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  !set email=$responsable_math_bts
<h1 class="program_head">Niveau math.bts
<br><font size="-1">
!href module=help/teacher/program.fr Autres niveaux
<br>(en cours de ralisation)
!!!href module= Toutes les ressources
</font>
</h1>
<div class="program_head">
<p class="program_petit">Tableau indicatif, sans garantie de conformit
au programme officiel <br>(dernire mise  jour :  2003-12-19)</p>
<p class="program_petit">Dernire mise  jour des exercices WIMS : 
2004-09-01</p>
</div>
<ul>
<li><a href="#0">Nombres complexes 1</a>

<ul><li><a href="#1"> Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#2">Nombres complexes 2</a>

<ul><li><a href="#3">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#4">Suites numriques 1</a>

<ul><li><a href="#5">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#6">Suites numriques 2</a>

<ul><li><a href="#7">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#8">Fonctions d'une variable relle</a>
<li><a href="#9">Calcul diffrentiel et intgral 1</a>

<ul><li><a href="#10">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#11">Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3</a>

<ul><li><a href="#12">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#13">Sries numriques et sries de Fourier</a>

<ul><li><a href="#14">Sries numriques</a>
<li><a href="#15">Sries absolument convergentes.</a>
<li><a href="#16">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#17">Analyse spectrale : transformation de Laplace</a>

<ul><li><a href="#18">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#19">Analyse spectrale : transformation en Z</a>

<ul><li><a href="#20">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#21">Equations diffrentielles</a>

<ul><li><a href="#22">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#23">Fonctions de deux ou trois variables relles</a>
<li><a href="#24">Analyse des phnomnes exponentiels</a>
<li><a href="#25">Calcul diffrentiel et intgral</a>

<ul><li><a href="#26">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#27">Modlisation gomtrique 1</a>

<ul><li><a href="#28"> Modle de Bzier</a>
<li><a href="#29">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#30">Modlisation gomtrique 2</a>

<ul><li><a href="#31">Modle de Bzier</a>
<li><a href="#32">Modle B-Spline</a>
<li><a href="#33">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#34">Calcul matriciel</a>

<ul><li><a href="#35">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#36">Algbre linaire</a>

<ul><li><a href="#37">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#38">Statistique descriptive</a>

<ul><li><a href="#39">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#40">Calcul des probabilits 1</a>

<ul><li><a href="#41">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#42">Calcul des probabilits 2</a>
<li><a href="#43">Statistique infrentielle</a>

<ul><li><a href="#44">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#45">Fiabilit</a>

<ul><li><a href="#46">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#47">Plans d'exprience</a>

<ul><li><a href="#48"></a>
<li><a href="#49">Travaux pratiques</a>

</ul><li><a href="#50">Calcul Vectoriel</a>
<li><a href="#51">Configurations gomtriques</a>
</ul><br>

<table border=1><tr>
<th bgcolor="#FF9900">Connaissances</th>
<th width="40%"bgcolor="#FFC066">Capacits</th></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="0"></a><div class="program_theme">Nombres complexes 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Dans cette brve tude, on insistera sur l'intervention des nombres
complexes en analyse (rsolution d'quations diffrentielles) et
sur leur utilisation en lectricit et en lectronique.

Sommes a + i b telles que i<sup>2</sup> = -1 : galit, somme,
produit, conjugu, inverse.
Reprsentation gomtrique.
Lignes de niveau des fonctions z ->  re(z) et z -> im(z).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La construction de C n'est pas au programme.
Les tudiants doivent connatre la notation x + j y, utilise en
lectricit.
Aucune connaissance sur les applications des nombres
complexes  la gomtrie n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=arg&+cmd=new  Argument
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=argask&+cmd=new  Argument demand
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=arggiven&+cmd=new  Argument donn
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=conj&+cmd=new  Conjugu
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=module&+cmd=new  Module
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H5/algebra/quizcomplex.fr&exo=reim&+cmd=new  Re et Im
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [Champs des activits]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Module d'un nombre complexe ; argument d'un nombre
complexe non nul.
Notation e<sup>i theta</sup> ; forme trigonomtrique z= r e<sup>i theta</sup> o
r &gt; 0.
Lignes de niveau des fonctions z -> |z - a|  et z -> Arg (z - a).
Passage de la forme algbrique  la forme trigonomtrique et
inversement.
Relation e<sup>i theta</sup>e<sup>i theta'</sup>=e<sup>i theta+theta'</sup> ;
lien avec les formules d'addition.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le reprage polaire r e<sup>i theta</sup>, o r est de signe
quelconque, est
hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=Trianglequilat&+cmd=new  Triangle quilatral
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=argask&+cmd=new  Argument demand
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=arggiven&+cmd=new  Argument donn
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=argsum&+cmd=new  Argument de somme
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=cbrt&+cmd=new  CBRT
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=cubrt&+cmd=new  Racine cubique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=eqmod&+cmd=new  Equation avec module
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=fraction&+cmd=new  Fraction
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=fraction2&+cmd=new  Fraction II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=maxmod&+cmd=new  Maximum de module
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=modmax&+cmd=new  Module maximal
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=modsum&+cmd=new  Module de somme
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=modsum2&+cmd=new  Module de somme II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=pentaroot&+cmd=new  Pentaroot
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=powerconj&+cmd=new  Puissance conjugue
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=pythagorus&+cmd=new  Pythagore
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=pythagorus2&+cmd=new  Pythagore II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=quadouble&+cmd=new  Quadratique racine double
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=quadouble2&+cmd=new  Quadratique racine double II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=quadpoly&+cmd=new  Racines d'un polynme quadratique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=rootcoef&+cmd=new  Racine et coefficients
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sqrt&+cmd=new  Racine carre
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=suminv&+cmd=new  Somme avec inverse
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sumofi&+cmd=new  Somme de i
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sumofj&+cmd=new  Somme de j
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=sumroot&+cmd=new  Somme de racines d'unit
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=tworoots&+cmd=new  Deux Racines
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/algebra/oefcomplex.fr&exo=tworoots2&+cmd=new  Deux Racines II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [Champs des activits]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Formule de Moivre. Formules d'Euler.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/algebra/doccomplex.fr&exo=&+cmd=intro  Nombres complexes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [Champs des activits]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="1"></a><div class="program_titre"> Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre des formules de Moivre et
d'Euler : linarisation de polynmes trigonomtriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Cette activit est  mener en liaison avec l'enseignement des
sciences physiques ; toute virtuosit en ce domaine est exclue ;
aucune connaissance  ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques et toutes les indications utiles
doivent tre fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/doccomplex.fr&exo=&+cmd=intro  Doc Nombres complexes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Rsolution des quations du second degr  coefficients
rels.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La rsolution d'quations  coefficients complexes et l'tude des
racines nimes d'un nombre complexe sont hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 1 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="2"></a><div class="program_theme">Nombres complexes 2</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Les premiers lments de l'tude des nombres complexes ont t mis en
place en premire et terminale technologique, en liaison
avec l'enseignement des sciences physiques. Les objectifs sont de mettre en
oeuvre et de complter cet acquis, d'une part pour fournir
des outils qui sont utiliss en lectricit, en mcanique et en automatique,
d'autre part pour mettre en vidence les interprtations
gomtriques et les interventions des nombres complexes en analyse : fonctions 
valeurs complexes et reprsentations gomtriques
associes, calcul intgral, rsolution d'quations diffrentielles.

Forme algbrique z = x + i y.
Reprsentation gomtrique.
Lignes de niveau des fonctions z -> re(z) et z -> im(z).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La construction de C n'est pas au programme.
Les tudiants doivent connatre la notation z = x + j y, utilise
en lectricit.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Module d'un nombre complexe ; argument d'un nombre
complexe non nul.
Notation e<sup>i theta</sup> ; forme trigonomtrique z = re<sup>i theta</sup> o
r &gt; 0.
Lignes de niveau des fonctions z -> |z - a|  et ) (Arg z -> |z - a|.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le reprage polaire r e<sup>i theta</sup>, o r est de signe
quelconque, est
hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Formule de Moivre. Formules d'Euler.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Transformations lmentaires : translation associe 
z -> z + b, similitude directe associe  z -> a z , symtrie
associe  z -> bar(z) , inversion complexe associe  1/z.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se bornera  l'tude de l'image d'une droite ou d'un cercle et
 la conservation de l'orthogonalit.
Pour l'inversion complexe, les cercles considrs passent par
l'origine ; l'inversion gomtrique est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [ Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="3"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Linarisation de polynmes trigonomtriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas d'un exposant suprieur ou gal  4, le rsultat sera
obtenu  l'aide d'un logiciel de calcul formel.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Rsolution des quations du second degr  coefficients
complexes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'tude systmatique des racines  n-imes  d'un nombre
complexe est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de transformations associes 
z -> az + b ou z-> (az + b)/(cz + d).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On donnera les indications permettant de ramener l'tude de
telles transformations  une succession de transformations
lmentaires figurant au programme. On se bornera aux images
de droites (ou de parties de droite) ou de cercles (ou d'arcs de
cercle).
On pourra faire le lien avec certains diagrammes de Nyquist
utiliss en lectronique.
On pourra galement tre amen  tudier d'autres exemples
simples de transformations, telles que celles associes  z -> z<sup>2</sup>
ou  (z+1/z)/2, en mettant en place les familles de
courbes orthogonales associes ; mais aucune connaissance  ce
sujet n'est exigible dans le cadre du programme de
mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Nombres complexes 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="4"></a><div class="program_theme">Suites numriques 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Les suites sont un outil indispensable pour l'tude des "phnomnes
discrets", et c'est  ce titre qu'elles font l'objet d'une initiation.
Aucune difficult thorique ne doit tre souleve  leur propos.
Le programme se place dans le cadre des suites dfinies pour tout entier naturel
ou pour tout entier naturel non nul.
Comportement global : suites croissantes, suites
dcroissantes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Langage des limites :
Limite des suites de terme gnral n, n<sup>2</sup>, n<sup>3</sup> , sqrt(n).
Limite des suites de terme gnral
1/n, 1/n<sup>2</sup>, 1/n<sup>3</sup> , 1/sqrt(n)
Introduction du symbole lim<sub>n->+oo</sub> u<sub>n</sub>
Si une fonction f admet une limite l en +infini, alors la suite
u<sub>n</sub> = f(n) converge vers l.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'tude des limites par (A, N) et par (epsilon,N) est hors
programme.
L'tude des suites de rfrence ci-contre et, plus largement,
des suites u<sub>n</sub> = f(n) est  mener en liaison troite avec celle
des fonctions correspondantes.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>noncs usuels sur les limites (admis).
Comparaison, compatibilit avec l'ordre.
Somme, produit, quotient.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces noncs sont calqus sur ceux relatifs aux fonctions. Il
n'y a pas lieu de s'attarder  leur prsentation : l'objectif est
d'apprendre aux tudiants  les mettre en oeuvre sur des
exemples simples.
Limite et comportements asymptotiques compars des suites
(ln n) ; a<sup>n</sup>, a rel strictement positif ; n<sup>p</sup>, p entier.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="5"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations relevant de suites
arithmtiques ou gomtriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilgiera les situations issues de la vie conomique et
sociale ou de la technologie.
Mis  part le cas des suites arithmtiques ou gomtriques,
l'tude d'une suite dfinie par son premier terme et une relation
de rcurrence u<sub>n+1</sub>=f(u<sub>n</sub>) est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude du comportement de suites de la forme
u<sub>n</sub> = f(n) (encadrement, monotonie, limite).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera  des cas simples.
Il s'agit notamment de pouvoir tudier et comparer, sur certains
modles mathmatiques, la tendance  long terme d'un
phnomne.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=2lim&+cmd=new  Deux limites
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=comp&+cmd=new  Comparaison de suites
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=crborn&+cmd=new  Croissance et borne
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=cvdiff&+cmd=new  Convergence et diffrence de termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=cvratio&+cmd=new  Convergence et rapport de termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=epsilon&+cmd=new  Epsilon
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=frac2&+cmd=new  Fraction 2 termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=frac3&+cmd=new  Fraction 3 termes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=frac3b&+cmd=new  Fraction 3 termes II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=growthcomp&+cmd=new  Comparaison de croissance
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=limtrig&+cmd=new  Limites : fonctions trigonomtriques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=monotony&+cmd=new  Monotonie I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=monotony2&+cmd=new  Monotonie II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=pow&+cmd=new  Puissances I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=pow2&+cmd=new  Puissances II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=recfn&+cmd=new  Fonction de rcurrence
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefseq.fr&exo=reclim&+cmd=new  Limite rcurrente
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=tool/analysis/animseq.fr&exo=&+cmd=intro  Suites animes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="6"></a><div class="program_theme">Suites numriques 2</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Comportement global : suites croissantes, suites
dcroissantes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p> Les suites sont un outil indispensable pour l'tude des "phnomnes
discrets", et c'est  ce titre qu'elles font l'objet d'une initiation.
Aucune difficult thorique ne doit tre souleve  leur propos.
Le programme se place dans le cadre des suites dfinies pour tout entier naturel
ou pour tout entier naturel non nul.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> noncs usuels sur les limites (admis).
Comparaison, compatibilit avec l'ordre.
Somme, produit, quotient.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Il s'agit d'un prolongement de l'tude d'une suite pour les
grandes valeurs de n, amorce en terminale technologique.
L'tude des limites par (A, N) et par (epsilon,N) est hors
programme.
Ces noncs sont calqus sur ceux relatifs aux fonctions. Il
n'y a pas lieu de s'attarder  leur prsentation : l'objectif est
d'apprendre aux tudiants  les mettre en oeuvre sur des
exemples simples.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Limite et comportements asymptotiques compars des suites
(ln n) ; a<sup>n</sup>, a rel strictement positif ; n<sup>p</sup>, p entier.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="7"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations relevant de suites arithmtiques
ou gomtriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilgiera les situations issues de la vie conomique et
sociale ou de la technologie.
Dans le cas de l'approximation d'une solution d'une
quation, on pourra tre amen  dfinir une suite par son
premier terme et une relation de rcurrence u<sub>n+1</sub>=f(u<sub>n</sub>) ;
mis  part le cas des suites arithmtiques ou gomtriques,
aucune connaissance sur de telles suites n'est exigible dans le
cadre du programme de mathmatiques, et toutes les
indications ncessaires doivent tre fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude du comportement de suites de la forme
u<sub>n</sub> = f(n) (encadrement, monotonie, limite).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera  des cas simples.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=tool/analysis/animseq.fr&exo=&+cmd=intro  Suites animes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de suites dfinies par une relation de la forme
u<sub>n+2</sub> = a u<sub>n+1</sub> +b u<sub>n</sub> et leurs deux premiers
termes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'tude de ce type de suite a pour objectif de prparer la
rsolution,  l'aide de la transformation en Z, de certaines
quations aux diffrences.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Suites numriques 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="8"></a><div class="program_theme">Fonctions d'une variable relle</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Le champ des fonctions tudies se limite aux fonctions
usuelles suivantes :</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se place dans le cadre des fonctions  valeurs relles ou complexes,
dfinies sur un intervalle de R, qui servent  modliser
mathmatiquement des "phnomnes continus". Les tudiants devront savoir traiter
les situations qui se prtent  une telle
modlisation.
On consolidera les acquis sur les fonctions en tenant compte, notamment sur les
limites, des programmes de mathmatiques suivis
antrieurement par les tudiants.
Ce module de programme numre les fonctions intervenant dans les autres modules
d'analyse, modules o figurent les rubriques de
travaux pratiques concernant ces fonctions.
En particulier dans l'ensemble de ces modules, on utilisera largement les moyens
informatiques (calculatrice, ordinateur), qui
permettent notamment de faciliter la comprhension d'un concept ou d'une mthode
en l'illustrant graphiquement, numriquement
ou dans un contexte li  la spcialit considre, sans tre limit par
d'ventuelles difficults techniques.
Les calculs  la main, ncessaires pour dvelopper la matrise des mthodes
figurant au programme, ont leur cadre dfini dans les
rubriques de travaux pratiques, le plus souvent dans la colonne de commentaires.

Les reprsentations graphiques doivent jouer un rle
important.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable relle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions en escalier, fonctions affines par morceaux,
fonction exponentielle t -> exp t  ou t -> e<sup>t</sup> , fonction
logarithme nprien t -> ln t , fonctions puissances t -> t<sup>a</sup>  o
a dans R, fonctions circulaires, fonctions qui se dduisent de
faon simple des prcdentes par oprations algbriques ou par
composition.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Selon les besoins des autres disciplines (chimie,
acoustique, ...), on pourra mentionner la fonction logarithme
dcimal x -> log x , mais aucune connaissance  ce sujet
n'est exigible dans le cadre du programme de
mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable relle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Comparaison des fonctions exponentielle, puissances et
logarithme au voisinage de +infini.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable relle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions circulaires rciproques ; on donnera leurs
drives.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La drivabilit de ces fonctions sera admise.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable relle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions t -> e<sup>it</sup> et t -> e<sup>at</sup> avec a dans C.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions d'une variable relle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="9"></a><div class="program_theme">Calcul diffrentiel et intgral 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Primitives
Dfinition. Deux primitives d'une mme fonction diffrent
d'une constante.
Primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau
des drives ; primitives des fonctions de la forme
x -> g'(ax + b), (exp g)g' et g<sup>a</sup> g' o a < &gt; -1,
g'/g o g est 
valeurs strictement positives.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le programme se place dans le cadre de fonctions  valeurs relles
dfinies et rgulires (c'est--dire admettant des drives  un
ordre quelconque) sur un intervalle I de R.
Il n'y a pas lieu de reprendre la prsentation du concept de drive. On
s'assurera que les tudiants connaissent les interprtations
gomtrique et cinmatique de la drive en un point.
On consolidera et on approfondira les acquis de terminale technologique sur la
pratique du calcul des drives.
Dans le cas de deux variables t et x lies par une relation fonctionnelle x =
f(t), on introduira la notation diffrentielle
df = f'(t) dt ; on donnera son interprtation graphique et on montrera l'intrt
de la diffrentielle pour les problmes
d'approximation. Aucune difficult ne doit tre souleve sur le statut
mathmatique de la notion de diffrentielle.
Le concept d'intgrale sera introduit sans soulever de problme thorique.

L'existence des primitives est admise.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intgrale
tant donn f et un couple (a, b) de points de I, le nombre
F(b) - F(a), o F est une primitive de f, est indpendant du
choix de F. On l'appelle intgrale de a  b de f et on le note
int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt.
Dans le cadre de fonctions positives, interprtation graphique
de l'intgrale  l'aide d'une aire.
tant donn un point a de I, la fonction x -> int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt est
l'unique primitive de f sur I prenant la valeur zro au point a.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune thorie sur la notion d'aire n'est au programme. On
admettra son existence et ses proprits lmentaires.
Les tudiants doivent connatre l'aire des domaines usuels :
rectangle, triangle, trapze.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Proprits de l'intgrale :
<ul><li> Relation de Chasles.
</li><li>Linarit.
</li><li>Positivit : si a &lt; b et f' &gt; 0, alors int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt >=0
;
intgration d'une ingalit.
</li><li>Ingalit de la moyenne : si a &lt; b et m <= f' <= M,
alors m(b - a) <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt <= M(b - a)
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Il conviendra d'interprter, chaque fois qu'il est possible, les
proprits de l'intgrale en termes d'aire.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="10"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi du calcul diffrentiel pour la recherche
d'extremums, l'tude du sens de variation et le trac des
reprsentations graphiques des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les exemples seront issus, le plus souvent possible, de l'tude
de phnomnes rencontrs en sciences physiques, en biologie,
en conomie ou en technologie.
On se limitera aux situations qui se ramnent au cas des
fonctions d'une seule variable.
Pour la dtermination d'une fonction, on pourra tre amen 
rsoudre un systme linaire par la mthode du pivot de Gauss.
Il convient de ne pas abuser des problmes centrs sur l'tude
traditionnelle de fonctions dfinies par une formule donne a
priori, dont on demande de tracer la courbe reprsentative.
Toute tude de branche infinie, notamment la mise en vidence
d'asymptote, devra comporter des indications sur la mthode 
suivre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/visgauss.fr&exo=&+cmd=intro  Gauss visuel
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'intgrales  l'aide de primitives.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les tudiants doivent savoir reconnatre si un exemple donn
de fonction est de l'une des formes figurant au programme.
Mis  part le cas de primitives de la forme prcdente, tout
calcul de primitive devra comporter des indications sur la
mthode  suivre.
On pourra montrer l'intrt d'exploiter les proprits des
fonctions priodiques, des fonctions paires et des fonctions
impaires, mais toute formule de changement de variable est
hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=basic&+cmd=new  Intgration de base
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=poly2&+cmd=new  Polynme de degr 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=poly3&+cmd=new  Polynme de degr 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=sincos1&+cmd=new  sin et cos I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/quizint.fr&exo=sincos2&+cmd=new  sin et cos II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'aires, de volumes, de valeurs
moyennes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra aussi, selon la spcialit, proposer des exemples de
dtermination de centres d'inertie, de calcul de moments
d'inertie et de calcul de valeurs efficaces.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre d'algorithmes d'approximation
d'une intgrale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'objectif est de familiariser les tudiants  un certain
savoir-faire
concernant quelques mthodes lmentaires (point-milieu,
trapzes), mais aucune connaissance sur ces mthodes n'est
exigible dans le cadre du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=approxint1&+cmd=new  Intgrale numrique (Riemann)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=approxint2&+cmd=new  Intgrale numrique (rectangles)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=approxint3&+cmd=new  Intgrale numrique (rectangles) 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=errtrapeze1&+cmd=new  Erreur borne trapze I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=errtrapeze2&+cmd=new  Erreur borne trapze II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=intnumadap&+cmd=new  Intgration numrique adapte
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=median&+cmd=new  Intgrale numrique (point mdian)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapetape&+cmd=new  Intgration numrique, erreur
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze&+cmd=new  Intgration numrique (trapze)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze0&+cmd=new  Trapze basique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze1&+cmd=new  Trapze et erreur I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapeze2&+cmd=new  Trapze et erreur II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapezecadre&+cmd=new  Trapze encadr
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapezeintru&+cmd=new  Trapze avec intrus
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefintnum.fr&exo=trapmed2&+cmd=new  Intgration numrique, erreur II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="11"></a><div class="program_theme">Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> tant donn f et un couple (a, b) de points de I, le nombre
F(b) - F(a), o F est une primitive de f, est indpendant du
choix de F. On l'appelle intgrale de a  b de f et on le note
int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt.
tant donn un point a de I, la fonction x -> int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt est
l'unique primitive de f sur I prenant la valeur zro au point a.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Proprits de l'intgrale :
<ul><li> Relation de Chasles.
</li><li>Linarit.
</li><li>Positivit : si a &lt; b et f' &gt; 0, alors int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t)
dt >=0 ;

intgration d'une ingalit.
|int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt | <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> |f(t)| dt
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Il conviendra d'interprter, chaque fois qu'il est possible, ces
proprits en termes d'aire.On ne soulvera aucune difficult thorique  propos
de
l'existence de l'intgrale int<sub>a</sub><sup>b</sup>| f (t)|dt.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Ingalit de la moyenne : si a &lt; b et m <= f' <= M,
alors m(b - a) <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt <= M(b - a)

de mme, si a <= b et si |f'| &lt; k, alors |f(b) - f(a)| <= k| b - a|.

Ingalit des accroissements finis :
si a &lt; b et si |f'| &lt; k, alors |f(b) - f(a)| <= k| b - a|.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les thormes d'existence (thorme de Rolle, formule des
accroissements finis) et la formule de Taylor sont hors
programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intgration par parties.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intgration par changement de variable.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On s'appuiera sur les exemples t -> t + b et t -> a t , o a et b
sont des nombres rels, qui donnent lieu  une interprtation
graphique, pour prsenter sans justification thorique d'autres
cas o le changement de variable est donn.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Illustration de l'emploi du calcul intgral pour l'obtention
de majorations et d'encadrements,  l'aide d'exemples.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera  des exemples trs simples et des indications
pour l'encadrement de la fonction  intgrer devront tre
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Emploi de majorations tayloriennes pour l'obtention du
dveloppement limit au voisinage de 0 de la fonction
t -> exp t.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le rsultat sera dmontr, jusqu' l'ordre 3.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Dveloppements limits des fonctions : t -> ln(1+ t) t -> (1 +
t)<sup>a</sup> o a dans R, t -> sin t  et t -> cos t.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces rsultats seront admis.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Drive et primitives d'une fonction  valeurs complexes. Pour ces
notions, on se limitera aux fonctions t -> e<sup>at</sup> ,
avec a dans C.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="12"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi du calcul diffrentiel pour la recherche
d'extremums, l'tude du sens de variation et le trac des
reprsentations graphiques des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les exemples seront issus, le plus souvent possible, de l'tude
de phnomnes rencontrs en sciences physiques, en biologie,
en conomie ou en technologie.
On se limitera aux situations qui se ramnent au cas des
fonctions d'une seule variable.
Pour la dtermination d'une fonction, on pourra tre amen 
rsoudre un systme linaire par la mthode du pivot de Gauss.
Il convient de ne pas abuser des problmes centrs sur l'tude
traditionnelle de fonctions dfinies par une formule donne a
priori, dont on demande de tracer la courbe reprsentative.
Toute tude sur le comportement asymptotique d'une fonction
devra comporter des indications sur la mthode  suivre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de trac de courbes planes dfinies par une
reprsentation paramtrique x = f(t), y = g(t).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilgiera les exemples lis aux autres enseignements
(mouvement d'un point, signaux lectriques, modlisation
gomtrique, ... ).
Les tudiants doivent savoir dterminer la tangente en un point
o le vecteur driv n'est pas nul.
Aucune connaissance sur l'tude des points singuliers et des
branches infinies n'est exigible dans le cadre du programme de
mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples d'emploi des dveloppements limits
pour l'tude locale des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les tudiants doivent savoir utiliser, sur des exemples simples
de dveloppements limits, les oprations addition,
multiplication et intgration.
Pour la composition, des indications sur la mthode  suivre
devront tre fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de recherche des solutions d'une quation
numrique, et de mise en oeuvre d'algorithmes d'approximation
d'une solution  l'aide de suites.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Sur des exemples, on mettra en oeuvre quelques mthodes
classiques : dichotomie, mthode de la corde (Lagrange),
mthode de la tangente (Newton).
Aucune connaissance spcifique sur celles-ci n'est exigible dans
le cadre du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul d'une primitive figurant au formulaire officiel ou s'en
dduisant par un changement de variable du type t -> t + b et
t -> a t .</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra montrer l'intrt d'exploiter dans le calcul intgral
les proprits des fonctions priodiques, des fonctions paires et
des fonctions impaires.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul d'une primitive d'une fonction rationnelle dans le cas
de ples simples.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas o il y a des ples multiples, des indications
doivent tre donnes sur la mthode  suivre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul d'une primitive d'une fonction exponentielle-polynme
(de la forme (t -> e<sup>at</sup>P(t)  o a est un nombre
complexe et o P est un polynme).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les tudiants devront savoir traiter les cas qui s'y ramnent
simplement par linarisation.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'intgrales.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Tout excs de technicit est  viter pour le calcul des
primitives.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'aires, de volumes, de valeurs
moyennes, de valeurs efficaces.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra aussi, selon la spcialit, proposer des exemples de
dtermination de centres d'inertie et de calcul de moments
d'inertie.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral 2 et 3 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre d'algorithmes
d'approximation d'une intgrale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'objectif est de familiariser les tudiants avec quelques
mthodes lmentaires (point-milieu, trapzes), mais aucune
connaissance sur ces mthodes n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="13"></a><div class="program_theme">Sries numriques et sries de Fourier</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="14"></a><div class="program_titre">Sries numriques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Dfinition de la convergence d'une srie  termes rels.
Convergence des sries gomtriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'tude de sries numriques trs simples, pralable  l'tude des sries
de Fourier, a pour objectif de permettre aux tudiants de se
familiariser avec les "sommes infinies" et la notation sigma. La plupart des
rsultats relatifs aux sries numriques pourront tre admis et
ne feront l'objet d'aucun dveloppement thorique.
La dcomposition de signaux priodiques en sries de Fourier est un outil
indispensable pour l'tude des phnomnes vibratoires en
lectricit, en optique ou en mcanique.

L'tude des sommes partielles d'une suite gomtrique permet
d'introduire la convergence et la divergence des sries
numriques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Sries numriques et sries de Fourier [Sries numriques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Sries  termes positifs.
Convergence des sries de Riemann.
Comparaison de deux sries dans le cas o u<sub>n</sub> &lt; v<sub>n</sub>.
Comparaison de deux sries dans le cas o u<sub>n</sub>  tilde v<sub>n</sub>.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La dfinition de deux suites quivalentes sera introduite  cette
occasion mais cette notion ne fera l'objet d'aucun
dveloppement thorique.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Sries numriques et sries de Fourier [Sries numriques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Rgle de d'Alembert.
 Convergence d'une srie alterne dont la valeur absolue du
terme gnral dcrot et tend vers 0.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=cauchyalemb&+cmd=new  Critres de d'Alembert et de Cauchy
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=devserie&+cmd=new  Dveloppement en srie entire
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=eqdiff1&+cmd=new  Equations diffrentielles 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=eqdiff2&+cmd=new  Equations diffrentielles 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=rayon&+cmd=new  Rayon de convergence
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=rayon2&+cmd=new  Rayon de convergence 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=series&+cmd=new  Sries entires (comparaison)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=series2&+cmd=new  Rayon de convergence (sries entires)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefseries.fr&exo=series3&+cmd=new  Sries entires (rayon de convergence)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="15"></a><div class="program_titre">Sries absolument convergentes.</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Sries de Fourier.
Coefficients de Fourier d'une fonction T-priodique
continue par morceaux et srie de Fourier d'une telle fonction.
Forme en cos(n omega t) et sin(n omega t) et forme exponentielle
exp(i n omega t).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En liaison avec l'enseignement des sciences physiques, il
conviendra de mettre en valeur le lien entre ces notions et
l'tude des signaux : composantes d'un signal dans une
frquence donne, reconstitution du signal  partir de ses
composantes.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier1&+cmd=new  Addition Fourier (amplitudes proches)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier2&+cmd=new  Addition Fourier (amplitudes diff.)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier3&+cmd=new  Addition Fourier en phase
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=addfourier4&+cmd=new  Addition Fourier (en phase ?) 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=croiss&+cmd=new  Ordre de dcroissance
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fourier&+cmd=new  Reconnaissance de graphes
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fourierhom&+cmd=new  Fourier : homothtie
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fourierparite&+cmd=new  Fourier : parit
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=fouriertransl&+cmd=new  Fourier : translation
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=pertubfourier&+cmd=new  Reconnaissance de graphes (priode)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=sincosfourier&+cmd=new  Reprsentation de fonctions priodiques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=spectrecreneau&+cmd=new  Spectre de Fourier crneau
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffourier.fr&exo=spectretriangle&+cmd=new  Spectre de Fourier (triangle)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Sries numriques et sries de Fourier [Sries absolument convergentes.]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Convergence (admise) lorsque f est de classe C<sup>1</sup> par
morceaux (conditions de Dirichlet).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Formule de Parseval (admise) donnant int<sub>0</sub><sup>T</sup>
|f(t)|<sup>2</sup> dt (en
fonction des coefficients de Fourier, lorsque f est continue par
morceaux.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La formule de Parseval est  mettre en relation avec le calcul de
l'nergie  partir des composantes.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="16"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples d'tude de sries numriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Tout excs de technicit est  viter.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Sries numriques et sries de Fourier [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Recherche de dveloppements en srie de Fourier de
fonctions priodiques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera  des exemples simples et on exploitera des
situations issues de l'lectricit, de l'lectronique ou de la
mcanique.
Aucune difficult ne doit tre souleve sur la convergence des
sries de Fourier en dehors des hypothses indiques par le
programme.
Toutes les indications utiles pour la vrification des conditions
de Dirichlet seront donnes.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Sries numriques et sries de Fourier [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Utilisation du dveloppement en srie de Fourier d'une
fonction priodique pour calculer la somme d'une srie
numrique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Sries numriques et sries de Fourier [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="17"></a><div class="program_theme">Analyse spectrale : transformation de Laplace</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Transformation de Laplace :
On donnera quelques notions sur les intgrales impropres, en
particulier sur la convergence d'une intgrale de la forme
int<sub>a</sub><sup>+oo</sup> g(t) dt.
Dfinition de la transformation de Laplace :
Lf(p)= int<sub>0</sub><sup>+oo</sup> f(t) e<sup> -pt</sup> dt, o p est dans R.
L'tude de la convergence des intgrales impropres donnes
a priori n'est pas un objectif de la formation.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce module sera tudi en liaison troite avec les enseignements des
autres disciplines. Le programme se borne  la transformation de Laplace des
fonctions nulles sur ]-oo, 0[ (fonctions causales). Dans le cas d'une
fonction dfinie sur R, on transforme donc la fonction t -> U(t) f(t) , o u
dsigne l'chelon unit. On s'intressera essentiellement aux combinaisons
linaires  coefficients rels ou complexes de fonctions de la forme
t->U(t-a)e<sup>rt</sup> , o a est un rel positif, n un entier positif et r un
nombre complexe.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Linarit.
Transforme de Laplace d'une drive et d'une primitive.
Effet d'une translation ou d'un changement d'chelle sur la
variable.
Effet de la multiplication par e<sup>-at</sup>.
Transforme de Laplace des fonctions constantes et des
fonctions exponentielles t -> e<sup>at</sup> , o a est dans C.
Drive d'une transforme de Laplace (admis).
Thormes de la valeur initiale et de la valeur finale (admis).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En relation avec l'enseignement de l'lectronique et de la
rgulation, on indiquera :
que les proprits de la transformation de Laplace
s'tendent au cas o p est complexe ;
comment l'impulsion unit delta peut tre considre comme
obtenue par passage  la limite de fonctions f<sub>n</sub>, et qu'en
tudiant la limite de L(f<sub>n</sub>) on est amen  dire que
L(delta)= 1.
Toutefois, aucune connaissance sur ces points n'est exigible
dans le cadre du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul oprationnel :
Approche des notions de fonctions de transfert et de calcul
oprationnel.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les seules connaissances exigibles sur le calcul
oprationnel portent sur le cas des fonctions rationnelles,
combines avec un facteur de retard ventuel.
Sur ces exemples, on pourra mettre en vidence
l'importance de la notion de stabilit, mais les critres
gnraux de stabilit sont hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="18"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Recherche de la transforme de Laplace d'une fonction
donne ou recherche d'une fonction dont la transforme de
Laplace est donne.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera au cas o les fonctions donnes ou recherches
sont des combinaisons linaires  coefficients rels ou
complexes de fonctions de la forme t ->U(t-a)t<sup>n</sup>e<sup>rt</sup> o a
est un nombre rel positif, n un nombre entier positif et r un
nombre complexe.
On habituera les tudiants  utiliser des transformations
gomtriques simples (translation, symtrie orthogonale) et des
proprits figurant dans le formulaire pour obtenir sans calcul
la transforme d'une fonction donne ou rechercher une
fonction dont la transforme de Laplace est donne.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Rsolution  l'aide de la transformation de Laplace des
quations diffrentielles linaires d'ordre 1 ou 2 
coefficients constants.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera pour le second membre aux fonctions du TP 1.
On insistera sur des exemples o la transforme de Laplace
prsente un intrt, par exemple lorsque le second membre est
t -> (t + 1) U(t) - t U(t-1)  ; en revanche il est parfois peu
judicieux de l'utiliser lorsque le second membre est, par
exemple, la fonction t -> (t + 1) U( t).</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi de la transformation de Laplace
pour la rsolution de systmes diffrentiels linaires d'ordre
1  coefficients constants</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera pour le second membre aux fonctions
exponentielles-polynmes ) (t -> e<sup>at</sup>P(t)  o a est dans C.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi de la transformation de Laplace
pour la rsolution d'quations diffrentielles du type :
a y'(t) +by(t) +c int<sub>0</sub><sup>t</sup>y(u) du = f(t) o a, b et c sont
des
constantes relles.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera pour le second membre aux fonctions du TP1.
Dans le cas o a = 0, on fera remarquer que t -> y(t)  peut
prsenter des discontinuits.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation de Laplace [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="19"></a><div class="program_theme">Analyse spectrale : transformation en Z</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Notions sur les sries entires
Application de la formule de Taylor avec reste intgral pour
l'obtention de dveloppements en sries entires (fonctions
t -> exp t , t -> (1 + t)<sup>a</sup> o a dans R, t -> sin t  et t -> cos t  ).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce module sera tudi en liaison troite avec les enseignements des
autres disciplines, notamment parce que le traitement numrique
du signal et les techniques d'chantillonnage d'un signal analogique (traitement
numrique, restitution analogique) voluent trs
rapidement sous l'impulsion des nouvelles technologies.
Dans ce module, on se propose de familiariser les tudiants aux phnomnes
discrets par la prsentation de quelques signaux
discrets et de leur transformation en Z, en se limitant  des signaux causaux.
Cette prsentation sera complte par l'tude de la
rponse  des signaux discrets, de filtres numriques rgis par une quation aux
diffrences linaires  coefficients constants.
L'introduction des sries entires a pour seul but la prsentation des rsultats
utiles pour l'tude de la transformation en Z.

La thorie gnrale des sries entires est hors programme.
L'existence du rayon de convergence est admise</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Transformation en Z
Dfinition de la transforme en Z pour un signal causal :
L(x)(z)= sum<sub>n=0</sub><sup> +oo</sup> x(n) z<sup>-n</sup> o z est dans C et
n dans N.
Transforme des signaux usuels :
n -> 1 ; ) n -> d(n)  (d(0) = 1 et d(n) = 0 si n est diffrent de 0) ;
n -> n  ; n -> n<sup>2</sup>  ; n -> a<sup>n</sup>  avec a rel non nul.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En liaison avec les enseignements d'autres disciplines, on
pourra donner la dfinition de la transforme en Z pour un
signal non causal :
L(x)(z)= sum<sub>-oo</sub><sup> +oo</sup> x(k) z<sup>-k</sup>
o z est dans C et k dans Z ;
mais aucune connaissance  ce sujet n'est exigible dans le
cadre du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Linarit de la transformation en Z.
Effet de la multiplication par a<sup>n</sup> (a rel non nul).
Effet d'une translation sur la variable pour un signal causal.
Thorme de la valeur initiale pour un signal causal.
Thorme de la valeur finale (admis) pour un signal causal.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En relation avec les enseignements d'autres disciplines, on
pourra donner la dfinition du produit de convolution, pour
permettre de dfinir la notion de fonction de transfert d'un
filtre discret, mais aucune connaissance  ce sujet n'est
exigible dans le cadre du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="20"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples de recherche de la transforme en Z d'un
signal discret et de recherche d'un signal dont la transforme en
Z est donne.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera aux cas o le formulaire officiel permet de
conclure.
Pour la recherche de l'original, on donnera des indications
sur la mthode  utiliser, en particulier sur l'expression 
dcomposer en lments simples.
En utilisant la division des polynmes, on peut crire
Lx(z) sous forme d'une srie de puissances en z<sup>-n</sup>. On
remarquera donc qu'il est ais de vrifier (ou d'obtenir)
x(n) pour les petites valeurs de n ; les moyens
informatiques permettent de dterminer x(n) pour d'autres
valeurs de n.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi de la transformation en Z pour la
rsolution d'quations rcurrentes du type :
ay(n) + by(n-1) + cy(n-2)= a<sub>1</sub> x(n) + b<sub>1</sub> x(n-1)
ou ay(n+2) + by(n+1) + cy(n)= a<sub>1</sub> x(n+1) + b<sub>1</sub> x(n)
o a, b, c, a<sub>1</sub>, b<sub>1</sub> sont des nombres rels, o x est un
signal
causal discret connu et o y est un signal causal discret
inconnu.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Pour la recherche de l'original, on se rfrera aux
commentaires du TP1.
En liaison avec les enseignements d'autres disciplines, on
pourra montrer sur des exemples simples comment certaines
de ces quations s'interprtent en terme de "drivation
discrte et d'intgration discrte", mais aucune
connaissance  ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Analyse spectrale : transformation en Z [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="21"></a><div class="program_theme">Equations diffrentielles</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Rsolution des quations linaires du premier ordre
a(t)x'(t) + b(t) x(t) = c(t).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On s'attachera  relier les exemples tudis avec les enseignements de
physique, mcanique et technologie, en faisant saisir
l'importance de l'tude de phnomnes continus dfinis par une loi d'volution
et une condition initiale, et en faisant ressortir la
signification ou l'importance de certains paramtres ou phnomnes : stabilit,
oscillation, amortissement, frquences propres,
rsonance,...

On se placera dans le cas o a, b, c sont des fonctions
drivables  valeurs relles et on cherchera les solutions sur
un intervalle o a ne s'annule pas.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1I&+cmd=new  Ordre 1 I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1II&+cmd=new  Ordre 1 II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1III&+cmd=new  Ordre 1 III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1gnral&+cmd=new  Ordre 1 gnral
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI&+cmd=new  Ordre 1 homogne I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI2&+cmd=new  Ordre 1 homogne II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg&+cmd=new  Ordre 1 homogne graphique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg2&+cmd=new  Ordre 1 homogne gnral
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Problme1&+cmd=new  Problme 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Rsolution des quations linaires du second ordre 
coefficients rels constants, dont le second membre est une
fonction exponentielle-polynme t -> e<sup>at</sup>P(t) , o a dans C.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="22"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Rsolution d'quations diffrentielles linaires du premier
ordre.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Rsolution d'quations diffrentielles linaires du second
ordre.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Pour les TP
<ul><li> il s'agit uniquement d'quations diffrentielles dont le
type est prcis ci-dessus ;</li><li>
 toutes les indications permettant d'obtenir une solution
particulire seront donnes.
</li></ul></td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=coeff2const1&+cmd=new  Coefficients ordre 2 I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=coeff2const2&+cmd=new  Coefficients ordre 2 II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=coeff2const3&+cmd=new  Coefficients ordre 2 III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homegen2ci&+cmd=new  Homogne ordre 2 CI
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen21&+cmd=new  Homogne ordre 2 type I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen22&+cmd=new  Homogne ordre 2 type II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen23&+cmd=new  Homogne ordre 2 type III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen24&+cmd=new  Homogne ordre 2 type IV
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen2m&+cmd=new  Homogne ordre 2 type mixte
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=homogen2step&+cmd=new  Homogne ordre 2 par tape
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=limsol2&+cmd=new  Limite de solution O2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=polysol1&+cmd=new  Solution polynomiale ordre 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=polysol2&+cmd=new  Solution polynomiale ordre 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=polysol3&+cmd=new  Solution polynomiale ordre 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/oefode.fr&exo=rootsol2&+cmd=new  Racines de solution O2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Equations diffrentielles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples simples de rsolution d'quations diffrentielles
non linaires, du premier ordre  variables sparables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilgiera les exemples issus de la cintique chimique.
Aucune connaissance sur ce TP n'est exigible dans le cadre
du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/analysis/coinc_eqdif.fr&exo=Coinc_EqDif&+cmd=new  
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/analysis/graphode.fr&exo=&+cmd=intro  EDO graphique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Equations diffrentielles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="23"></a><div class="program_theme">Fonctions de deux ou trois variables relles</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de drives partielles.
Calcul de la drive d'une fonction dfinie par une quation
implicite f(x,y) = 0.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur ce module n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques ; les notions qu'il contient sont 
tudier en liaison troite avec l'enseignement de la physique, de la mcanique,
de la technologie ou de l'conomie.

On donnera aussi la notation diffrentielle et son
interprtation en termes d'effet sur la valeur d'une fonction
de petits accroissements des variables.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=approxlin&+cmd=new  Approximation linaire
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=approxlin2&+cmd=new  Approximation linaire 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=derpart&+cmd=new  Drives partielles 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=derpart2&+cmd=new  Drives partielles 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=varboite1&+cmd=new  Variation d'une bote II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=varboite2&+cmd=new  Variation d'une bote II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oeffonct2.fr&exo=varresist&+cmd=new  Variation de rsistances I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions de deux ou trois variables relles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Brves notions sur le gradient et le laplacien d'une fonction
de trois variables, la divergence et le rotationnel d'un champ de
vecteurs (en dimension trois).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces notions interviennent en particulier en
thermodynamique.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=gradient&+cmd=new  Gradient I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=gradient2&+cmd=new  Gradient II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=isoadia&+cmd=new  Isothermes et adiabatiques
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgrad.fr&exo=pente&+cmd=new  Pente et gradient
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefgreen.fr&exo=champrot&+cmd=new  Champ, rotationnel
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefchamp.fr&exo=graddivrot1&+cmd=new  Divergence, rotationnel, gradient
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefchamp.fr&exo=graddivrot2&+cmd=new  Divergence, rotationnel, gradient 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions de deux ou trois variables relles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples trs simples de calcul d'intgrales doubles et
triples en coordonnes cartsiennes ou cylindriques,
ventuellement sphriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On admettra tous les rsultats utiles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fonctions de deux ou trois variables relles [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="24"></a><div class="program_theme">Analyse des phnomnes exponentiels</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Fonctions d'une variable relle</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se place dans le cadre des fonctions  valeurs relles, dfinies
sur un intervalle de R, qui servent  modliser mathmatiquement
des "phnomnes continus". Les tudiants devront savoir traiter les situations
qui se prtent  une telle modlisation.
On consolidera les acquis sur les fonctions en tenant compte, notamment sur les
limites, des programmes de mathmatiques suivis
antrieurement par les tudiants.
Ce paragraphe numre les fonctions intervenant notamment en calcul diffrentiel
et intgral.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Le champ des fonctions tudies se limite aux fonctions
usuelles (fonctions en escalier, fonctions affines par morceaux,
fonction exponentielle t -> exp t  ou t -> e<sup>t</sup> , fonction
logarithme nprien t -> ln t , fonctions puissances t -> t<sup>a</sup>  o
a est dans R) et  celles qui s'en dduisent de faon simple par
oprations algbriques ou par composition.
Comparaison des fonctions exponentielle, puissances et
logarithme au voisinage de +infini.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les reprsentations graphiques doivent jouer un rle
important.
On pourra en particulier tudier des fonctions du type
t -> A/(1 + e<sup>a-bt</sup>)
 utilises pour modliser certains phnomnes conomiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="25"></a><div class="program_theme">Calcul diffrentiel et intgral</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Drives et intgrales.
 tant donn un point a de I et une fonction f drivable sur I,
la fonction t -> int<sub>a</sub><sup>t</sup> f(t) dt est l'unique primitive de f
sur I
prenant la valeur zro au point a.
Proprits de l'intgrale :
Relation de Chasles.
Linarit.
Positivit : Positivit : si a &lt; b et f' &gt; 0, alors int<sub>a</sub><sup>b</sup>
f(t) dt >=0
;
intgration d'une ingalit.
</ul><li>Ingalit de la moyenne : si a &lt; b et m <= f' <= M,
alors m(b - a) <= int<sub>a</sub><sup>b</sup> f(t) dt <= M(b - a)
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Il conviendra d'interprter, chaque fois qu'il est possible, ces
proprits en termes d'aire.

 Intgration par parties.

Intgration par changement de variable du type t -> t + b
ou t -> at.
Tout autre changement de variable est hors programme.

Exemples d'emploi du calcul intgral pour l'obtention de
majorations et d'encadrements.
On se limitera  des exemples trs simples et des indications
pour l'encadrement de la fonction  intgrer devront tre
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> quations diffrentielles.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On s'attachera  relier les exemples tudis avec les enseignements
de l'conomie en faisant ressortir l'importance de l'tude de
phnomnes continus dfinis par une loi d'volution et une condition initiale.
Rsolution des quations linaires du premier ordre 
coefficients constants a x'(t)+b x(t) = c(t) o a et b sont des
rels et c une fonction drivable  valeurs relles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1I&+cmd=new  Ordre 1 I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1II&+cmd=new  Ordre 1 II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1III&+cmd=new  Ordre 1 III
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1gnral&+cmd=new  Ordre 1 gnral
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI&+cmd=new  Ordre 1 homogne I
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneI2&+cmd=new  Ordre 1 homogne II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg&+cmd=new  Ordre 1 homogne graphique
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Ordre1homogneg2&+cmd=new  Ordre 1 homogne gnral
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=H6/analysis/oefeqdif1.fr&exo=Problme1&+cmd=new  Problme 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Notions sur les fonctions numriques de deux variables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur ce paragraphe n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques ; les notions qu'il contient
sont  tudier en liaison troite avec l'enseignement de l'conomie et de la
gestion. Elles portent principalement sur le calcul de
drives partielles et de la drive d'une fonction dfinie par une quation
implicite f(x,y) = 0. On donnera aussi la notation
diffrentielle et son interprtation en termes d'effet sur la valeur d'une
fonction de petits accroissements des variables.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Suites arithmtiques et suites gomtriques.
Limite d'une suite gomtrique k<sup>n</sup>, o k est strictement
positif.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les suites arithmtiques et les suites gomtriques sont des outils
indispensables pour l'tude de nombreux phnomnes discrets
intervenant en conomie et c'est  ce titre qu'elles font l'objet d'une
consolidation des acquis et d'un approfondissement. Les
suites considres sont dfinies pour tout entier naturel.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Limite d'une suite gomtrique k<sup>n</sup>, o k est strictement
positif.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les noncs concernant les oprations algbriques tant
entirement analogues pour les suites et les fonctions, il n'y
a pas lieu de s'attarder au cas des suites ; ainsi, par
exemple, on dduit immdiatement la limite d'une suite (a k<sup>n</sup> + b) o
a, b et k sont des constantes (k &gt; 0), de la
limite de la suite (k<sup>n</sup>).
Il s'agit, sans soulever de difficult thorique, de pouvoir
tudier et comparer, sur certains modles mathmatiques, la
tendance  long terme d'un phnomne.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="26"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'emploi du calcul diffrentiel pour la recherche
d'extremums, l'tude du sens de variation et le trac des
reprsentations graphiques des fonctions.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les exemples seront issus, le plus souvent possible, de l'tude
de phnomnes rencontrs en conomie.
On se limitera aux situations qui se ramnent au cas des
fonctions d'une seule variable.
Pour la dtermination d'une fonction, on pourra tre amen 
rsoudre un systme linaire par la mthode du pivot de Gauss.
Il convient de ne pas abuser des problmes centrs sur l'tude
traditionnelle de fonctions dfinies par une formule donne a
priori, dont on demande de tracer la courbe reprsentative.
"Toute tude de branche infinie, notamment la mise en
vidence d'asymptote, devra comporter des indications sur la
mthode  suivre."</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de recherche par approximation des solutions
d'une quation numrique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Sur des exemples, on mettra en oeuvre quelques mthodes
classiques : dichotomie, mthode de la corde (Lagrange),
mthode de la tangente (Newton).
Aucune connaissance spcifique sur celles-ci n'est exigible dans
le cadre du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de calcul d'intgrales  l'aide de primitives. Les tudiants
doivent savoir reconnatre si un exemple donn
de fonction est de l'une des formes figurant au programme.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Mis  part le cas de primitives de la forme prcdente, tout
calcul de primitive devra comporter des indications sur la
mthode  suivre.
On pourra montrer l'intrt d'exploiter les proprits des
fonctions priodiques, des fonctions paires et des fonctions
impaires.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de rsolution d'quations diffrentielles linaires
du premier ordre.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas d'un second membre non nul, toutes les indications
permettant d'obtenir une solution particulire seront donnes.
On insistera sur les exemples intervenant en conomie et en
dmographie, et notamment sur le cas des phnomnes
exponentiels continus, dcrits par une quation du type y' = ay,
o a est constant.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations conduisant  des suites
arithmtiques ou gomtriques.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On privilgiera les situations issues de la vie conomique et
sociale.
En liaison avec l'conomie et la gestion, on pourra tre amen
 tudier des situations conduisant  des suites dfinies par leur
premier terme et une relation du type u<sub>n+1</sub> = a u<sub>n</sub> + b ;
mais
toutes les indications utiles devront tre fournies pour se
ramener  l'tude d'une suite gomtrique.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul diffrentiel et intgral [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="27"></a><div class="program_theme">Modlisation gomtrique 1</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="28"></a><div class="program_titre"> Modle de Bzier</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Prsentation du modle par vecteurs et contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 1 [ Modle de Bzier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Prsentation du modle par points de dfinition et
polynmes de Bernstein.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Certaines proprits des polynmes de Bernstein seront
tudies pour prouver que la courbe de Bezier ne dpend pas
du repre choisi et pour analyser la forme de la courbe.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 1 [ Modle de Bzier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Prsentation du modle par une suite de vecteurs.
Construction gomtrique d'un point de la courbe.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 1 [ Modle de Bzier]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="29"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bzier dfinies par vecteurs et
contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bzier dfinies par points de
dfinition et polynmes de Bernstein.
On pourra donner des exemples de passage du degr 2 au
degr 3 en utilisant deux fois le point intermdiaire.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bzier dfinies par une suite de
vecteurs.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de formes ralises par jonction d'arcs de
courbes de Bzier.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Ce sera l'occasion de passer du modle de Bzier qui
dforme globalement l'arc  une utilisation o l'on peut
modifier localement chaque arc.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="30"></a><div class="program_theme">Modlisation gomtrique 2</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="31"></a><div class="program_titre">Modle de Bzier</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Prsentation du modle par vecteurs et contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Un algorithme sera propos donnant l'arc de courbe joignant
deux points lorsque les tangentes  la courbe en ces points sont
donnes (degr 2 ou 3 seulement).</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Modle de Bzier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Prsentation du modle par points de dfinition et
polynmes de Bernstein.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Certaines proprits des polynmes de Bernstein seront
tudies pour prouver que la courbe de Bezier ne dpend pas
du repre choisi et pour tudier la forme de la courbe.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Modle de Bzier]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Prsentation du modle par une suite de vecteurs.
Algorithmes associs.
Construction gomtrique d'un point de la courbe.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les algorithmes itratif et rcursif seront explicits.
La construction gomtrique par barycentres successifs pourra,
de plus, mettre en oeuvre le trac de la tangente en un point  la
courbe (proprit admise)</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Modle de Bzier]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="32"></a><div class="program_titre">Modle B-Spline</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Prsentation de courbes B-Splines obtenues  partir des
polynmes de Riesenfeld et de points de dfinition (degr 2
ou 3).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La dtermination de ces polynmes pourra tre ralise, mais
aucune connaissance  ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Modle B-Spline]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> En utilisant la dfinition rcursive de Cox et de De Boor,
dtermination de fonctions B-Splines  partir d'un vecteur
noeud sans multiplicit puis de courbes B-Splines utilisant ces
fonctions et des points de dfinition.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Dans le cas d'un vecteur noeud tel que (0,1,2,3), on dterminera
les fonctions B-Splines ; sinon ces fonctions seront fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Modle B-Spline]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="33"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bzier dfinies par vecteurs et
contraintes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bzier dfinies par points de
dfinition et polynmes de Bernstein.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On pourra donner des exemples de passage du degr 2 au
degr 3 en utilisant deux fois le point intermdiaire.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes de Bzier dfinies par une suite de
vecteurs.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de formes ralises par jonction d'arcs de
courbes de Bzier.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Ce sera l'occasion de passer du modle de Bzier qui
dforme globalement l'arc  une utilisation o l'on peut
modifier localement chaque arc.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes B-Splines issues des polynmes de
Riesenfeld.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de courbes B-Splines issues de la dfinition
rcursive de Cox et de De Boor.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Modlisation gomtrique 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="34"></a><div class="program_theme">Calcul matriciel</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Matrices.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Une matrice est introduite comme un tableau de nombres
permettant de reprsenter une situation comportant plusieurs
"entres" et "sorties".</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul matriciel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Calcul matriciel lmentaire : addition, multiplication par un
nombre, multiplication.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Le choix de la dfinition de chaque opration portant sur les
matrices s'appuie sur l'observation de la signification du
tableau de nombres ainsi obtenu.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul matriciel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="35"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de sommes et de produits de matrices.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La notion de matrice inverse est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul matriciel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="36"></a><div class="program_theme">Algbre linaire</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> R<sup>n</sup>, espace vectoriel sur R.
Bases de R<sup>n</sup> ; base canonique de R<sup>n</sup>.
Applications linaires de R<sup>p</sup> dans R<sup>n</sup>.
Algbre L(R<sup>n</sup>) des endomorphismes de R<sup>n</sup>.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On se limitera  des exemples o la dimension est petite ;
aucune connaissance thorique sur le cas gnral n'est exigible
dans le cadre du programme de mathmatiques.
L'tude des structures algbriques (groupes, anneaux, corps,...)
n'est pas au programme ; il en est de mme pour les notions
gnrales d'espace vectoriel et d'algbre.
Les gnralits sur l'algbre linaire doivent tre rduites au
minimum, et aucune difficult thorique ne doit tre souleve
sur ce chapitre.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Algbre linaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Matrice associe  une application linaire de R<sup>p</sup> dans
R<sup>n</sup>
relativement  des bases donnes.
Algbre M<sub>n</sub>(R) des matrices carres.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=matrice&+cmd=new  Matrice d'une application linaire 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=matrice2&+cmd=new  Matrice d'une application linaire 1
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=matrice3&+cmd=new  Matrice d'une application linaire
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Algbre linaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Matrice associe  un endomorphisme de R<sup>n</sup> dans une base,
changement de base, matrices semblables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La mthode mise en oeuvre sera dtaille dans le cas o n = 2.
On admettra sa gnralisation et on utilisera les moyens
informatiques pour obtenir les rsultats cherchs.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=changbas0&+cmd=new  Changement de base simple
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefchgbase.fr&exo=changbase&+cmd=new  Changement de base (matrice)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Algbre linaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme ;
dfinition des endomorphismes diagonalisables, interprtation
matricielle.
Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
Aucune connaissance sur les mthodes de rduction des
matrices non diagonalisables n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=Peigen1&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (III)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=Peigen2&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (IV)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diag1&+cmd=new  Matrices diagonalisables dim 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diag2&+cmd=new  Matrices diagonalisables dim 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diag3&+cmd=new  Matrices diagonalisables dim 4
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diagR1&+cmd=new  Diagonalisation sur R (I)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=diagR2&+cmd=new  Diagonalisation sur R (II)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=eigen1&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (I)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=eigen2&+cmd=new  Trouver un vecteur propre (II)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=mat2&+cmd=new  Matrices d'ordre 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=matdiag2&+cmd=new  Matrice diagonalisable ? (dim 2)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=matdiag3&+cmd=new  Matrice diagonalisable ? (dim 3)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=valprop&+cmd=new  Valeurs propres
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=valprop2&+cmd=new  Valeurs propres 2
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U1/algebra/oefdiag.fr&exo=valprop3&+cmd=new  Valeurs propres 3
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Algbre linaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="37"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Dtermination de la matrice associe  une application
linaire de R<sup>p</sup> dans R<sup>n</sup> relativement aux bases canoniques
et
dtermination de l'image d'un vecteur par une application
linaire de matrice donne.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Algbre linaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de diagonalisation d'une matrice.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On montrera l'intrt de la diagonalisation pour la rsolution de
systmes linaires homognes d'quations diffrentielles
linaires du premier ordre  coefficients constants et pour
l'tude de systmes de suites rcurrentes dans des cas trs
simples.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solcascade&+cmd=new  Solutions salines en cascade
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solcirc&+cmd=new  Solutions salines en circuit circulaire 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solcircosc&+cmd=new  Solutions salines et oscillations
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solferm&+cmd=new  Solutions salines et vecteurs propres
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solferm4&+cmd=new  Solutions salines en circuit ferm
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solflim3&+cmd=new  Solutions salines
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solumodel3&+cmd=new  Mlange de solutions (modlisation)
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solumodelb&+cmd=new  Mlange de solutions (modlisation) II
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solution1&+cmd=new  Solution  volume constant
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 
!href target=wims_exo module=U2/analysis/oefdiffsystphy.fr&exo=solution2&+cmd=new  Solution et EDO 
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Algbre linaire [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="38"></a><div class="program_theme">Statistique descriptive</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Sries statistiques  une variable :
Mthodes de reprsentation.
Caractristiques de position (mdiane, moyenne).
Caractristiques de dispersion (interquantiles, variance, cart
type).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Il s'agit, d'une part de prciser la signification de chaque
caractristique, d'autre part d'associer la prcision des rsultats
numriques obtenus ( l'aide d'une calculatrice ou d'un
ordinateur)  la prcision sur les donnes et  la mthode mise
en oeuvre, notamment dans le cas o les classes sont dfinies
par des intervalles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Sries statistiques  deux variables :
Tableaux d'effectifs.
Nuage de points ; point moyen.
Ajustement affine (mthode graphique ; mthode des moindres
carrs, droites de rgression).
Coefficient de corrlation linaire.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Pour l'ajustement affine, on distinguera liaison entre deux
variables statistiques et relation de cause  effet.
Pour la mthode des moindres carrs, on fera observer que l'on
cre une dissymtrie entre les deux variables statistiques qui
conduit, suivant le problme  rsoudre,  privilgier l'une des
deux droites.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="39"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> tude de sries statistiques  une variable.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On interprtera les rsultats obtenus.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de sries statistiques  deux variables.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En fournissant aux tudiants des indications sur la marche 
suivre, on pourra, d'une part tudier quelques exemples
d'ajustement qui, par un changement de variable simple, se
ramnent  un ajustement affine, d'autre part,  propos des
sries chronologiques, procder  un lissage obtenu, par
exemple, par la mthode des moyennes mobiles, avant
d'effectuer, si ncessaire, un ajustement affine ;
mais aucune connaissance sur ces dmarches n'est exigible dans
le cadre du programme de mathmatiques</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique descriptive [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="40"></a><div class="program_theme">Calcul des probabilits 1</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Probabilits sur les ensembles finis :
Vocabulaire des vnements, probabilit.
Probabilit conditionnelle, vnements indpendants. Cas
d'quiprobabilit.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'ensemble des vnements sera pris gal  l'ensemble de toutes
les parties de Omega.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Notation n!. Combinaisons.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces notions sont introduites pour prsenter la loi binomiale. Les
calculs de dnombrement ne sont pas un objectif du programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables alatoires discrtes  valeurs relles :
Loi de probabilit.
Esprance mathmatique, variance, cart type.
Loi binomiale, loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune difficult thorique ne sera souleve sur les variables
alatoires.
On pourra utiliser la notation sigma, mais aucune connaissance  son
sujet n'est exigible dans le cadre du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables alatoires continues  valeurs relles :
Fonction de rpartition et densit de probabilit.
Esprance mathmatique, variance, cart type.
Loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On sera amen  utiliser les notations
int<sub>a</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt, int<sub>-oo</sub><sup>a</sup>f(t) dt,
int<sub>-oo</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt, mais aucune connaissance sur les
intgrales
impropres n'est exigible en calcul de probabilits.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les rsultats sont admis, mais l'outil informatique peut permettre
des approches exprimentales.
Aucune connaissance sur les critres d'approximation n'est
exigible dans le cadre du programme de mathmatiques.
Les tudiants doivent savoir dterminer les paramtres.
Il conviendra de mettre en vidence la raison d'tre de la
correction de continuit lors de l'approximation d'une loi
binomiale par une loi normale ; toutes les indications seront
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="41"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de probabilits portant sur l'union et sur
l'intersection de deux vnements.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On ne traitera que quelques exemples trs simples de
probabilit conditionnelle.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> tude de situations de probabilits faisant intervenir des
variables alatoires suivant une loi binomiale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'nonc des critres permettant l'utilisation de la loi
binomiale est exigible.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations de probabilits faisant
intervenir des variables alatoires suivant une loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations de probabilits faisant
intervenir des variables alatoires suivant une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur l'interpolation affine avec la table de
la loi normale centre rduite n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations de probabilits faisant
intervenir des variables alatoires suivant une loi binomiale que
l'on approche par une loi de Poisson ou une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 1 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="42"></a><div class="program_theme">Calcul des probabilits 2</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Probabilits sur les ensembles finis :
Vocabulaire des vnements, probabilit.
Probabilit conditionnelle, vnements indpendants. Cas
d'quiprobabilit.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Il s'agit d'une initiation aux phnomnes alatoires o toute ambition
thorique et toute technicit sont exclues.
L'objectif est que les tudiants sachent traiter quelques problmes simples
concernant des variables alatoires dont la loi figure au
programme. Les sciences et techniques industrielles et conomiques fournissent
un large ventail de tels problmes, que l'on pourra
tudier en liaison avec les enseignements des disciplines professionnelles.

L'ensemble des vnements sera pris gal  l'ensemble de toutes
les parties de Omega.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Notation n!. Combinaisons.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ces notions sont introduites pour prsenter la loi binomiale. Les
calculs de dnombrement ne sont pas un objectif du programme.
Loi faible des grands nombres. Il s'agit de faire comprendre aux tudiants le
lien entre statistiques et probabilits. Une approche exprimentale et un
nonc rudimentaire suffisent.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables alatoires discrtes  valeurs relles :
Loi de probabilit.
Esprance mathmatique, variance, cart type.
Indpendance de deux variables alatoires.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune difficult thorique ne sera souleve sur les variables
alatoires.
On pourra utiliser la notation Sigma, mais aucune connaissance  son
sujet n'est exigible dans le cadre du programme de
mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Esprance mathmatique de aX + b, de X + Y et de X - Y ;
variance de aX + b, de X + Y et de X - Y dans le cas o X et Y
sont indpendantes.
Loi binomiale, loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Variables alatoires continues  valeurs relles :
Fonction de rpartition et densit de probabilit.
Esprance mathmatique, variance, cart type.
Loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'exemple de la loi normale est suffisant. On pourra, en vue de
l'tude de la fiabilit, prsenter la loi exponentielle.
On sera amen  utiliser les notations int<sub>a</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt,
int<sub>-oo</sub><sup>a</sup>f(t) dt, int<sub>-oo</sub><sup>+oo</sup>f(t) dt,
mais aucune connaissance sur les intgrales
impropres n'est exigible en calcul de probabilits.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Si X et Y sont des variables alatoires indpendantes qui suivent
des lois normales :
<ul><li> les variables aX + b, X + Y et X - Y suivent des lois
normales ;
</li><li>formules donnant l'esprance mathmatique et la variance de
aX + b, de X + Y et de X - Y, dans le cas o X et Y sont
indpendantes.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les formules sont admises.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Thorme de la limite centre : approximation par une loi
normale de la somme de v<sub>n</sub> ariables indpendantes, de mme loi
et de variance finie.
Distribution d'chantillonnage asymptotique de la moyenne et de
la frquence empirique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson.
Approximation d'une loi binomiale par une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les rsultats sont admis, mais l'outil informatique peut permettre
des approches exprimentales.
Aucune connaissance sur les critres d'approximation n'est
exigible dans le cadre du programme de mathmatiques.
Les tudiants doivent savoir dterminer les paramtres.
Il conviendra de mettre en vidence la raison d'tre de la
correction de continuit lors de l'approximation d'une loi
binomiale par une loi normale ; toutes les indications seront
fournies.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">


Travaux pratiques
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Calcul de probabilits portant sur l'union et sur
l'intersection de deux vnements.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On ne traitera que quelques exemples trs simples de
probabilits conditionnelles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> tude de situations de probabilits faisant intervenir des
variables alatoires suivant une loi binomiale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>L'nonc des critres permettant l'utilisation de la loi
binomiale est exigible.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations de probabilits faisant
intervenir des variables alatoires suivant une loi de Poisson.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations de probabilits faisant
intervenir des variables alatoires suivant une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Aucune connaissance sur l'interpolation affine avec la table de
la loi normale centre rduite n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de situations de probabilits faisant
intervenir des variables alatoires suivant une loi binomiale que
l'on approche par une loi de Poisson ou une loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul des probabilits 2 [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="43"></a><div class="program_theme">Statistique infrentielle</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation ponctuelle d'un paramtre :
<ul><li>frquence ;
</li><li> moyenne et cart type.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Une illustration qualitative succincte des notions de biais et de
convergence d'un estimateur peut tre propose, mais toute
tude mathmatique de ces qualits est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation par un intervalle de confiance d'un paramtre :
<ul><li> frquence dans le cas d'une loi binomiale approximable par
une loi normale ;
</li><li> moyenne, dans le cas d'une loi normale quand son cart type
est connu ou dans le cas de grands chantillons.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On distinguera confiance et probabilit :
<ul><li>avant le tirage d'un chantillon, la procdure d'obtention de
l'intervalle de confiance a une probabilit 1 - a que cet
intervalle contienne le paramtre inconnu,
</li><li>aprs le tirage, le paramtre est dans l'intervalle calcul avec
une confiance 1 - a.</li></ul></td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Tests d'hypothse :
<ul><li>relatifs  une frquence p, dans le cas d'une loi binomiale
approximable par une loi normale,
<ul><li>tester p = p<sub>0</sub>  contre p &gt; p<sub>0</sub> , contre p  <
p<sub>0</sub> ;
</li><li>tester p = p<sub>0</sub> = contre p = p<sub>0</sub> - ;
</li></ul>
</li><li> relatifs  une moyenne m, dans le cas de la loi normale,
</ul></li><li>
tester m = m<sub>0</sub>  contre m &gt; m<sub>0</sub>, contre m &lt; m<sub>0</sub>
;</li><li>
tester m = m<sub>0</sub>  contre m diffrent de m<sub>0</sub> ;
</li></ul>
</li><li>
comparaison de deux proportions ou de deux moyennes.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La taille n de l'chantillon sera suffisamment grande (n &gt; 30).
On soulignera que la dcision prise, rejet ou acceptation,
dpend des choix faits a priori par l'utilisateur : choix de
l'hypothse nulle, choix du seuil de signification.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="44"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance de la
frquence, dans le cas d'une loi binomiale connue,  partir
d'chantillons simuls.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La connaissance a priori de la loi sous'jacente permet de
comparer le paramtre rel et les estimations obtenues  partir
des chantillons.
Aucune connaissance sur ce TP n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance de
frquences.
Estimation ponctuelle de moyennes, d'carts types et estimation
par intervalle de confiance de moyennes, dans des situations
relevant de la loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Quand n est grand, le thorme de la limite centre tend la
procdure mise au point pour les chantillons gaussiens  des
cas plus gnraux.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Construction et utilisation de tests :
<ul><li> unilatraux et bilatraux relatifs  une frquence ;
</li><li> unilatraux et bilatraux relatifs  une moyenne dans des
situations relevant de la loi normale.
</li></ul></td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La construction d'un test comporte le choix des hypothses
nulle et alternative, la dtermination de la rgion critique et
l'nonc de la rgle de dcision.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Construction et utilisation de tests de comparaison de deux
proportions ou de deux moyennes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Cette comparaison peut permettre, par exemple, d'apprcier
une ventuelle amlioration dans un processus de fabrication.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'utilisation de la droite de Henry, du test du
chi<sup>2</sup>,
du test de Student (cas des petits chantillons).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce TP n'est  raliser, en entier ou en partie, qu'en liaison avec
les enseignants des disciplines professionnelles et seulement si,
dans celles-ci, ces procdures sont utilises.
Aucune connaissance  son sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Statistique infrentielle [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="45"></a><div class="program_theme">Fiabilit</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Notions de fonction de fiabilit, de fonction de dfaillance,
de taux d'avarie (ou de mort), moyenne des temps de bon
fonctionnement (MTBF).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La MTBF est dfinie comme l'esprance mathmatique de la
dure de vie.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Fiabilit [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Loi exponentielle.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
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math/math.bts - Fiabilit [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Loi de Weibull.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fiabilit [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="46"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de fiabilit et d'estimation de paramtres
dans le cas de la loi exponentielle.
Reprsentation des donnes en utilisant le papier semilogarithmique.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fiabilit [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de fiabilit et d'estimation de paramtres
dans le cas de la loi de Weibull.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
On montrera que l'utilisation de papier de Weibull permet
d'obtenir une estimation des paramtres de cette loi,  partir de
la fonction de rpartition empirique. (L'utilisation de logiciels
ad hoc donne directement une estimation optimale des mmes
paramtres et permet, en outre, d'obtenir un intervalle de
confiance).
Le problme de l'adquation de donnes empiriques  un
modle est hors programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fiabilit [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de la disponibilit d'un systme o le taux
de dfaillance et le taux de rparation sont constants.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Ce TP n'est  raliser, en entier ou en partie, qu'en liaison avec
les enseignants des disciplines professionnelles et seulement si,
dans celles-ci, ces procdures sont utilises.
Aucune connaissance  son sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Fiabilit [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="47"></a><div class="program_theme">Plans d'exprience</div>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="48"></a><div class="program_titre"></div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Plan factoriel  deux ou  trois facteurs, chacun  deux
niveaux :
dfinition des actions principales, des interactions ;
notion de degr de libert.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>La technique des plans d'exprience est devenue d'usage courant dans la
mise en place des procds industriels. Les enseignements
professionnels font souvent rfrence  la mthode Taguchi.
En mathmatiques, l'objectif de ce module est de montrer aux tudiants la
ncessit de planifier les expriences et de leur permettre
d'apprhender la dmarche mise en oeuvre afin d'obtenir une estimation optimale
des paramtres inconnus, quand les mesures faites
ont un caractre alatoire.
On montrera galement l'importance du modle a priori.
On vitera les situations artificielles et on s'appuiera sur des exemples issus
du domaine professionnel, en liaison avec les
enseignements des disciplines correspondantes.

L'utilisation des mthodes de l'algbre linaire est hors
programme.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Plans d'exprience []
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>Matrice d'exprience, estimation ponctuelle des paramtres du
modle (effets principaux, ventuellement interaction).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>En liaison avec les enseignements des disciplines
professionnelles, si le besoin apparat, on abordera la notion de
plan fractionnaire, mais aucune connaissance  ce sujet n'est
exigible dans le cadre du programme de mathmatiques.
On indiquera la mthode de construction de la matrice
d'exprience selon l'algorithme de Yates.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Plans d'exprience []
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Intervalle de confiance pour les estimations des paramtres
du modle quand l'cart type des mesures exprimentales est
connu, dans des situations relevant de la loi normale.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Sur des exemples simples, on montrera quelles sont les
conditions pour que l'cart type puisse tre estim quand il est
inconnu ; on pourra alors tre amen  utiliser la loi de Student,
mais aucune connaissance  ce sujet n'est exigible dans le cadre
du programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Plans d'exprience []
</p>
</td></tr><tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Test sur la signification d'un facteur, dans les conditions
prcdentes.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066">&nbsp;</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Plans d'exprience []
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#CCFFCC">
<a name="49"></a><div class="program_titre">Travaux pratiques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples de mise en oeuvre de plans d'exprience.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>
On utilisera dans la mesure du possible les situations que les
tudiants peuvent rencontrer lors de leurs priodes de formation
en entreprise.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Plans d'exprience [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="50"></a><div class="program_theme">Calcul Vectoriel</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p>
Vecteurs (position, vitesse, acclration, force).
Barycentres (centres d'inertie).
Produit scalaire (longueurs, angles, puissance, travail).
Produit vectoriel (aires, angles, moments cintique et
dynamique, moment d'une force en un point).
Produit mixte (volumes, moment d'une force par rapport  un
axe).</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>On soulignera le lien avec les concepts correspondants en
sciences physiques et en mcanique, mais aucune
connaissance en cinmatique ou en dynamique n'est exigible
dans le cadre du programme de mathmatiques.
En outre, on pourra tre amen  donner quelques notions
sur les vecteurs glissants et sur les torseurs, mais aucune
connaissance  ce sujet n'est exigible dans le cadre du
programme de mathmatiques.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Calcul Vectoriel [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
<tr><td colspan=2 align="center" bgcolor="#003366">
<a name="51"></a><div class="program_theme">Configurations gomtriques</div>
</td></tr>

<tr><td valign="top" bgcolor="#FF9900"><p> Exemples d'tude de problmes portant sur les objets usuels
du plan et de l'espace.</td>
<td valign="top" bgcolor="#FFC066"><p>Les seules connaissances exigibles des tudiants sont celles figurant
dans les programmes de Seconde, Premire STI et Terminale
STI ou de Premire et Terminale conduisant aux brevets de technicien prpars
aprs la seconde de dtermination.
L'objectif est de mettre en oeuvre et de complter cet acquis  partir de
problmes privilgiant les situations rencontres dans les
autres enseignements : analyse de la forme d'un objet usuel de l'espace (par
projection ou famille de sections planes), modes de
gnration de tels objets (surfaces de rvolution,...), calculs de distances,
d'angles, d'aires, de volumes, problmes d'optimisation,...
sur ces objets.
On fera la liaison avec les enseignements technologiques mettant en oeuvre des
logiciels de conception assiste par ordinateur
(CAO).

Les sciences et techniques industrielles fournissent un large
ventail de tels problmes, et on vitera les situations
artificielles.</td>
</tr>

<tr><td colspan=2 valign="top" bgcolor="#FFFF33">
&nbsp;
<p class="program_petit">Pour aider  la mise  jour ou proposer des exercices : 
!mailurl $email Mise  jour\
math/math.bts - Configurations gomtriques [Travaux pratiques]
</p>
</td></tr>
</table>

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