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\hypersetup{%
  pdftitle={Notas sobre Control por computador, de Hilario Lopez},%
  % Note /XYZ takes three arguments, the X and Y offsets and the
  % zoom factor. Omitting these values breaks Distiller.
  pdfstartview={%
    XYZ \hypercalcbp{1in+\oddsidemargin-2mm} %
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            -\headheight-\headsep+2mm} %
        1%
  }%
}

% The numbering of the equations is done by the \tag command
% explicitly. Problematic is the equation environment, because
% it generates also an anchor named "equation.1". This would
% produce a lot of warnings. Changing equation to gather
% supresses the warnings. The links should work in both
% cases.
\let\equation\gather
\let\endequation\endgather

\newcommand{\fdt}{\hbox{f.d.t.\@}}

\newcommand{\pagina}[1]{\textsl{{\tiny \mbox{[#1]}}}}% << la del fichero grainger-stevenson.tex
\newcommand{\ingles}[1]{\emph{#1}}


\newcommand{\ojo}[1]{ }
%
% Crear una caja de texto con borde para destacar ciertos prrafos
%
\newcommand{\destacaP}[1]{ }


%
\begin{document}

\section{Diseo mediante sntesis directa}
Se calculan reguladores por el mtodo de Truxal.
\begin{itemize}
  \item Si el proceso tiene un tiempo muerto $d$, el sistema en cadena cerrada no puede
  tener un valor menor.
\begin{equation}\label{eq:SintesisDirectaGradosEnBucleCerrado}
  gr[L(z)] -gr[N(z)] \ge gr[A(z)]-gr[B(z)] \tag{2.14}
\end{equation}
  \item Se obtendr el mismo tiempo muerto  $d$, salvo que en el regulador $G_R$ se
  introduzca un nuevo retardo por tener ms ceros que polos.
  \item Los polos y ceros del proceso externos a la circunferencia unidad no se deben
  cancelar con los ceros y polos del regulador, por lo que dichos factores no pueden
  aparecer en $G_R(z)$.
  \item Asignacin de polos (del sistema en cadena cerrada).
  Permite especificar (en parte\footnote{Es debido a que los ceros que resulten del regulador
  pueden modificar la dinmica que hemos calculado mediante los polos. Habr que comprobar que
  su efecto es despreciable, que implica que los ceros deben ser poco significativos
  en comparacin con las races de $z^2+ \alpha \, z + \beta = 0$} (interesa por tanto que
  estn alejados de la circunferencia unidad).) la respuesta transitoria, a
  travs de un sistema de segundo orden, y poniendo el resto de los polos en $z=0$.
  \item Tiempo finito. Todos sus polos estn en el origen. Se caracterizan porque alcanzan
  el valor final de la respuesta ante una entrada dada en un tiempo finito,
  \textsc{sin oscilar la secuencia discreta}. En el caso de control en tiempo real, el
  sistema continuo si oscilara ligeramente. Se refiere a que aunque en los instantes de
  muestreo los valores sean los dados por el sistema discreto, el sistema continuo
  asociado podra tomar valores distintos entre los instantes de muestreo.
  \item Tiempo mnimo. Como los de tiempo finito, pero realizando \textsc{todas}
  las cancelaciones \textsc{posibles} (no se consideran posibles las de polos y ceros externos).
  \item Respuesta en permanente. Si se desea obtener error de posicin nulo y el proceso
  no posee un polo en $z=1$, entonces el regulador debe incluir un polo (por lo menos) en
  dicho punto. Tambin es necesario esto para eliminar el efecto sobre el permanente de
  las perturbaciones deterministas.
  \item Simplicidad. Interesa que el nmero de polos y ceros del regulador sea mnimo.
  Esta propiedad es opuesta a la minimizacin de $m$ (para obtener un sistema de tiempo mnimo).
\end{itemize}
\subsection{Mtodos de clculo}
\subsubsection{Mtodo de asignacin de polos} El transitorio puede venir especificado por
$M_p$, $n_p$, y $n_s$. Las frmulas aplicables son
\begin{align}\label{eq:AsignacionPolosFormulasParametrosTransitorio}
 n_p &= \frac{\pi}{\theta}        \tag{2.27} \\
 M_p &= |p|^{n_p}                 \tag{2.28} \\
 n_s &=  \frac{\pi}{\sigma}       \tag{2.29} \\
 |p| &= e^{-\sigma}               \tag{2.30}
\end{align}
La ecuacin caracterstica para realimentacin unitaria ($H=1$) es
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristica}
  1 + G_R(z) \, BG(z) = 0 \tag{2.32}
\end{equation}
o sea
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaFactorizada}
  1 + \frac{Q(z)}{P(z)} \, \frac{B(z)}{A(z)}  = 0 \tag{2.33}
\end{equation}
en la que se observa que puede haber factores que se anulen entre numerador de $G_R$ y
denominador de $G_P$, y viceversa. Operando, resultara que
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaNumerador}
 A(z) \, P(z) + B(z) \, Q(z)  = 0 \tag{2.34}
\end{equation}
%
Debe hacerse notar que si en la ec.
(\ref{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaFactorizada}) se hubiesen anulado factores
entre numerador y denominador, la ecuacin
(\ref{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaNumerador}) una vez simplificada sera del
estilo
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosEcuacionCaracteristicaNumeradorSimplificada}
 A'(z) \, P'(z) + B'(z) \, Q'(z)  = 0 \tag{2.34-bis}
\end{equation}
en la que  $A'(z)$ sera los polos de $A(z)$ que no se cancelan, $B'(z)$ los ceros del
proceso no cancelados (y que por tanto aparecern en la \fdt de cadena cerrada), y $P'(z)$
y $Q'(z)$ los polinomios que necesitamos calcular. El factor $Q'(z)$ no se deja como tal,
sino que se pone en funcin del polinomio $N(z)$, que es el numerador de la \fdt de cadena
cerrada. Para ello se hace uso de la propiedad que dice que los ceros en cadena cerrada
son los del sistema ms los del regulador (a menos que se hayan cancelado ceros del
proceso con polos del regulador).
%
La ecuacin que debemos plantear para hallar los coeficientes del regulador es
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosIdentificacionCoeficientes}
  z^m (z^2+ \alpha \, z + \beta) = A(z) \, P(z) + B(z) \, Q(z) \tag{2.35}
\end{equation}
%
La solucin es nica cuando se tengan tantas ecuaciones como incgnitas. Igualando grados,
se tiene que
\begin{equation}\label{eq:AsignacionPolosGradosPolinomios}
 m+2 = p+a \tag{2.36}
\end{equation}
y al aplicar la condicin (\ref{eq:SintesisDirectaGradosEnBucleCerrado}) a la ecuacin
(\ref{eq:AsignacionPolosIdentificacionCoeficientes}) resulta
\begin{equation}\label{AsignacionPolosCondicionGradosBucleCerrado}
  (m+2)-n \ge a-b \tag{2.38}
\end{equation}
\subsubsection{Mtodo de tiempo finito}
Todos los polos de cadena cerrada estn en el origen ($z=0$). En dichos sistemas, la
respuesta impulsional se puede obtener fcilmente como la secuencia formada por los
coeficientes de $\{b_0, b_1, b_2, \ldots \}$, que es la que resulta de multiplicar la \fdt
por $z^{-m}$, siendo $m$ en nmero de polos en cadena cerrada (todos en el origen). La
respuesta ante escaln se puede conseguir como suma de la secuencia impulsional:  $\{b_0,
b_0+b_1, b_0+b_1+b_2, \ldots \}$.
\ojo{Para los reguladores de tiempo finito, el nmero de muestras en el origen (valor
cero) coincide con el tiempo muerto, mientras que el nmero de muestras del transitorio
coincide con el nmero de ceros. Revisar\pagina{H26} Por que se consideran tres muestras
de transitorio, y no se cuenta la del origen ni la que marca el fin del transitorio, si en
un sistema continuo se contara todo el tiempo?}
\subsubsection{Mtodo de tiempo mnimo}
Se cancelan todos los polos y ceros de $BG(z)$ interiores a la circunferencia unidad.
\subsection{Mejora del rgimen permanente}
Para evitar errores en permanente, puede interesar poner una serie de polos en $z=1$, lo
que se traduce en que en el denominador del regulador habr un factor $(z-1)^i$, siendo
$G_R$, por tanto, de la forma
\begin{equation}\label{SintesisDirectaPolosEnZIgualAUno}
 G_R = \frac{Q(z)}{(z-1)^i \, P(z)} \tag{2.29}
\end{equation}
\subsection{Mejora del rgimen transitorio}
Pueden conseguirse respuestas menos bruscas (menor sobreoscilacin, etc.) dando ms tiempo
para que el sistema se estabilice, lo cual puede conseguirse aumentando $m$ en una unidad,
mientras se mantiene fijo $T_m$, por lo que tendremos un grado de libertad. Otra
posibilidad es poner un filtro entre la seal de consigna y la entrada al bucle de
realimentacin, de forma que ste perciba una variacin ms lenta de la seal de consigna
\pagina{28}.
\subsection{Notas acerca de los problemas propuestos}
\begin{itemize}
  \item Son interesantes los ejemplos para ver como se aplican en la prctica las
  ecuaciones del estilo a la (\ref{eq:AsignacionPolosIdentificacionCoeficientes}), sobre
  todo al clculo de los valores del grado $n$ y a la aplicacin correcta de la
  ecuacin (\ref{AsignacionPolosCondicionGradosBucleCerrado}).
  \item Al incluir integrador en el regulador, la sobreoscilacin tiende a aumentar\pagina{40}.
  \item Se indica un ejemplo donde se permite incrementar $m$ para obtener el grado de
  libertad que nos permita obtener menor sobreoscilacin. Tambin se hace uso del
  ``truco'' de poner el denominador $z^m$ en la forma $((z-1) + 1)^m$, por lo que haciendo
  el desarrollo del binomio de Newton, nos permite poner la \fdt de cadena cerrada como
  factores de $(z-1)^k$ en vez de $z^k$, lo que permite simplificar a la hora de igualar
  coeficientes, a la vez que garantizamos que no habr error en permanente, ya que $M(1) =
  1$.
  Hay que andarse con ojo si el factor $K$ que multiplica al proceso no es 1 (estando dicho
  proceso expresado en la forma de factores $K \cdot \prod (z-c_i)/\prod (z-p_j)$).
  En ese caso\pagina{45}, el factor $K$ aparecera multiplicando al cociente de polinomios
  que definen $M(z)$ y el coeficiente $n_0$ no sera 1, sino $1/K$. Un ejemplo de este
  caso, si se intenta resolver de esta forma, est en el examen del $1^{\textrm{er}}$ parcial
  del 25 de Marzo de 1999.
\end{itemize}
\ojo{Es cierto que si no se cancelan ceros del proceso, entonces se tiene que la seal de
control $u(k)$ tambin presenta un comportamiento de tiempo finito? De dnde se deduce
dicha propiedad?}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Algoritmos de diseo (I)}
\subsection{Algoritmos de tiempo finito (reguladores de Isermann)}
\begin{itemize}
  \item La funcin de transferencia en cadena cerrada no es preespecificada, sino que
  viene determinada como resultado del diseo. Todos los polos estarn en el origen.
  \item No se cancela ningn cero, pero s todos los polos.
  \item Se incluye integrador, que anula el error en permanente
  \item Son muy sencillos de calcular.
\end{itemize}
\subsection{Regulador de tiempo finito de orden normal}
La seal de control $u$ estar estabilizada tras $m$ periodos de muestreo, y la de salida
$y$ tras $m+d$, siendo $d$ el tiempo muerto del proceso.
\subsubsection{Para procesos con tiempo muerto %
  \texorpdfstring{$d=0$}{d=0}}
Los coeficientes resultantes para el
regulador son:
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalCoeficientesQCero}
  q_0 = \frac{1}{\sum b_i}  \tag{3.20a}
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalCoeficientesQi}
  q_i = q_0 \, a_i, \quad i=1,\ldots,m
        \quad \textrm{(adems $\sum q_i = u(m)$, por (3.12, H53))}\tag{3.20b}
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalCoeficientesPi}
  p_i = q_0 \, b_i, \quad i=1,\ldots,m
       \quad \textrm{(adems $\sum p_i = 1$, por (3.11))}\tag{3.20c}
\end{equation}
%
El regulador resultante ($d=0$) es
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalSinTiempoMuerto}
  G_R = \frac{Q(z^{-1}))}{1-P(z^{-1}))} =
  \frac{q_0 \, A(z^{-1})}{1-q_0 \, B(z^{-1})} \tag{3.21}
\end{equation}
El primer valor de la accin de control es
\begin{equation}\label{eq:IsermannTiempoFinitoOrdenNormalUCero}
  u(0) = q_0 = \frac{1}{\sum b_i} \tag{3.22}
\end{equation}


\end{document}

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| Oscar Fernandez Sierra                                                     |
| Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales de Gijon               |
| Departamento de Construccion e Ingenieria de Fabricacion                   |
| Campus de Viesques 33204 - Gijon (Spain)                                   |
|                                                                            |
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