304, 055 (2003), [arXiv:hepph/0304222].
[140] W. Broniowski, proc. of Hadron Physics: Effective theories of low-energy QCD, Coimbra, Portugal, September 1999, AIP Conference Proceedings 508 (1999) 380, eds. A. H. Blin and B. Hiller and M. C. Ruivo and C. A. Sousa and E. van Beveren, AIP, Melville, New York, [arXiv:hep-ph/9911204].
[141] A. E. Dorokhov and W. Broniowski, Eur. Phys. J. C32, 79 (2003), [arXiv:hepph/0305037].

198

BIBLIOGRAFIA

[142] J. R. Pelaez, Phys. Rev. Lett. 92, 102001 (2004), [arXiv:hep-ph/0309292]. [143] F. J. Gilman and H. Harari, Phys. Rev. 165, 1803 (1968). [144] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 1177. [145] G. Colangelo, J. Gasser and H. Leutwyler, Nucl. Phys. B603, 125 (2001). [146] J. Bijnens, G. Colangelo and P. Talavera, JHEP 9805, 014 (1998). [147] L. L. Salcedo, Nucl. Physics. B549, 98 (1999), [arXiv:hep-th/9802071]. [148] L. L. Salcedo, Eur. Phys. Journal C20, 147-159 (2001), [arXiv:hep-th/0012166]. [149] L. L. Salcedo, Eur. Phys. Journal C20, 161-184 (2001), [arXiv:hep-th/0012174].