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!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=combinatorics,combination
!set gl_title=Coefficient binomial (Gnrale Spcialit)
!set gl_level=H6 Gnrale Spcialit
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<div class="wims_defn">
<h4>Dfinition</h4>
Soit \(n\) un entier naturel et \(k\) un entier naturel infrieur ou gal
<span class="nowrap">\(n\).</span>
<br>
Le <strong>coefficient binomial</strong> not \(\displaystyle{\binom{n}{k}}\)
(lire « \(k\) parmi \(n\) ») est le nombre de combinaisons de \(k\)
lments d'un ensemble possdant \(n\) lments.
</div>
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<div class="wims_rem">
<h4>Cas particuliers</h4>
<ul>
<li>
Pour tout entier naturel <span class="nowrap">\(n\),</span> \(\displaystyle{\binom{n}{0}=1}\) et
<span class="nowrap">\(\displaystyle{\binom{n}{n}=1}\).</span>
</li>
<li>
Pour tout entier naturel non nul <span class="nowrap">\(n\),</span> \(\displaystyle{\binom{n}{1}=n}\) et
<span class="nowrap">\(\displaystyle{\binom{n}{n-1}=n}\).</span>
</li>
</ul>
</div>
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<div class="wims_rem">
<h4>Remarque</h4>
On considre une exprience alatoire constitue de la rptition de \(n\)
preuves de Bernoulli identiques et indpendantes, reprsente par un arbre.
<br>
L'entier \(\displaystyle{\binom{n}{k}}\) est le nombre de chemins de l'arbre
ralisant \(k\) succs pour les \(n\) rptitions de l'preuve.
</div>
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<div class="wims_thm">
<h4>Thorme </h4>
Pour tout \(n \in \NN\) et pour tout \(k \in \NN\) tel que
\(0\leqslant k \leqslant n\) :
<ul>
<li>
\(\begin{align*}
\displaystyle{\binom{n}{k}} &= \frac{n(n-1) \times \ldots \times (n-k+1)}{k!}
&= \frac{n!}{(n-k)! \times k!}
\end{align*}
\) ;
</li>
<li>
\(\displaystyle{\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}}\) ;
</li>
<li>
si <span class="nowrap">\(k \ne n\),</span> <span class="nowrap">\(\displaystyle{\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}}\).</span>
</li>
</ul>
</div>
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